2000年，Khovanov は Jones 多項式の圏論化として Khovanov ホモロジー を構成した．2014 年に Lipshitz-Sarkar はさらに Khovanov ホモロジーの空間的実現である Khovanov ホモトピー型 を構成した．Khovanov ホモトピー型は空間（有限 CW スペクトラム）であって，その被約コホモロジー群が Khovanov ホモロジーを復元する．Khovanov ホモロジーにはいくつかの変種があるが，これらに対してもホモトピー型が構成できるかどうかは未解決であった．講演者は 2021年 の論文で，変種の一つである Bar-Natan ホモロジーに対して，その空間的実現である Bar-Natan ホモトピー型 を構成した．当講演ではこの構成の概要を話し，今後の課題として Bar-Natan ホモトピー型を用いた Rasmussen 不変量の空間的持ち上げについても触れる．