過去のセミナー: 2006年度, 2005年度, 2004年度, 2003年度, 2002年度, 2001年度
新しい順に並べてあります。
Abstract:
In this lecture we will describe a number of different ways
that Sierpinski curves (that is, sets homeomorphic to the
Sierpinski carpet fractal) arise as the Julia sets of complex
rational functions. While all these Julia sets are the same
from a topological point of view, they are all very different
from a dynamical systems point of view. We'll explain why.
Abstract:
A polynomial skew product on C^2 is a regular polynomial map of degree at
least two such that the first component depends only on the first
coordinate. The second Julia set of a polynomial skew product might have
symmetries, that is, it might be invariant under some linear maps on C^2.
We investigate the structure of the group of symmetries. We show that,
except for two types, polynomial skew products having the same second Julia
set are essentially the same.
Abstract:
Informally speaking, a compact set in the plane is computable,
if there exists an algorithm to draw it on a computer screen
with an arbitrary resolution.
In a joint work with M. Braverman, we consider the question
of computability of Julia sets of quadratic polynomials.
I will discuss some of the surprising results of our study.
Abstract:
We establish a one-to-one correspondence between the
renormalizations and proper totally invariant closed sets (i.e.,
alpha-limit sets) of expanding Lorenz map, which enable us to
distinguish periodic and non-periodic renormalizations. We describe
the minimal renormalization by constructing the minimal totally
invariant closed set, so that we can define the renormalization
operator. Using consecutive renormalizations, we obtain complete
topological characterization of alpha-limit sets and nonwandering set
decomposition. For piecewise linear Lorenz map with slopes no less
than 1, we show that each renormalization is periodic and every
proper alpha-limit set is countable.
The paper can be obtained via math.DS/0703777.
Abstract :
wild なhomoclinic class を摂動することで、
universal dynamics という複雑な構造を持った力学系を構成することができる。
今回のセミナーでは、heteroclinic tangency から
universal dynamics を構成する方法に関して述べる。
Abstract:
力学系の不変葉層に対する絶対連続性について論じる。
本講演では特に、絶対連続性が崩壊する現象(Yakov Pesin氏との共同研究)について解説したい。
Abstract:
複素余次元1の横断的に複素解析的な葉層構造のJulia-Fatou分解はGhys, Gomez-Mont, Saludesにより与えられ,
葉層の種々の性質を反映すると期待されている.
例えば,Julia集合が空であればGodbillon-Vey類が消滅することなどが知られている.
しかし,このJulia集合は一般には扱いが難しく,その構造はあまり明らかになっていない.
そこで,本講演では扱いがやや容易である,別なJulia-Fatou分解を定義し,
その性質についてGhys, Gomez-Mont, Saludesによる分解と比較しつつ論じる.
Abstract:
リーマン球面上におけるランダムな複素力学系と有理半群(有理写像の族で生成された写像の合成を積とする半群)の力学系の両者の分野を同時に考察することによって、それらを交錯させた両者の分野の基礎理論を展開する。
それを用いて、ランダムな多項式力学系において、無限遠点に収束する確率の関数の性質と付随する多項式半群のジュリア集合の性質を同時に調べる。
また、ある仮定のもと、無限遠点に収束する確率の関数が、「悪魔の階段」の複素平面上版とでもいうべき性質(複素平面上連続で、フラクタル集合上のみで変化する性質)を持つことを示し、その各点ヘルダー指数を考察することによってこの関数が付随する多項式半群のジュリア集合上、ある確率測度についてほとんど全ての点で全微分不可能であることを示す。
Abstract:
Doyle & McMullen の論文[2]において、リーマン球面上の多面体群の作用と可換となる正則写像が大きな役割を果たす。
そのような正則写像は臨界集合を保ち、そのファトウ集合は超吸引領域
から成る。
Crass は高次元複素射影空間上の有限群の作用と可換となる有理写像や正則写像の具体例をいくつか構成しているが、
その力学系に対してはわかっていないことが多い。
本講演では、Crass の論文[1]で構成された正則写像の族のファトウ集合が超吸引領域から成ることを示す。
この正則写像は各臨界成分を保つ。証明には、複素射影空間上の正則写像の力学系に関する結果と小林双曲計量を使う。
さらに時間が許せば、この正則写像の族が公理Aを満たすことを示す。
証明には Maegawa の定理[3]が必要となる。
参考文献:
[1]S.Crass; A family of critically finite maps with symmetry,
Publ. Mat. 49(1), 127-157, 2005 math.DS/0307057
[2]P.Doyle & C.McMullen; Solving the quintic by iteration,
Acta Mathematica 163, 80-151, 1989
[3]K.Maegawa; Holomorphic maps on P^k with sparse critical orbits,
submitted
[4]K.Ueno; Dynamics of symmetric holomorphic maps on projective
spaces,
Publ. Mat. 51(2), 333-344, 2007 arXiv:0707.3496
Abstract:
The goal of this talk is to describe the dynamics of the
local map
of coupled map lattice(CML) -- the discrete versions of models.
