幾何学II

• 10月2日 (演習問題No.1, 解答No.1)
  • 参考文献：田村一郎「トポロジー」
  • 単体：$\mathbb{R}^N$の一般の位置にある$n$点$a_0,a_1,\dots,a_n$の凸包として $n$単体$|a_0a_1\dots a_n|$が定義される．
  • 単体複体：$\mathbb{R}^N$の単体からなる有限集合 $K$ で，ある単体が$K$の要素であればその面はすべて$K$の要素である， また$K$に属する2つの単体が交わりを持てばその交わりは各々の単体の面である， という2条件を満たすものを単体複体と呼ぶ．
  • 単体の向き：各単体$\sigma=|a_0\cdots a_n|$の「向き」とは頂点の集合の順列$(a_{i_0},\dots,a_{i_n})$の同値類． ただし，2つの順列が偶置換で移りあうとき同値とする． 順列$(a_0,\dots,a_n)$によって向きが与えられた単体を$\langle \sigma\rangle=\langle a_0\cdots a_n\rangle$と書く． 向きを逆にした単体をマイナスをつけて表す．例えば$\langle ba \rangle = - \langle ab\rangle$.
    
  • チェイン複体： 全ての$n$単体に適当に向きを選び，それらの向き付けられた$n$単体が生成する自由アーベル群を $C_n(K)$とする．境界作用素$\partial \colon C_n(K) \to C_{n-1}(K)$が定義されて$\partial \circ \partial =0$ を満たす．
  • $n$次ホモロジー群を$H_n(K) = Z_n(K)/B_n(K)$で定義する． ただし$Z_n(K) = \operatorname{Ker}(\partial \colon C_n(K) \to C_{n-1}(K))$, $B_n(K) = \operatorname{Im}(\partial \colon C_{n+1}(K) \to C_n(K))$． $Z_n(K)$の元をサイクル，$B_n(K)$の元をバウンダリという．
  • 位相空間$X$の単体分割とは単体複体$K$と同相写像$\varphi \colon |K|\cong X$の組． ただし$|K|=\bigcup_{\sigma \in K} \sigma$.
  • 位相空間$X$の単体分割$(K,\varphi)$が与えられたとき， ホモロジー群$H_n(K)$は$X$のみにより，単体分割の取り方によらない（証明はしていない）．
• 10月9日 (演習問題No.2, 解答No.2)
  • 多様体上の微分形式の復習(Bott-Tu, section 1-3)．まず$\mathbb{R}^n$の開集合$U$上の微分形式を導入し， それらを張り合わせたものとして多様体上の微分形式を理解する．
  • 微分形式のウェッジ積，外微分$d\colon \Omega^p(U) \to \Omega^{p+1}(U)$を座標を使って定義する． 超可換性，$d\circ d =0$，ライプニッツ則．
  • $(\Omega^*(U),\wedge,d)$はdga (differential graded algebra) をなす．
  • $C^\infty$写像$\varphi\colon V \to U$に関する引き戻し$\varphi^* \colon \Omega^p(U) \to \Omega^p(V)$を座標で定義する． $\varphi^*$はchain map ($d$と可換)．さらに積も保つので，$\varphi^*$はdgaの射である．
  • 多様体上の微分形式は各々の座標近傍の上の微分形式の集まりで，互いに「貼りあう」もの．
  • 多様体の向き，多様体上の微分形式の積分，ストークスの定理の復習．
  • 単体複体に付随するコチェイン複体を導入し，単体複体のコホモロジーを定義した．
  • コチェイン複体$C^n(K) = \operatorname{Hom}(C_n(K),\mathbb{Z})$. コバウンダリ作用素$\delta \colon C^n(K) \to C^{n+1}(K)$は$\partial$の双対として定義．$\delta \circ \delta =0$．
  • $H^n(K) = \operatorname{Ker}(\delta \colon C^n(K) \to C^{n+1}(K))/\operatorname{Im}(\delta \colon C^{n-1}(K) \to C^n(K))$.
  • de Rham コホモロジーの定義：$H^p_{\rm dR}(M) = \operatorname{Ker}(d\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p+1}(M))/\operatorname{Im}(d\colon \Omega^{p-1}(M) \to \Omega^p(M))$.
  • $d\alpha=0$を満たす微分形式をclosed(閉)という．
  • ある微分形式$\beta$が存在して$\alpha = d\beta$の形にかける微分形式$\alpha$をexact(完全)という．
  • $M$を多様体，$\varphi \colon |K|\cong M$を滑らかな単体分割とする． $M$のde Rham 複体$\Omega^*(M)$から$K$のコチェイン複体$C^*(K;\mathbb{R})$への写像が \[ \sharp \colon \Omega^p(M) \to C^p(K), \quad \omega \mapsto \left[ \langle \sigma \rangle \mapsto \omega^\sharp(\langle \sigma\rangle) := \int_{\langle\sigma\rangle} \varphi^*\omega\right] \] で定義できる．Stokesの定理から$\sharp$はchain map になる． このchain map はコホモロジーの同型$H^p_{\rm dR}(M) \cong H^p(K;\mathbb{R})$ を誘導する(de Rham の定理のあるバージョン：証明はしていない)．
  • コチェイン複体$(C^\bullet,\delta)$, チェイン複体$(C_\bullet,\partial)$, チェイン写像の定義．
• 10月23日 (演習問題No.3, 解答No.3)
  • 今日の参考文献は Bott-Tu, Chapter I, Section 4．
  • ポアンカレの補題v1： $H^0(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}$, $H^*(\mathbb{R}^n) = 0$ for $*\neq 0$． 証明の方針：次元に関する帰納法と最後の変数に関する積分．
  • 電磁気学でのベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$ ($\operatorname{div} \mathbf{B}=0$を満たすベクトル場である磁場$\mathbf{B}$に対して $\operatorname{rot} \mathbf{A} = \mathbf{B}$を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$)の存在は $\mathbb{R}^3$の2次のコホモロジーが消えていることから従う．
