可算離散群に対する Kazhdan の性質 (T) は，「ヒルベルト空間への等長作用が
常に大域的な固定点を持つ」 という固定点性質と同値である．Bader--Furman--
Gelander--Monod は，この固定点性質を他のバナッハ空間のクラス X に一般化
した固定点性質 (F_X) を定義した．X を測度空間を動かしたときの L_p 空間
たちの族（p は固定された 1 以上の実数）L_p としたとき，「全ての p に対し
(F_L_p) をもつ」という条件は (T) より真に強く，Gromov 双曲性と相容れない
ことが知られている．

n を 3 以上とするとき，有限生成整係数非可換多項式環上の n×n の elementary
group（n 次正方基本行列たちで生成される群）を「非可換普遍格子（noncommutative
universal lattice，NCUL）」という．NCUL が性質 (T) をもつかは非常に大きな問題で
あったが，2010年に Ershov と Jaikin-Zapirain のブレイクスルーにより肯定的に
解決された．彼らの方法はヒルベルト空間特有の幾何を用いるものである．以後，「全て
の p に対して NCUL が (F_L_p) をもつか」は重大な懸案事項であった．Shalom による
代数的に性質 (T) を示す方法（ICM 2006）を発展し新しい代数化をあみだすことに
より，今年に入って講演者は上記の懸案を n≧4 のときに肯定的に解決した．「有界生成
（bounded generation）条件の排除」をキーワードとして，事の顛末をご説明したい．