アーベル多様体は非常に古くから存在する研究対象であり、
多くの数学者を魅了してきました。今でも岩澤理論やフェル
マー予想の証明などにあらわれるように、数論幾何では最前
線で活躍する代表的な道具の一つです。
さて、タイトルにありますようにアーベル多様体に関する有
限性と一言に述べても様々な解釈があります。本講演では、
以下の二つの『有限性』に焦点を絞って近年の結果の話をさ
せていただきます：
（１）数体や局所体上定義されたアーベル多様体の、無限次
　　　拡大体に値を持つ有理点の成す群のねじれ部分群がい
　　　つ有限になるか。
（２）いくつかの与えられた条件を満たすアーベル多様体の
　　　同型類の個数の有限性。特にRasmussen-玉川による予
　　　想。