  • ポアンカレの補題v2：$H^*(M\times\mathbb{R}) \cong H^*(M)$．ただしこの同型写像は$\pi \colon M\times \mathbb{R} \to M$, $\pi(x,t) = x$, $s\colon M\to M\times \mathbb{R}$, $s(x) = (x,0)$に関する引き戻し$\pi^*, s^*$で与えられる． さらに$\pi^*$と$s^*$は（コホモロジーにおいて）互いに逆写像．
  • $s^* \circ \pi^*=1$はform レベルで成立する．
  • $\pi^*\circ s^* \neq 1$ on $\Omega^*(M\times \mathbb{R})$． しかし，$\pi^* \circ s^*$は恒等写像とチェインホモトピックであることが示される． ($s\circ \pi$と恒等写像がホモトピックであることの代数的な類似．)
  • コチェイン複体$(C^\bullet,d^\bullet)$とそのコホモロジー$H^\bullet(C,d)$の定義．
  • チェイン写像$f\colon (C^\bullet,d^\bullet) \to (D^\bullet,d^\bullet)$の定義． 準同型$f^n \colon C^n \to D^n$であって$d^n \circ f^n = f^{n+1} \circ d^n$を満たすもの． チェイン写像はコホモロジーの準同型$H^*(C,d) \to H^*(D,d)$を誘導する．
  • チェインホモトピーの定義：チェイン写像$f,g\colon (C^\bullet, d^\bullet) \to (D^\bullet,d^\bullet)$に対して， 準同型の集まり$K^n \colon C^n \to D^{n-1}$で$f^n - g^n = K^{n+1} \circ d^n + d^{n-1}\circ K^n$を満たすものがあるとき， $f$と$g$はチェインホモトピックであるといい，$K$をチェインホモトピーという．
  • $\pi^*\circ s^*, 1\colon \Omega^*(M\times \mathbb{R})\to \Omega^*(M\times \mathbb{R})$の間のチェインホモトピーを$t$変数に関する積分で定義する．
  • チェインホモトピックなチェイン写像はコホモロジーに同じ写像を誘導する． 従って$\pi^* \circ s^* =1$ on $H^*(M\times \mathbb{R})$．ポアンカレの補題v2が従う．
  • ホモトピー公理：ホモトピックな写像はde Rham コホモロジーに同じ写像を誘導する． (さらにホモトピックな写像はde Rham 複体にチェインホモトピックな写像を誘導することもわかる．)
  • 系：ホモトピー同値写像はコホモロジーの同型を誘導する．$f \colon X \to Y$, $g\colon Y\to X$が $g\circ f \simeq 1_X$, $f\circ g\simeq 1$（ホモトピック）を満たすとき，$X$と$Y$はホモトピー同値 であるといい，$f$をホモトピー同値写像，$g$を$f$のホモトピー逆写像という．
  • ホモトピー同値の例：変位レトラクト．$A\subset X$が$X$の変位レトラクトとは， $r\colon X\to A$が存在して$r\circ i = 1_A$, $i\circ r\simeq 1_X$(ホモトピック)が成り立つこと． ただし，$i\colon A\to X$は包含写像．
  • $S^1$は$\mathbb{C}^\times$の変位レトラクトである．
  • 1点とホモトピー同値な空間を可縮という．
• 10月30日 (演習問題No.4, 解答No.4)
  • (コ)ホモロジー関手：(コ)ホモロジーは位相空間の圏からアーベル群の圏への関手とみなせる．コホモロジーの場合は反変関手と呼ばれるものになる． すなわち$(f\circ g)^* = g^* \circ f^*$を満たす．
  • de Rham コホモロジー関手：多様体の圏から実ベクトル空間の圏への反変関手． 以下では$H_{\rm dR}^*(M)$をしばしば$H^*(M)$とかく．
  • 今日の参考文献．Bott-Tu, Chapter I, Section 2.
  • Mayer-Vietoris 完全列：動機づけ．局所的なコホモロジー類を「貼り合わせて」大域的なコホモロジー類を作りたい．
  • 自明な例：$M=U \sqcup V$(非交和), $U,V$は$M$の開集合，のとき，$H^*(M) = H^*(U) \oplus H^*(V)$．
  • ポアンカレの補題より，$H^0(\mathbb{R}^n)=\{\text{定数関数}\}=\mathbb{R}$，$H^*(\mathbb{R}^n) =0$ ($*\neq 0$のとき)． 局所的には多様体は$\mathbb{R}^n$と微分同相であり，局所的なコホモロジー類を貼り合わせても「定数関数」しか得られないように見える． (一般には$i>0$で$H^i(M) \neq 0$となる．)
  • 貼り合わせを表現するのに長完全列を用いる．
  • アーベル群の完全列の定義，短完全列．
  • コチェイン複体の短完全列の定義．$0\to C^\bullet \overset{f}{\to} D^\bullet \overset{g}{\to} E^\bullet \to 0$ が短完全列とは，$f,g$がチェイン写像で，各$n$に対して$0\to C^n \overset{f^n}{\to} D^n \overset{g^n}{\to} E^n \to 0$ が完全列．
  • コチェイン複体の短完全列$0\to C^\bullet \overset{f}{\to} D^\bullet \overset{g}{\to} E^\bullet \to 0$ からコホモロジーの長完全列$\cdots\to H^{n-1}(E) \overset{d^*}{\to} H^n(C) \overset{f}{\to} H^n(D)\overset{g}{\to} H^n(E)\overset{d^*}{\to} H^{n+1}(C)\to \cdots$ができる．$d^*$を連結準同型という．
  • $M=U\cup V$を開被覆とする．de Rham 複体の次の短完全列がある．（微分形式の張り合わせを表現） \begin{align} 0 \to \Omega^*(M) & \to \Omega^*(U) \oplus \Omega^*(V) \to \Omega^*(U\cap V) \to 0 \\ \omega & \longmapsto (\omega|U, \omega|V) \\ & \qquad \qquad (\alpha,\beta) \longmapsto \beta|_{U\cap V} - \alpha|_{U\cap V} \end{align}
