本講演では、二次元Euler方程式の空間フィルタリングに基づいた正則化モデルである二次元Filtered-Euler方程式の弱解に関する研究成果を紹介する。まず、Radon測度初期渦度に対する時間大域的な弱解の一意存在定理について述べたあと、渦層クラスの解について、正則化パラメータのゼロ極限で二次元Euler方程式の弱解に収束することを示す。
次に、二次元乱流の数理的理解を目的として、正則化パラメータ極限における解のエネルギー保存およびエンストロフィー散逸について考察する。特に、特定の初期渦度クラスに対する弱解が、パラメータ極限で局所エネルギー等式をみたす二次元Euler方程式の弱解に収束することを示したあと、点渦解を用いたエンストロフィー散逸解の存在に関する結果を紹介する。
先行研究では、Filtered-Euler方程式の3体点渦解について、パラメータ極限で自己相似衝突し、衝突時にエンストロフィー散逸するような解が存在することを証明した。最近の研究では、4体および5体点渦解でも同様に衝突によるエンストロフィー散逸が起きることが数値的に明らかになった。本講演では、これらの成果について、3体問題との類似点と相違点に注目しながら紹介する予定である。