本講演では Sierpinski carpet という無限分岐的な自己相似フラクタルの典型例の一つである図形上での (1,p)-Sobolev空間、（自己相似性を有する）Dirichlet p-エネルギー汎関数、そして対応する p-エネルギー測度の構成について、Mathav Murugan氏（The University of British Columbia）との共同研究に関する結果を述べる。これらの解析的対象物は「可微分構造のある空間」上では基本的なものであるが、Sierpinski carpet といったフラクタル上では勾配作用素の定式化が本質的に困難となり、滑らかな空間の場合とは全く異なる様相を呈する。p=2 の場合は Dirichlet形式の理論を通じて「Brown運動」と対応するような対象であるが、その L^p-拡張には非線形性や確率論的解釈の欠落などの本質的な困難が伴う。講演では L^p-拡張を考える動機の一つであるAhlfors正則等角次元という幾何学的量との関連についても触れる予定である。

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