スターリングスの定理は、有限生成群に対するケーリーグラフの幾何と、自由積分解をはじめとする群の分解を関連付ける定理であり、幾何学的群論においてシンボリックな定理として知られている。定理の証明では、ケーリーグラフの幾何から、いかにして群の分解を導くツリーを構成するかが鍵になる。最近、そのようなツリーの構成で（講演者が思うに）極めて canonical なものが Anush Tserunyan によって得られた。さらに、その結果として、可算ボレル同値関係に対するスターリングスの定理も得られた。この講演では、過去の証明との比較も交え、そのツリーの構成および関連する話題を紹介したい。講演の内容は A. Tserunyan「A descriptive construction of trees and Stallings’ theorem」(2020) に基づく。