  • Mayer-Vietoris 完全列： \[ \cdots \to H^{n-1}(U\cap V) \overset{d^*}{\to} H^n(M) \to H^n(U) \oplus H^n(V) \to H^n(U\cap V) \overset{d^*}{\to} H^{n+1}(M) \to \cdots \] これから$U$上の$n$次コホモロジー類$a$と$V$上の$n$次コホモロジー類$b$で$U\cap V$上で一致する ($a|_{U\cap V} = b|_{U\cap V}$)ものは貼りあって$M$上のコホモロジー類を定めるが，一意ではない($H^{n-1}(U\cap V)$ からくる不定性がある) ことが分かる．
  • 連結準同型は$\{\rho_U,\rho_V\}$を$\{U,V\}$に付随する1の分割とするとき， $d^*[\omega] = [d\rho_U \wedge \omega]$で与えられる．($d\rho_U=-d\rho_V$の台は$U\cap V$に含まれるので， $U\cap V$の外では$0$で拡張する．)
• 11月13日(演習問題No.5, 解答No.5)
  • $S^n$のコホモロジーの計算．定理：$H^*(S^n) \cong \mathbb{R}$ ($*=0,n$), $H^*(S^n)=0$ (それ以外)． Mayer-Vietorisを使うと$n$について帰納的に証明できる．
  • 積分で与えられる写像$H^n(S^n) \to \mathbb{R}$, $[\omega] \mapsto \int_{S^n} \omega$はwell-defined (Stokesの定理)で， 同型写像である．
  • Good cover の定義．開被覆$M=\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$がgood cover とは， 任意の$\alpha_0,\dots,\alpha_p \in A$に対して$U_{\alpha_0} \cap \cdots \cap U_{\alpha_p}$が$\mathbb{R}^n$と微分同相可縮 (あるいは，これより弱い条件として，可縮)となること． 任意の(パラコンパクトあるいは第二可算公理を満たす)多様体はgood coverを持つ． 証明はRiemann計量を使い，$U_\alpha$をgeodesically convexにとるとできる．詳細は略．
  • 定理：多様体$M$がfinite good cover を持つならば，de Rham コホモロジー$H^*(M)$は有限次元である． 証明はgood cover の個数に関する帰納法．
  • コンパクト台のコホモロジーの定義．$\Omega_c^*(M) = \{\omega \in \Omega^*(M) : \text{$\omega$の台はコンパクト}\}$とし，$H_c^*(M)$をこのコホモロジーとする． $M$がコンパクトならば$H^*(M) = H^*_c(M)$．
  • コンパクト台コホモロジーは固有写像(proper map)に関して反変関手，open inclusion に関して共変関手．
  • 「0で拡張する」写像： 開集合の包含写像$i\colon U \hookrightarrow M$に対して， 0で拡張する写像 $i_* \colon \Omega_c^p(U) \to \Omega_c^p(M)$が定義される． $i_*\omega$は$U$上では$\omega$と一致し， $M\setminus \operatorname{Supp}(\omega)$上では$0$となる微分形式． $i_*$はコホモロジーの間の写像を誘導する．
  • コンパクト台コホモロジーに対するMayer-Vietoris完全列． $\cdots \to H^{p-1}_c(M) \to H^p_c(U\cap V) \xrightarrow{f} H^p_c(U) \oplus H^p_c(V) \xrightarrow{g} H^p_c(M) \xrightarrow{d^*} H^{p+1}_c(U\cap V) \to \cdots$． ここで \[ f([\omega]) = ([-j_{1*}\omega], [j_{2*}\omega]), \qquad g([\alpha],[\beta]) = [i_{1*}\alpha+ i_{2*}\beta] \] ただし$j_1\colon U\cap V \to U$, $j_2 \colon U\cap V \to V$, $i_1 \colon U \to M$, $i_2 \colon V\to M$ は包含写像．
  • 1の分割$\{\rho_U,\rho_V\}$を使うと，連結準同型は$d^*([\omega])= [d\rho_V \wedge \omega]$で与えられる．
  • proper map $f, g \colon M \to N$がproperly homotopic であれば$f$, $g$ がコンパクト台コホモロジーに誘導する写像$f^*,g^* \colon H^*_c(N) \to H^*_c(M)$は一致する．
  • コンパクト台コホモロジーに対するPoincaréの補題v1：$H^p_c(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}$ ($p=n$), $H^*_c(\mathbb{R}^n) = 0$ ($p\neq n$のとき)．
  • コンパクト台コホモロジーに対するPoincaréの補題v2: $H^{p+1}_c(M\times \mathbb{R}) \cong H^p_c(M)$．
  • "integration along the fiber" 写像 $\pi_* \colon \Omega_c^*(M\times \mathbb{R}) \to \Omega^*_c(M)$と， $\int_{\mathbb{R}} e =1$を満たすコンパクト台の 1-form $e=e(t) dt\in \Omega^1_c(\mathbb{R})$を左からかける写像 $e_*\colon \Omega_c^*(M) \to \Omega_c^{*+1}(M\times \mathbb{R})$, $\omega \mapsto e\wedge \omega$ が互いに逆写像をコホモロジーに誘導する． $M$の局所座標を使うと$\pi_*$は次のように定義される： \begin{align*} \sum_I f_I(x,t) dx_I & \mapsto 0 \\ \sum_I f_I(x,t) dt\wedge dx_I &\mapsto \sum_I \left(\int_{-\infty}^\infty f_I(x,t) dt\right) dx_I \end{align*} ただし$I$はmulti-index．このとき$de_* = - e_* d$, $d \pi_* = - \pi_* d$． また$\pi_* \circ e_* = 1$で，$e_* \circ \pi$は1とチェインホモトピックである． (証明は演習で行う．）
