アフィン量子群は理論物理における可解格子模型の研究に端を発して導入された、複素単純Lie代数の量子アフィン化にあたる代数系である。その有限次元表現のなすモノイダル圏は中島箙多様体や団代数の理論と関係し、現在まで活発に研究されている。この圏のGrothendieck環を変形したものが本講演における量子Grothendieck環であり、既約指標の決定アルゴリズムに関する予想（Kazhdan-Lusztig型予想）の定式化に用いられる。この予想は箙多様体の理論が適用できるADE型アフィン量子群の場合に正しいが、残りBCFG型の場合は一般に未解決である。本講演では、David Hernandez氏、Se-jin Oh氏、大矢浩徳氏との共同研究に基づき、BCFG型アフィン量子群のKazhdan-Lusztig型予想やその周辺に関して最近新たに分かったこをお話する。