自己交差が横断的な２重点しかない球面曲線は球面イソトピーを除けば、３種類のReidemeister movesの局所変形列で単純閉曲線に移される。瀧村祐介氏（学習院中等科）、谷山公規氏（早稲田大学教育学部）との共同研究[1]においては、third Reidemeister moveを２種類（strong 3, weak 3）に分け、それぞれfirst Reidemeister moveと組ませた２種類の同値関係 strong (1, 3) homotopyとweak (1, 3) homotopyによる球面曲線の同値類について論じている。モチベーションのベースとして、Reidemeister movesの第1と第３のみからなる球面曲線の同値類がほとんど何もわかっていない、ということがある。[1]では例えば「球面曲線 Pがstrong (1, 3) homotopyで単純閉曲線になることの必要十分条件が、P が有限個のsimple closed curve、∞、三葉結び目の射影図の連結和となることである」ことを証明している。また[2]では「球面曲線Pがweak (1, 3) homotopyで単純閉曲線になることの必要十分条件が、Pが有限個のsimple closed curve、∞の連結和である」ことを証明している。本講演では、詳細のテクニックよりも「どういう問題意識でどのような問題をどのように考えたか」に重きを置き、その経緯を詳しく述べたい。

参考文献：
[1] N. Ito, Y. Takimura, and K. Taniyama, Strong and weak (1, 3) homotopies on knot projections, to appear in Osaka J. Math. [2] N. Ito and Y. Takimura, (1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections. J. Knot Theory Ramifications 22 (2013), 1350085 (14 pages).