• 11月7日(演習問題No.6, 解答No.6)
  • $H^n_c(\mathbb{R}^n)\cong \mathbb{R}$の生成元：隆起形式(bump form)によって与えられる．例えば， $e(t)dt\in \Omega^1_c(\mathbb{R})$を$\int_{-\infty}^\infty e(t)dt=1$となる形式とするとき， $e(t_1) \cdots e(t_n) dt_1\wedge \cdots \wedge dt_n$は$H^n_c(\mathbb{R}^n)$の生成元． また，$\int \colon H^n_c(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}$は同型写像．
  • ポアンカレ双対性：$M$を向き付け可能$n$次元多様体とするとき，$H^q(M)$は$H_c^{n-q}(M)$の双対空間である．
  • 積分によってペアリングが定まる．$H^q(M)\times H^{n-q}_c(M)\to \mathbb{R}$， $([\tau], [\omega])\mapsto \int_M \tau \wedge \omega$. これはStokesの定理よりwell-defined. 以下，コホモロジー類と微分形式をあまり区別せず，コホモロジー類$\tau\in H^q(M),\omega\in H^{n-q}_c(M)$に対して $\int_M \tau \wedge \omega$と書いたりする．
  • 双線形形式(ペアリング)$\langle \cdot,\cdot \rangle \colon V\times W \to \mathbb{R}$が非退化であることの定義： $\langle v, w\rangle =0 \, (\forall v) \Longrightarrow w=0$ かつ $\langle v, w\rangle =0 \, (\forall w) \Longrightarrow v=0$．
  • ペアリング$\langle \cdot,\cdot\rangle$があれば自然な写像$V\to W^*$,$v\mapsto \langle v,\cdot\rangle$, および$W\to V^*$, $w\mapsto \langle \cdot,w\rangle$ができる．
  • $V,W$が有限次元のとき，$\langle \cdot,\cdot \rangle \colon V\times W \to \mathbb{R}$が非退化 $\Longleftrightarrow$ 対応する写像$V\to W^*$が同型 $\Longleftrightarrow$ 対応する写像$W\to V^*$が同型
  • ポアンカレの双対性定理：$M$をfinite good cover を持つ向き付け可能$n$次元多様体とする． 積分の定めるペアリング $H^q(M)\times H^{n-q}_c(M)\to \mathbb{R}$は非退化である．
  • finite good cover を持つという仮定の下で， $H^q(M)$および$H^{n-q}_c(M)$は有限次元である． 従って特に$H^q(M) \cong (H^{n-q}_c(M))^*$．
  • 系：$M$がコンパクト向き付け可能ならば，$H^q(M) \cong (H^{n-q}(M))^*$.
  • 系：$M$が連結かつ向き付け可能ならば，$H^n_c(M) \cong \mathbb{R}$．同型写像は積分で与えられる．
  • 系：$M$が連結コンパクト向き付け可能ならば，$H^n(M) \cong \mathbb{R}$
  • finite good cover の仮定がなくても，$M$が向き付け可能なら$H^q(M) \cong (H^{n-q}_c(M))^*$ は成り立つことが知られている．ただしこれらが有限次元でなければ，逆の同型$(H^q(M))^* \cong H^{n-q}_c(M)$は成り立たない．
  • 以下お話のみ．
  • Poincaré 双対性とホモロジー：$M$を向き付け可能とする．また(コ)ホモロジーは$\mathbb{R}$係数で考える． $H^q(M)$と$H_c^{n-q}(M)$の間のPoincaré双対性と$H^q(M)$と$H_q(M)$の間の積分による双対性を組み合わせると， $H_c^{n-q}(M) \cong H_q(M)$が得られる．これもPoincaré双対性と呼ぶ．
  • またBorel-Moore homology $H^{BM}_*$ と呼ばれるlocally finite chain (単体の無限和を許す) を使って定義されるホモロジー論があり，$H^{BM}_{n-q}(M)$は$H_c^{n-q}(M)$の双対である． このこととPoincaré双対性を合わせると，$H^{BM}_{n-q}(M) \cong H^q(M)$が得られる． これもPoincaré双対性と呼ぶ．
  • $M$がコンパクト向き付け可能のときは，これらのPoincaré双対性は単に $H^q(M) \cong H_{n-q}(M)$になる．
  • 4つの(コ)ホモロジー論の間の双対性：（$M$は向き付け可能としている）縦の矢印はサイクル上で積分するペアリング， 上の横向きの矢印は（wedge積して積分する）Poincaréペアリング，下の横向きの矢印は交叉積(交点数)． \begin{align*} H^q(M) & \longleftrightarrow H^{n-q}_c(M) \\ \updownarrow \quad & \qquad \quad \updownarrow \\ H_q(M) & \longleftrightarrow H^{BM}_{n-q}(M) \end{align*}
  • Poincaré 双対性のもともとの証明：単体複体の双対セル複体を使う(田村「トポロジー」参照)．
• 11月27日(演習問題No.7, 解答No.7)
  • 写像度の2つの定義．$M$, $N$を向き付けられた$n$次元多様体， $f\colon M\to N$をproperな$C^\infty$級写像とする．一つ目の定義は$N$の正則値$q$をとって， $f^{-1}(q)$の数を符号付きで数えるもの．二つ目の定義は$f^*\colon H^n_c(N) \to H^n_c(M)$ が$H^n_c(N)$の生成元を$H^n_c(M)$の生成元の何倍に移すかを見るもの． ただし生成元は積分して$1$になるように正規化しておく．
  • 応用として代数学の基本定理の証明．$n$次多項式$f(z)$を$\mathbb{C}\mathbb{P}^1\to \mathbb{CP}^1$ なる写像に拡張して写像度を計算する．
  • Künnethの定理：$H^*(M\times F) \cong H^*(M)\otimes H^*(F)$．次数$k$の部分を取り出すと， $H^k(M\times F) \cong \bigoplus_{p+q=k}H^p(M)\otimes H^q(F)$となる． 同型は，$\alpha \otimes \beta \mapsto \pi_1^*\alpha \wedge \pi_2^*\beta$で与えられる． ただし$\pi_1\colon M\times F\to M$, $\pi_2\colon M\times F\to F$は射影．
