Euler標数の概念は多面体から単体複体、位相空間へと拡張されトポロジーの中心的な考え方であると言って良い。00年代にLeinsterは距離空間に対してその位相的構造ではなく圏論的な構造に着目して、マグニチュードと呼ばれるEuler標数の概念の類似を提案した。またHepworth-WillertonはEuler標数がホモロジーによって圏化されることに対応するよう、マグニチュードの圏化（マグニチュードホモロジー）を構成した。マグニチュード及びマグニチュードホモロジーが距離空間の性質をどう反映しているのか、また既存の不変量とどう関わっているのか、という疑問は講演者にとって非常に興味深い。本講演では対象をグラフに制限し、定義から始めて最近の結果について紹介したい。特に上の２つの疑問についてそれぞれ、グラフの内周・パスホモロジーをキーワードとする結果を説明したい。

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