講演のタイトルと概要(新しい順に並べてあります) Titles and Abstracts
In the first talk we will describe the notions of tangencies (homoclinic and heterodimensional), codimension, and blenders. We will explain how to construct the tangencies in a robust manner using blenders but for the dynamics induced in the tangent bundle.
The second talk will put the above objects in the context of parametric families and non-generic unfoldings. That is, tangencies that unfold ''slowly'' with respect to the parameter. We will discuss how it is possible to make these unfoldings robust using again the mechanism of blenders.
The first part of the talk will be devoted to bases, main ideas and constructions of Fomenko-Zieschang theory of invariants of integrable Hamiltonian systems. In fact, such graph invariants help effectively describe the topology of phase space foliated on the closures of solutions of integrable systems. This invariant ia complete, so two such systems have fiber-wise diffeomorphic foliations if and only if their invariants coincide. Some their extension also classifies structures of trajectories of such systems in the sense of topological (orbital) equivalence.
In the second part the piece-wise smooth case will be considered. Class of integrable billiards in flat domains was generalized in recent time by gluing elementary domains by some of their common boundaries.
Calculation of their Fomenko-Zieschang invariants shows that smooth integrable systems in mechanics and geodesic flows on orientable 2-surfaces often have the same structure of closures of trajectories. Even if billiard domain is a some complex, it is more simple to see interesting effects (bifurcation of Liouville tori, periodic critical trajectories, their stability) than in integrable systems of higher degree. So, it allows to say that "visual" billiard system in a suitable domains gives us a chance to describe the behavior of a complicated integrable system.
有理数体などの数論的な体の上で定義された代数多様体の有理点に対し、高さと呼ばれる重要な量がある。 代数多様体の自己射が与えられたとき、その反復合成により高さがどのように増加するかを調べることは、Diophantus幾何の分野で応用の知られた重要な研究である。川口-Silvermanは点の軌道に対して算術次数という増大度を測る量を定義し、軌道がZariski-稠密であれば算術次数は(第一)力学系次数に一致すると予想した。
今回、川口-Silvermanの予想をsemi-abel多様体の自己射に対して示すことに成功し、その試みの中で、semi-abel多様体の自己射がある条件を満たすときには、ある有理点bが存在し、aが擬周期点であることとa-bがねじれ点になることが同値であることを証明した。
本講演では高さ関数の導入から始め、川口-Silvermanの予想を例を交えて紹介 し、semi-abel多様体に対する前述の主張の証明の概要を準同型の場合に述べる。時間が許せば同じ状況での川口-Silverman予想の証明の概要を述べる。
本研究は東京大学の松澤陽介氏との共同研究である。曲面上の流体力学において,曲面の形状の観点からの流体運動の定性的理解が求 められている.一般に流体方程式は無限次元であるものの,曲面上の非圧縮非粘 性流体で,渦度がデルタ関数の線形結合で表される点渦力学系と呼ばれる対象は 有限次元ハミルトン系として表される. 点渦力学系の時間発展方程式を与える に際し,流体力学系Green関数と呼ばれるLaplace-Beltrami作用素の基本解は中 心的役割を果たす.そのため点渦力学系のより詳細な力学系的性質を得る上で, 流体力学系Green関数を計算可能かつ解析的な表示を得ることが不可避となる.
本講演では,はじめに平面や球面,標準トーラス上の点渦力学系を例に,流れ場 の形状の違いが流れにどのような変化をもたらすかを紹介した後,それらの例を 包括する,非自明なKillingベクトル場が存在する曲面上の流体力学的Green関数 の計算可能な解析的表示の構成を述べる.なお標準トーラス上の点渦力学系に関 する結果は坂上貴之教授(京都大学)との共同研究に基づく.
一様双曲型力学系の周期点の個数は周期に関して高々指数関数的に増大する.一 様双曲性が崩れた力学系ではどうなるかを考えるのは自然な問題である.本セミ ナーでは $C^\infty$ の部分双曲型力学系で $C^\infty$ 位相で通有的(generic) に超指数増大度を持つようなものが存在することを説明する.以下の技術的な点 を中心に説明をする予定である.
1. 一般の部分双曲型力学系では center leaf の間のホロノミーの正則性が低い ($C^1$が期待できない).異なる leaf の力学系の情報をどう比較するか.本研究は浅岡正幸氏(京都大学),Dmitry Turaev氏(Imperial College London) らとの共同研究である.
世話人:
稲生 啓行(京都大学)
杉山 登志(岐阜薬科大学)
連絡先:
稲生 啓行 (inouQmath.kyoto-u.ac.jp, replace Q with at-mark)
〒606-8502 京都市左京区北白川追分町
京都大学大学院理学研究科 数学教室