  • テンソル積$H^*(M)\otimes H^*(F)$に積構造を$(\alpha\otimes \beta) \wedge (\omega\otimes \tau) = (-1)^{\deg \beta\cdot \deg \omega} (\alpha\wedge \omega)\otimes (\beta\wedge \tau)$ で定めると，Künneth同型は環同型となる．
  • $H^*(S^1\times S^1)$の計算，環構造．より一般に，$H^*((S^1)^n)\cong \Lambda(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$： $n$個の次数1の元$\sigma_1,\dots,\sigma_n$で自由に生成されるGrassmann代数．
  • コンパクト台のコホモロジーに対するKünnethの定理：$H^*_c(M\times F) \cong H^*_c(M)\otimes H^*_c(F)$．
  • 多様体をファイバーとする$C^\infty$級ファイバー束の定義
  • Leray-Hirschの定理：$p\colon E\to M$をファイバー束．コホモロジー類$e_1,\dots,e_r\in H^*(E)$ が任意の$x\in M$に対して$e_1|_{E_x},\dots,e_r|_{E_x}$が$H^*(E_x)$の基底になる，という性質を満たすとする． このとき$H^*(E) \cong H^*(M)\otimes \mathbb{R}\langle e_1,\dots,e_r\rangle$． ただし$\mathbb{R}\langle e_1,\dots,e_r\rangle$は$e_1,\dots,e_r$を基底に持つ$\mathbb{R}$ベクトル空間で， 同型写像は$\alpha \otimes e_i \mapsto p^*\alpha \wedge e_i$で与えられる．
• 12月4日(演習問題No.8, 解答No.8)
  • $C^\infty$級ベクトル束の定義．(局所)自明化．
  • 変換関数の定義と性質．コサイクル条件．
  • 変換関数を使ったベクトル束の構成．
  • ベクトル束の例：接ベクトル束，自明束
  • ベクトル束の間の同型． 変換関数$\lambda_\alpha(x) g_{\alpha\beta}(x) \lambda_\beta(x)^{-1}$と$g_{\alpha\beta}(x)$ は同型なベクトル束を定めること．ただし$\lambda_\alpha \colon U_\alpha \to GL(n,\mathbb{R})$．
  • ベクトル束の切断の定義．ゼロ切断．
  • ベクトル束のRiemann計量，Riemann計量の存在．
  • ベクトル束の枠(frame), 直交枠(orthonormal frame)の定義，構造群の$O(n)$への還元．
  • ベクトル束の直和，テンソル積，双対，外積，対称積，Hom，部分ベクトル束，商ベクトル束の定義．
  • $E \subset F$：部分ベクトル束に対して，$F \cong E \oplus F/E$．$F$にリーマン計量を入れて$F/E$を$E$の直交補束と同一視する．
  • ベクトル束の向きの定義．メビウスの帯は$S^1$上の向き付け不可能な直線束である．
  • 多様体$M$の向きを与える $\Leftrightarrow$ 接ベクトル束$TM\to M$の向きを与える．
• 12月11日(演習問題No.9, 解答No.9)
  • ベクトル束の引き戻しの定義．
  • $(f\circ g)^{-1} E = g^{-1} (f^{-1} E)$． 多様体$M$に対して$M$上のベクトル束の同型類のなす集合$\operatorname{Vect}(M)$ を対応させる反変関手がある．
  • ベクトル束に対するホモトピー公理．$f_t \colon Y \to X$をホモトピーとし，$E\to X$をベクトル束とするとき， $f_0^{-1} E \cong f_1^{-1}E$．証明は$Y$がコンパクトのときにしたが，一般にパラコンパクト空間で成立する．
  • 系：可縮な多様体上のベクトル束は自明．
  • ベクトル束$E\to M$に対して，$\Omega_{cv}^*(E) = \{\omega \in \Omega^*(E) : \text{$\operatorname{Supp}(\omega) \to M$はproper}\}$と定める． cvはcompact support in the vertical direction の略． これは外微分で閉じておりそのコホモロジーとして$H^*_{cv}(E)$が定まる．
  • 階数$n$の向き付けられた実ベクトル束$\pi\colon E \to M$に対して「ファイバーに沿った積分」写像 $\pi_* \colon \Omega^*_{cv}(E) \to \Omega^{*-n}(M)$を導入する．
  • $\pi_*$は外微分と交換する．$d (\pi_*\omega) = \pi_*(d\omega)$
  • projection formula $\pi_*(\pi^*\tau \wedge \omega) = \tau \wedge \pi_*\omega$ for $\tau\in \Omega^*(M)$, $\omega \in \Omega_{cv}^*(E)$．
  • より一般の向き付けられたファイバー束に対しても"integration along the fiber"が定義される．
  • Thom 同型定理：$\pi\colon E\to M$を向き付けられた階数$n$の実ベクトル束とする． ファイバーに沿った積分は同型写像$\pi_* \colon H^*_{cv}(E) \cong H^{*-n}(M)$を誘導する．
  • Thom類とは$\pi_*\Theta = 1$を満たす唯一つの元$\Theta \in H^n_{cv}(E)$．
  • Thom類の特徴づけ：$\Theta$は各ファイバー$E_x$で$\int_{E_x} \Theta = 1$ を満たす唯一つの$H^n_{cv}(E)$の元である．
  • Thom類に対する積公式 $\Theta_{E\oplus F} = \pi_1^*\Theta_E \wedge \pi_2^*\Theta_F$
  • $E\to M$の向きを反対にすると，Thom類は$(-1)$倍される．
• 12月18日(演習問題No.10, 解答No.10)
  • （closed or compact) Poincaré dual: $M$を向き付けられた$m$次元多様体， $S\subset M$を向き付けられた$s$次元閉部分多様体とするとき， \[ \exists! [\eta_S]\in H^{m-s}(M) \quad \text{such that} \quad \int_M \alpha \wedge \eta_S = \int_S \alpha \quad \text{for all $[\alpha]\in H^s_c(M)$}. \] さらに$S$がコンパクトなら \[ \exists! [\eta_{S,c}]\in H^{m-s}_c(M) \quad \text{such that} \quad \int_M \alpha \wedge \eta_{S,c} = \int_S \alpha \quad \text{for all $[\alpha] \in H^s(M)$}. \]
