Hardy の不等式は，劣臨界指数の場合には伸縮に関するスケール不変性を持つ事が知られている． 一方，臨界指数の場合には対数型の特異性に起因して通常の伸縮不変性は破綻する． 本講演では，「伸縮に関するスケール不変性を持つ平均振動型の臨界 Hardy の不等式」および「非線形スケール不変性を持つ対数補正型臨界 Hardy の不等式」の二種を導出する． 更にその最良定数は達成されないことを，対応する変分問題を解析することで証明する．