1 次元圧縮性 Navier-Stokes 方程式で記述される流れを考え，その中で流体からの力を受け，Newton の運動方程式に従って運動する質点を考える． 簡単のため，流れは順圧的とする． 本講演では，この質点の速度 $V(t)$ の長時間挙動に関する次の結果を紹介する： $V(t)$ はべき乗則 $V(t) \sim t^{-3/2}$ に従って減衰する [https://arxiv.org/abs/1904.00992]． 類似の結果としては，Burgers 方程式で記述される流れの中を運動する質点を考察した Vázquez & Zuazua による結果がある． 彼らの結果によると，$V(t) \sim t^{-1/2}$ である [J. L. Vázquez and E. Zuazua, Comm. Partial Differential Equations, 28 (2003) 1705-1738]． 従って，Navier-Stokes 方程式の場合の方が $V(t)$ の減衰は速い． この速い減衰は流れの圧縮性に起因することが示される． また，方程式の非線形性も本質的に重要である（線形化方程式を考えた場合，初期値の空間的な減衰が指数的であれば，$V(t)$ も指数的に減衰する）． 　証明は Green 関数の時空間における各点評価を利用して行う． Cauchy 問題の場合，すなわち基本解の各点評価は [T.-P. Liu and Y. Zeng, Mem. Amer. Math. Soc., 125 (1997) 599] によって与えられており，非線形問題の評価法も確立されている． また，半空間の場合，非線形問題の評価はやや不完全だが，Green 関数の各点評価は [L. Du and H. Wang, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38 (2018) 1349-1363] で与えられている． 本研究では，質点を伴う場合に Green 関数の各点評価を与え，また非線形問題の評価を Cauchy 問題の場合と同じレベルまで行うことで，長時間挙動 $V(t) \sim t^{-3/2}$ を証明する． 　本研究は元々，BGK モデル（Boltzmann 方程式のモデル方程式）に対する類似の問題を数値計算によって調べた [T. Tsuji and K. Aoki, J. Comput. Phys., 250 (2013) 574-600] の結果を，数学的に説明することを目的としている． すなわち，BGK モデルの代わりに，流体力学極限として得られる Navier-Stokes 方程式の場合を先に理解することを目指して行われた． こうした背景についても紹介したい．

備考： 本セミナーはZoomオンラインセミナーとして開催します．