  • closed Poincaré dual と compact Poincaré dual は異なりうるが， 自然な写像$H^{m-s}_c(M) \to H^{m-s}(M)$で対応する．
  • 例：$\mathbb{R}^n$の1点$P$のPoincaré dual：$[\eta_P] = 0$だが，$[\eta_{P,c}]$は生成元．
  • 例：$\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$内の$S^1$のPoincaré dual: $[\eta_{S^1}] = 0$ だが$[\eta_{S^1,c}] = [-e(r) dr]$は生成元． ただし$(r,\theta)$は極座標で， $e(r)dr$は$\int_0^\infty e(r) dr = 1$ を満たす$\mathbb{R}_{>0}$上のコンパクト台の1-form．
  • 例：$\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$内の半直線$R=\{(0,x) : x>0\}$のPoincaré dualは $[\eta_R] = [f(\theta) d\theta]$． ここで$f(\theta)$は$\int_0^{2\pi} f(\theta) d\theta = 1$を満たす$2\pi$周期関数．
  • 法ベクトル束の定義
  • 管状近傍定理．閉部分多様体$S\subset M$の近傍 $T$（管状近傍と呼ぶ) で法ベクトル束 $N_{S/M}$ と微分同相であるものが存在する．
  • $S\subset M$を上の通りとする． $S$の法ベクトル束 $N_{S/M}$ のThom類(あるいはThom form) $\Theta$ を管状近傍定理を使って$M$に押し出して， $[j_*\Theta] \in H^{m-s}(M)$を得る． ($j\colon N_{S/M} \cong T \subset M$は包含写像，$j_*$は管状近傍の外では$0$で拡張する写像．) ただし $T$ に技術的仮定($\pi \colon T \to S$が閉包からの写像$\overline{T} \to S$に連続に拡張される)が必要．
  • 定理：$\eta_S=j_*\Theta$ととれる．
  • 系：$S$のPoincaré 双対 $\eta_S$ の台は$S$の任意の近傍に含まれるようにできる．
  • 部分多様体$S,R\subset M$が横断的(transversal)に交わるとは$x\in S\cap R$に対して $T_x S + T_x R = T_x M$が成り立つこと．このとき$S\cap R$は多様体になる．
  • 横断的に交わる部分多様体$S, R \subset M$について， $N_S|_{S\cap R} \oplus N_R|_{S\cap R} \cong N_{S\cap R}$.
  • $S, R$が向き付けられているとき，上の同型が向きを保つように$S\cap R$に向きを入れる．
  • 横断的な交わりのPoincaré 双対 $S\cap R$のPoincaré双対は$\eta_{S\cap R} = \eta_S \wedge \eta_R$で与えられる． つまり，部分多様体の横断的な交わりはコホモロジーの積に対応する．
  • 滑らかな写像$f\colon M' \to M$が部分多様体$S\subset M$と横断的であるとは， 任意の$x\in f^{-1}(S)$に対して$\operatorname{Im}(d_x f) + T_{f(x)}S = T_{f(x)}M$が成立すること． このとき$f^{-1}(S)$は$M'$の部分多様体になる．
  • 横断的な引き戻しのPoincaré 双対 $M,M'$は向き付けられているとし，$S\subset M$を向き付けられた閉部分多様体，滑らかな写像$f\colon M' \to M$は$S$に横断的とする． このとき$[\eta_{f^{-1}(S)}]=f^*[\eta_S]$.
  • 以上の詳細な証明はpdfに与えた．
• 12月19日(演習問題No.11, 解答No.11)
• レポート問題(pdf)． 提出期限は2020年1月17日17:00です．
• 特異(コ)ホモロジー．(中岡稔「位相幾何学」, Hatcher "Algebraic Topology" 参照)
• 位相空間$X$の特異$q$単体とは$q$単体$\Delta^q=\{(t_0,\dots,t_q): t_i\ge 0, \sum_{i=0}^q t_i = 1\}$ から$X$への連続写像$\sigma \colon \Delta^q \to X$.
• 特異チェイン複体：$S_q(X)=\text{特異$q$単体の生成する自由$\mathbb{Z}$加群}$．
• $\partial_i \colon \Delta^{q-1} \to \Delta^q$：$i$面を与える連続写像． $\partial_i(t_0,\dots,t_{q-1}) = (t_0,\dots,t_{i-1},0,t_i,\dots,t_{q-1})$． 境界作用素$\partial \colon S_q(X) \to S_{q-1}(X)$ が $\partial \sigma = \sum_{i=0}^q (-1)^i \sigma \circ \partial_i$で定義され， $\partial \circ \partial = 0$を満たす．
• 特異ホモロジー$H_q(X;\mathbb{Z})=H_q(S_\bullet(X),\partial)$．
• 特異コチェイン複体：$S^q(X) = \operatorname{Hom}(S_q(X),\mathbb{Z})$. 微分$\delta$が$\partial$の双対として定まる．
• 特異コホモロジー$H^q(X;\mathbb{Z})=H^q(S^\bullet(X),\delta)$.
• アーベル群$G$に対して，$G$係数の特異ホモロジー $H_q(X;G):=H_q(S_\bullet(X)\otimes_{\mathbb{Z}} G, \partial)$.
• 同じく$G$係数の特異コホモロジー $H^q(X;G):=H^q(\operatorname{Hom}(S_\bullet(X),G), \delta)$．
• 特異(コ)ホモロジーの例：$H_0(\text{pt};\mathbb{Z}) \cong H^0(\text{pt};\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$, $H_p(\text{pt};\mathbb{Z})\cong H^p(\text{pt};\mathbb{Z})\cong 0$ ($p\neq 0$).
