平成１７年度 微分積分学 III (火曜一限）

• お知らせ
  ７月５日 演習問題が新しく配付されました。解答はこのページに アップロードされています。 期末試験が８月２日に実施されます。試験範囲は完全微分方程式 以降です。講義ノートの例題・習熟度テスト・演習問題から ８０％そのまま出題します。

• 担当者
  坂上貴之（講師）

• 講義目的
  常微分方程式の解法について学ぶ

• 何を学ぶのか？
  数学を専門としない学生にとって, 微分方程式の解法などは 一見全く関係ないように思えるかもしれない. しかし, 実のところ 「微分方程式」は世の中のあらゆる場面で顔を見せる. (学生のあなた たちが知らないだけである. ) おおよそ物事の変化を量的および質的 予測し判断する場面においては, 微分方程式という数学的表現を持って 与えられることが多いのである.

  もう少し平たく言えば, 微分方程式とは「ある瞬間の変化を記述する関係式」 であって、それを解くというのは, 「瞬間の記述から遠い未来の ことを予測する」ということに等しい. つまり, 我々は瞬間の記述から未来 を予測できるのである. この事実はニュートン以来の科学の基本的な構造として 存在し, その成果が我々に様々な恩恵をもたらしてくれているのである.

  科学技術が進歩し様々な物事が精密にコントロールされなければならなく なっている今日, 微分方程式による記述とそれを解くという作業 は重要であるし, 将来において数学とは関係のない分野に進む諸君達にとっても このような知識を有することは決して無駄ではないと思う. 本講義は選択科目 であるが, 意欲的に取り組んで欲しい.

• 評価の方法
  講義は 朝倉書店 「常微分方程式論 」(柳田・栄 著)を用いるが, 講義は この書籍を元に作成したノートを使用するので, 必ずしも書籍を購入する必要 はない.(購入を強く希望はする.) また, 毎回講義において簡単な「習熟度 １０分テスト」を実施し, 習熟度を試すとともに単位評価の素点とする. また数回演習問題を宿題として課すこともある. 講義の評価は 中間テスト 40％・習熟度テスト 20 %・期末テスト 40％ で評価する予定である. 詳しくは講義の中で指示する.

• 講義内容
  微分方程式の中でも最も初歩的な「常微分方程式」を取り上げ その意味や解法、特に「解く」ということにこだわって講義を 行う。

• 質問について
  講義に関する質問は随時受け付けるが, 事前にアポイントをとること.

• 講義記録
  
  • ４月１２日：Power Pointによるイントロダクション(配布資料はこちら) 1. 微分方程式の基礎 1-1 微分方程式の定義 (n階常微分方程式, 連立常微分方程式の定義)
  • ４月１９日：1-2 微分方程式の解 1-3 初期値問題と境界値問題 1-4 正規形と非正規形 (正規形の定義と非正規形の例、非特異形の特異解の求め方)
  • ４月２６日：2 初等解法 2-1 変数分離形の定義と解法 2-2 同次形の定義と解法
  • ５月１０日：2-2 同次形の定義と解法(つづき) 2-3 一階線形方程式の解法
  • ５月１７日：2-3 一階線形方程式の解法(ベルヌーイ型とリッカチ型の解法) 2-4 完全微分方程式の解法(導入のみ)
  • ５月２４日：休講
  • ５月３１日：中間テスト実施
  • ６月 ７日：2-4 完全微分方程式の解法 ( 完全形になるための必要十分条件, 積分因子の定義, 積分因子の探し方) 2-5 非正規形の解法 (ダランベールの方程式の導入)
  • ６月１４日：2-5 非正規形の解法 (ダランベールの方程式の解法・クレローの方程式の解法) 2-6 高階の微分方程式 (高階の微分方程式の解法その１)
  • ６月２１日：2-6 高階の微分方程式 (高階の微分方程式の解法 <同次形, 完全形>), 3 定数係数n階線形微分方程式 (定義) 3-1 定数係数２階微分方程式 (形式的な解き方)
  • ６月２８日： 3-1 定数係数２階線形微分方程式 (特性多項式・一般解の公式) 3-2 定数係数n階線形微分方程式 (特性多項式の導入・例)
  • ７月 ５日： 3-2 定数係数n階線形微分方程式 (特性多項式の導入・一般解の求め方) 3-3 非斉次定数係数２階線形微分方程式 (特解の定義・特解の求め方 < 原理的方法と発見法的方法>)
  • ７月 １２日： 非斉次定数係数線形微分方程式(特解の求め方例題) 3-4 定数係数線形微分方程式の初期値問題 (行列表示・行列の指数関数の定義)
  • ７月 １９日：3-4 定数係数線形微分方程式 (行列の指数関数の計算方法と初期値問題の解の構成)