Following
Kaneko I view CMLs as phenomenological models of the medium (which is
assumed to be homogeneous and unbounded) and I present the dynamical
system approach to the analysis of the global behavior of solutions
of CML
developed in works of V. Afraimovich, M. Brin, D. Orendovici, and
Y. Pesin.
This analysis is aimed at establishing spatio-temporal chaos
associated with
the set of traveling wave solutions of CML and describing the
dynamics of
the evolution operator on this set. The main results claim that the
dynamics
of the evolution operator on the set of traveling wave solutions is
completely
determined by the dynamics of the local map thus making the study
of the
latter as the primary goal of this work.
In this talk, we see how CMLs are related to traveling waves and
transited
to PDEs, review various types of CMLs and local maps, and then, study
their dynamics -- hyperbolic and ergodic properties.
アブストラクト:
By means of a nested sequence of some critical pieces constructed by
Kozlovski, Shen, and van Strien, and by using a covering lemma
recently proved by Kahn and Lyubich, we prove that the Julia set of a
polynomial is a Cantor set if and only if each component of the
filled-in Julia set containing critical points is aperiodic. This
result was a conjecture raised by Branner and Hubbard in 1992.
力学系・多変数函数論合同セミナー
Francois Berteloot (Toulouse) アブストラクト:
滑らかで強く散逸的、かつ必ずしも可逆とは限らないHenon的
平面写像による力学系を考える。力学系的critical pointを明示的に
導入したあと、次の二点について説明する。
定理A critical pointに沿って微分が指数的に伸びるならば、 正のリアプノフ数を持つカオス的アトラクターが存在する。
定理B そのようなパラメーターからなる集合は正のルベーグ測度を持つ。
この二つをあわせると、Benedicks-Carlesonの定理の証明と、その 非可逆の場合への拡張が得られる。
講演では、定理Aの証明についてごく簡単に触れたあと、定理Bの証明に おいて二次元特有の難しさに関わる最重要部分を、Henon写像のtoy模型を 使って説明する予定である。時間があれば、Jakobson-Newhouse, Palis-Yoccozによる最近の関連結果についても触れる。
参考文献 http://arxiv.org/abs/0704.1599 アブストラクト:
力学系の不変測度と相関の減衰の測度に関する数値計算および計算機援用証明に関する以下の結果を紹介し、これらの問題について議論する。
Abstract:
アノソフ流が不変な体積を許すための必要十分条件は、すでに de la Llave-Marco-Moriyonの結果によって与えれれている。しかし、似て非なる次の問題の研究はほとんど行なわれていないように思われる:
どのアノソフ流が不変な体積を許すものと位相同値か?
必要条件として位相推移性が挙げられるが、余次元1の場合にはそれが十分条件でもある、という結果を最近得たので、その報告をしたい。
(詳細はarXiv:math.DS/0703334を参照されたい)
なお、この結果と、Verjovskyによる位相推移性に関する古典的な結果、Simicによって2005年にアナウンスされた高次元体積保存余次元1アノソフ流の分類とを合せると、高次元余次元1アノソフ流の位相同値類の完全な分類(Verjovsky予想の肯定的解決)が得られる。
13:30-14:30
Part 1: A unified approach
(speaker: Marco Abate, Universita' di Pisa)
15:00-16:00
Part 2: The case of holomorphic maps
(speaker: Francesca Tovena, Universita' di Roma Tor Vergata)
Abstract:
Recent experiments on the formation of vortex lattices in
Bose-Einstein condensates has produced the need for a
mathematical theory that is capable of predicting a broader
class of lattice patterns, ones that are free of
discrete-symmetries and can form in a random environment. In
this talk, I will describe an N-particle based Hamiltonian
theory which, if formulated in terms of the interparticle
distances, leads to the analysis of a non-normal
`configuration' matrix whose nullspace structure determines the
existence or non-existence of a lattice. The singular value
decomposition of this matrix leads to a method in which all
lattice patterns, in principle, can be identified and
calculated by a random- walk scheme which systematically uses
the m-smallest singular values as a ratchet mechanism to hone
in on lattices with many new properties, including a complete
lack of discrete symmetries and heterogeneous particle
strengths.
Abstract:
I will discuss the thermodynamical formalism for dynamical systems
admitting inducing schemes (tower constructions). This includes some
real unimodal and multimodal maps, nonuniformly expanding maps, Henon
attractors, etc. I discuss existence, and uniqueness of equilibrium
(Gibbs) measures for a broad class of potential functions including
absolutely continuous (SRB) measures and measures of maximal entropy.
連絡先:
浅岡 正幸 <asaoka
at
math dot
kyoto-u dot ac
dot jp>
〒606-8502 京都市左京区北白川追分町
京都大学大学院理学研究科 数学教室