• $H_0(X) \cong \mathbb{Z}^{\oplus \pi_0(X)}$, $H^0(X) \cong \mathbb{Z}^{\pi_0(X)}$．ただし$\pi_0(X) = \{\text{$X$の弧状連結成分}\}$．
• 関手性：連続写像$f\colon X\to Y$に対して$f_*\colon S_*(X) \to S_*(Y)$が$\sigma\mapsto f\circ \sigma$ で定まる．これは$\partial$と可換なので，$f_* \colon H_*(X;\mathbb{Z}) \to H_*(Y;\mathbb{Z})$を誘導する． コホモロジーも同様．
• 特異(コ)ホモロジーのホモトピー公理．$f,g\colon X\to Y$がホモトピックな連続写像のとき， $f_*, g_* \colon S_*(X) \to S_*(Y)$はチェインホモトピック．特にホモロジーに同じ写像 $f_*=g_* \colon H_*(X;\mathbb{Z}) \to H_*(Y;\mathbb{Z})$を誘導する．同様に $f^*=g^* \colon H^*(Y;\mathbb{Z}) \to H^*(X;\mathbb{Z})$． チェインホモトピーはホモトピーを与えるプリズム $H\circ (\sigma\times \operatorname{id}) \colon \Delta^q\times [0,1]\to Y$を単体分割することで得られる．
• 以下では$H_*$, $H^*$は(断りなければ)整数係数の特異(コ)ホモロジーを表すことにする．
• ホモトピー不変性からの帰結：$X$が可縮ならば， $H_p(X) \cong 0$, $p\neq 0$, $H_0(X) \cong \mathbb{Z}$． $H^p(X) \cong 0$, $p\neq 0$, $H^0(X) \cong \mathbb{Z}$.
• 相対(コ)ホモロジー(relative (co)homology)： 位相空間$X$とその部分集合$A$の組$(X,A)$を位相空間対と呼ぶ．$A$には$X$からの相対位相を入れる． $S_*(X,A)=S_*(X)/S_*(A)$のホモロジーを$H_*(X,A)$， $S^*(X,A)=\operatorname{Hom}(S_*(X,A),\mathbb{Z})$のコホモロジーを$H^*(X,A)$と書いて相対(コ)ホモロジーという．
• 相対(コ)ホモロジー長完全列： \begin{align*} & \to H_p(A) \to H_p(X) \to H_p(X,A) \to H_{p-1}(A)\to \qquad \text{および} & \to H^p(X,A) \to H^p(X) \to H^p(A) \to H^{p+1}(X,A) \to \end{align*}
• 相対ホモロジー長完全列の連結準同型は本質的に境界作用素$\partial$である．
• $H_p(X,A)$の意味: $X$のチェインで境界が$A$に含まれるものを分類したもの，と考えられる．
• 1月8日(演習問題No.12, 解答No.12)
• 簡約(コ)ホモロジー(reduced (co)homology)：任意の位相空間$X$から一点集合pt にただ一つの連続写像$\epsilon \colon X \to \operatorname{pt}$が存在する． $\epsilon$の誘導する写像$\epsilon_* \colon H_*(X) \to H_*(\operatorname{pt})$, $\epsilon^* \colon H^*(\operatorname{pt}) \to H^*(X)$を考え， $\widetilde{H}_*(X) := \operatorname{Ker}(\epsilon_*)$, $\widetilde{H}^*(X) := \operatorname{Cok}(\epsilon^*)$と定義する．
• $\widetilde{H}_p(X) \cong H_p(X)$ ($p\neq 0$), $H_0(X) \cong \widetilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z}$, $\widetilde{H}^p(X) \cong H^p(X)$ ($p\neq 0$), $H^0(X) \cong \widetilde{H}^0(X) \oplus \mathbb{Z}$,
• 一点$x_0\in X$をとるとき，自然な同型 $\widetilde{H}_*(X) \cong H_*(X,x_0)$， $\widetilde{H}^*(X) \cong H^*(X,x_0)$がある．
• $X=\varnothing$のときは$\widetilde{H}_{-1}(\varnothing)= \widetilde{H}^{-1}(\varnothing)= \mathbb{Z}$, $\widetilde{H}_p(\varnothing) = \widetilde{H}^p(\varnothing) = 0$ ($p\neq -1$)と定義するのが便利． この場合にも適用する統一的な定義：augmented complex \begin{equation} 0 \leftarrow S_0({\rm pt}) \cong \mathbb{Z} \xleftarrow{\epsilon_*} S_0(X) \xleftarrow{\partial} S_1(X) \xleftarrow{\partial} S_2(X) \leftarrow \cdots \end{equation} のホモロジーとして$\widetilde{H}_*(X)$を定める($S_0({\rm pt})$は$-1$次にあると考える．)
• reduced (co)homology は functorial．
• 相対ホモロジー長完全列のreduced版： \begin{align*} & \to \widetilde{H}_p(A) \to \widetilde{H}_p(X) \to H_p(X,A) \to \widetilde{H}_{p-1}(A) \to \qquad \text{および} & \to H^p(X,A) \to \widetilde{H}^p(X) \to \widetilde{H}^p(A)\to H^{p+1}(X,A) \to \end{align*}
• 定理：$A\subset X$が閉集合で，$A$のある近傍の強変位レトラクト(strong deformation retract)であるとき， $H_p(X,A) \cong H_p(X/A,*) \cong \widetilde{H}_p(X/A)$．ただし$X/A$は$X$において$A$を一点につぶして得られる空間で $*$は$A$を潰した一点．コホモロジーも同様．
• 切除対：$A,B\subset X$を部分集合．$\{A,B\}$が切除対(excisive pair)であるとは，包含写像 $S_*(A) + S_*(B) \subset S_*(A\cup B)$がチェインホモトピー同値であること．
• $\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B) = A \cup B$ならば $\{A,B\}$は切除対である．ただし，$\operatorname{Int}(A)$は$A$の$A\cup B$の部分空間としての内点の集合とする． $\operatorname{Int}(B)$も$B$の$A\cup B$の部分空間としての内点の集合である． 証明は重心細分を使うが，詳細は中岡「位相幾何学」section 2.2 あるいはHatcher "Algebraic Topology" Proposition 2.21を参照のこと．
• $X=A\cup B$, $\{A,B\}$は切除対とする． このとき次のMayer-Vietoris完全列がある： \begin{align*} & \to H_p(A\cap B)\to H_p(A)\oplus H_p(B) \to H_p(X) \to H_{p-1}(A\cap B) \to \\ & \to H^p(X) \to H^p(A)\oplus H^p(B) \to H^p(A\cap B) \to H^{p+1}(X) \to \end{align*}
