Laplacian comparison theorem on Riemannian manifolds with modified $m$-Bakry-Emery Ricci lower bounds for $m\leq1$

Date: 
2020/01/22 Wed 16:30 - 17:30
Room: 
Room 110, RIMS
Speaker: 
Kazuhiro Kuwae
Affiliation: 
Fukuoka University
Abstract: 

完備で滑らかな$n$-次元リーマン多様体$(M,g)$上の非対称拡散作用素$\Delta_V=\Delta -\langle V, \nabla \cdot \rangle$ を$C^1$-ベクトル場$V$に対して考える。この枠組みでパラメータ$m\leq1$での$m$-Bakry-Emery リッチテンソル ${\rm Ric}_{m,n}(\Delta_V)={\rm Ric}+\frac12 \mathcal{L}_Vg-\frac{V^*\otimes V^*}{m-n}$を考え、その下限条件下でLaplacian比較定理について得られた結果を紹介する。特に$V$が勾配型の形 $V=\nabla \phi$のときは中国科学院教授Xingdong Li 氏と得られた結果であり、今回はその非対称な拡張である。
既存のLaplacian比較定理はパラメータ$m$が次元$n$以上の場合で記述されるものであり、Bakry-Qian や, X.-D.Li等によって示されている。彼らの結果は古典的なLaplacian比較定理をも包含する。今回得られた結果は今までにない形のものであるが、$V=\nabla \phi$, $m=1$の場合で下限が定数で記述される場合のWylie-Yeroshkinの結果を含む。
副産物として(weighted) Myers' theorem, Bishop-Gromov volume comparison theorem, Ambrose-Myers' theorem, Cheng's maximal diameter theorem, and the Cheeger-Gromoll type splitting theorem といったリーマン幾何学で基本的な定理の一般化だけでなく、$V=\nabla \phi$の場合の$\Delta _V$-拡散過程の保存性やフェラー性といった確率論的な結果も得られた。時間が許せば劣線形増大度調和関数のLiouville性についても触れたい。