多様体上に楕円型作用素が与えられているとき, そのフレドホルム指数が, 多様体のある部分集合上の情報のみから計算できる, という現象が多くの例で知られている. 多様体のオイラー数がベクトル場の零点の符号付数え上げで与えられるというPoincare-Hopfの定理などがその例である. 本講演では, この局所化の起こる原理について考えたい. 鍵となるのは, Morse関数によってラプラシアンを変形することでMorseの不等式を示したWittenによるアイデアである. このWitten変形の「無限次元版」と呼べる手法について解説し, 特異ファイバー束における符号数の局所化の問題と, 幾何学的量子化の問題への応用を紹介する.