• Mayer-Vietoris完全列のreduced版：Mayer-Vietoris完全列で $H_*$を$\widetilde{H}_*$に置き換えたものが成立する．
• 切除同型：$\{A,B\}$を切除対とするとき，包含写像$(A,A\cap B) \to (A\cup B, B)$は同型 $H_p(A,A\cap B) \cong H_p(A\cup B, B)$を誘導する．コホモロジーも同様．
• 切除同型の別のバージョン：$U\subset B \subset X$, $\overline{U} \subset \operatorname{Int}(B)$のとき$H_p(X,B) \cong H_p(X\setminus U, B\setminus U)$． コホモロジーも同様．
• 例：$H_p(D^n,S^{n-1})$を求める．ただし$D^n$は$n$次元の閉単位球体で$S^{n-1}$はその境界． $D^n/S^{n-1} \cong S^n$より$H_p(D^n,S^{n-1}) \cong \widetilde{H}_p(S^n)$． 相対ホモロジーの長完全列より$\widetilde{H}_k(S^n) \cong \widetilde{H}_{k-1}(S^{n-1})$． 従って \[ \widetilde{H}_k(S^n) \cong \widetilde{H}_{k-n}(S^0) = \begin{cases} \mathbb{Z} &\text{if $k=n$} \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \]
• 1月15日(演習問題No.13, 解答No.13)
• Eilenberg-Steenrod の公理系：ホモロジー関手$H_n\colon \text{(Pair)} \to \text{(Ab)}$および自然変換$\partial \colon H_n(X,A) \to H_{n-1}(A)$は次の公理を満たす． (ただし$H_n(X) := H_n(X,\varnothing)$, $H_n(X,A) = 0$ for $n<0$とおく．) 0．関手性・自然性，1．ホモトピー公理，2. 相対ホモロジー長完全列，3.切除公理，4. 加法性公理，5. 次元公理
• Mayer-Vietorisは切除公理から出る．
• CW複体とその部分複体のなす位相空間対（あるいはそれにホモトピー同値な位相空間対) のホモロジーは公理から一意に定まることが知られている．
• Tor と Ext の定義
• $R$を可換環とする． $R$加群に対するfree resolution の存在，全てのfree resolution は互いにチェインホモトピー同値であること．
• $M$のfree resolution $P_*$を用いて$\operatorname{Tor}_i(M,N):=H_i(P_*\otimes_R N)$と定義する． また$\operatorname{Ext}^i(M,N):=H^i(\operatorname{Hom}_R(P_*,N))$と定義する． free resolution の取り方によらない．
• $\operatorname{Tor_0}(M,N) = M\otimes_R N$, $\operatorname{Ext^0}(M,N) = \operatorname{Hom}_R(M,N)$
• $R=\mathbb{Z}$のときは，TorとExtは0次と1次しか存在しない．
• $\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z},M) = \{m\in M : a m =0\}$
• $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z},M) = M/aM$
• 普遍係数定理: 任意のアーベル群$G$に対して次の分裂する完全列が存在する． ただし分裂の取り方は標準的には決まらない． \begin{align*} & 0 \to H_k(X;\mathbb{Z})\otimes G \to H_k(X;G) \to \operatorname{Tor_1}(H_{k-1}(X;\mathbb{Z}),G) \to 0 \\ & 0 \to \operatorname{Ext}^1(H_{k-1}(X;\mathbb{Z}),G) \to H^k(X;G) \to \operatorname{Hom}(H_k(X;\mathbb{Z}),G) \to 0 \end{align*}
• de Rham の定理$H^k_{\rm dR}(M) \cong H^k_{\rm sing}(M;\mathbb{R})$の証明の方針． smooth map $\Delta^k \to M$を自由基底とするsmooth singular chain complex $S_k^{\rm sm}(M)$を考える． チェイン写像$\Omega^*(M) \to S^*_{\rm sm}(M) \leftarrow S^*(M)$を作る． $S^k_{\rm sm}(M)$の定めるコホモロジーに対して，ホモトピー公理，Mayer-Vietorisを示す． finite good cover を持つ場合には good cover の個数に関する帰納法でいつもと同様に(five lemmaを使って)示せる．
• 1月22日(演習問題No.14, 解答No.14)
• レポート解答例 (pdf)
• 2018年度期末試験過去問 (pdf)とその解答 (pdf)
• CW複体(胞体複体，cell complex)の定義．特性写像 $\Phi_\alpha \colon D^n_\alpha \to X$ および接着写像 $\varphi_\alpha \colon \partial D^n_\alpha \to X^{n-1}$． 講義では簡単のため有限CW複体の場合に限る．
• $S^n$, トーラス，$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$, $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$, 種数2の曲面，等はCW複体の構造を持つ．
• CW複体の部分複体，部分複体はそのある近傍の強変位レトラクトであること（証明は略）．
• CW複体から胞体チェイン複体を作る．$C_n(X) = H_n(X^n,X^{n-1})$に境界作用素を $d_n \colon H_n(X^n,X^{n-1}) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(X^{n-1}) \xrightarrow{j_*} H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})$で定義する．
• 各セルの向きを選んで，$C_n(X)$は $n$セル $e^n_\alpha$ を基底とする自由アーベル群と同一視される．
• 定理：$H_n(C_*(X),d) \cong H_n(X)$．
• 境界作用素の計算．$d_n e^n_\alpha = \sum_\beta [e^n_\alpha, e^{n-1}_\beta] e^{n-1}_\beta$． 写像$\partial D_\alpha^n \xrightarrow{\varphi_\alpha} X^{n-1} \to D_\beta^{n-1}/\partial D_\beta^{n-1}$の写像度として結合係数$[e^n_\alpha,e^{n-1}_\beta]$が定まる． ただし$\partial D_\alpha^n$には$D^n_\alpha$の境界としての向きを入れておく． 写像度はde Rham 理論で前に定義したものと一致する．
• 2月5日 (期末試験, 期末試験解答例)