4次元スピン多様体の族の$\mathbb{Z}_2$値の Seiberg-Witten 不変量は，モジュライ空間の仮想次元が$0$のときは，$S^1$ 同変 $KO$ 群における族の Dirac 指数と族の $H^+$束のみによって決まるという rigidity theorem を紹介する．以下の応用がある．

・族に対する10/8型不等式．符号数$-16$のスピン多様体$M$上に$H^+(M)$ の向きを変えるなどいくつかの条件を満たす $n$ 個の可換な自己微分同相写像が存在するとき $b_+(M)\geq 3+n$.
・$M=K3\# n(S^2\times S^2)$とするとき，$T^n$ を底空間とする nonsmoothable な$M$束の構成，および$M$上の nonsmoothable な $\mathbb{Z}^n$作用の構成．

本講演は加藤毅氏，今野北斗氏との共同研究に基づく．