３次元、４次元の多様体のトポロジーは５次元以上の多様体のトポロジーと違います。５次元以上でうまくいく証明が３次元、４次元ではうまくいかないことがよくあります。５次元以上では
Whitneyのトリックが有効ですが、４次元以下ではWhitneyのトリックが使えないというのが主な理由です。
１９８０年代にDonaldsonが４次元トポロジーに新しい手法を導入しました。それは、ゲージ理論に由来するインスタントン方程式の解のモジュライ空間を利用するもので、その後多くの応用が生まれました。さらに１９９４年にWittenによってSeiberg-Witten方程式が導入され、更に３次元、４次元のトポロジーが進展しました。
この講演ではインスタントン方程式とSeiberg-Witten方程式の主な応用についてお話します。最近の話題についても触れる予定です。