New algebraization of Kazhdan and fixed point properties

Date: 
2015/04/14 Tue 15:00 - 16:30
Room: 
Room 609, Building No.6
Speaker: 
Masato Mimura
Affiliation: 
Tohoku
Abstract: 

可算離散群に対する Kazhdan の性質 (T) は,「ヒルベルト空間への等長作用が
常に大域的な固定点を持つ」 という固定点性質と同値である.Bader--Furman--
Gelander--Monod は,この固定点性質を他のバナッハ空間のクラス X に一般化
した固定点性質 (F_X) を定義した.X を測度空間を動かしたときの L_p 空間
たちの族(p は固定された 1 以上の実数)L_p としたとき,「全ての p に対し
(F_L_p) をもつ」という条件は (T) より真に強く,Gromov 双曲性と相容れない
ことが知られている.

n を 3 以上とするとき,有限生成整係数非可換多項式環上の n×n の elementary
group(n 次正方基本行列たちで生成される群)を「非可換普遍格子(noncommutative
universal lattice,NCUL)」という.NCUL が性質 (T) をもつかは非常に大きな問題で
あったが,2010年に Ershov と Jaikin-Zapirain のブレイクスルーにより肯定的に
解決された.彼らの方法はヒルベルト空間特有の幾何を用いるものである.以後,「全て
の p に対して NCUL が (F_L_p) をもつか」は重大な懸案事項であった.Shalom による
代数的に性質 (T) を示す方法(ICM 2006)を発展し新しい代数化をあみだすことに
より,今年に入って講演者は上記の懸案を n≧4 のときに肯定的に解決した.「有界生成
(bounded generation)条件の排除」をキーワードとして,事の顛末をご説明したい.