本講演は Martel, Merle, Raphaël との共同研究に基づく． 非線形分散性方程式の解の大域挙動分類として，非線形 Klein-Gordon 方程式に対する Schlag との共同研究では，基底状態より少し上のエネルギーまでの解全体を，9つの挙動へ分類した． この結果は非線形 Schr\"{o}dinger 方程式や非線形波動方程式へも拡張されているが，非線形項がL^2超臨界である事に依存している． 他方，Martel, Merle, Raphaël は，$L^2$ 臨界冪の一般化 Korteweg-de Vries 方程式について，ソリトンに十分近く，かつ，ソリトンの進行方向で減衰する初期値について，有限時間で爆発するか，ソリトンへ空間局所的に収束するか，有限時間内にソリトン集合から離れるという事を示した． 本講演の主結果は，2番目の解集合が，上記のような減衰条件の関数空間において余次元1の$C^1$多様体を成し，ソリトン集合の近傍を残り2つの解挙動に分け，さらに多様体上の解はソリトンと自由解の和に漸近する事を示す． これは上述の超臨界での9分類と比較すると，時間正方向とソリトンの近傍に限った3分類と見なせるが，鍵となる不安定性の性質が異なるため証明も大きく異なる． また，空間減衰と時間挙動の関係，時間正方向と負方向の挙動変化，ソリトンから離れた解の挙動など未解明の問題が多く，講演ではそれらについても議論したい．