平成２３年度 解析学基礎Ａ (火曜二限）演習（水曜三限・四限）

• 担当者
  坂上貴之（講師）福永知則（非常勤講師）鎌田聖也（ＴＡ）山腰智之（ＴＡ）

• お知らせ
  
  • (7/19) 期末テストのお知らせ
    下記の要領で中間テストを行います．
    • 　日時：８月２日（火曜日）１０時３０分〜１２時００分
    • 　場所：３−３０９講義室（講義を行っている部屋）
    • 　範囲：講義ノート４．３（特異点と有理型関数まで）
    • 　持込：不可とします
  • (6/7) ６月２１日は休講です．（講師出張のため）
  • (5/31) 中間テストのお知らせ
    下記の要領で中間テストを行います．
    • 　日時：６月１４日（火曜日）１０時３０分〜１２時００分
    • 　場所：３−３０９講義室（講義を行っている部屋）
    • 　範囲：Cauchyの積分定理まで（講義ノート３．２まで）
    • 　持込：不可とします
  • 　(5/24) 中間テストは６月１４日に実施します．（範囲は追って指示します）
  • 　(5/17) ６月中に中間テストを実施します．（日程・範囲は追って指示します）
  • 　(5/10) ５月１８日の演習は休講とします．

• 講義目的
  複素関数の微分積分の初歩を学ぶ. コーシーの積分定理,コーシーの積分公式 やテーラー展開など複素関数の微分可能性から導かれる正則関数の基本的諸定 理や性質を理解することを目標に授業を展開する. また, これらの定理が数学 や物理, 工学にいたる広範な領域において基礎的な知識となっていることにも 留意し, 留数定理の応用として基本的な定積分の求め方を紹介する.

• 評価の方法
  
  • 解析学基礎Ａ（講義）
    講義は「複素解析 / エリアス・M. スタイン, ラミ・シャカルチ著 ; 新井仁 之 [ほか] 訳 : 日本評論社, 2009, ISBN:9784535608924」の一章から三章を ベースにして，いくつかの基礎的な項目を追加したものを講義ノートとして 行う．講義の進捗状況に合わせて，講義の習熟度を見るために演習とは別に 簡単なレポートを適宜課す．また，中間テストと期末テストを実施し，レポー ト提出状況と合わせて総合的に評価する．
  • 解析学基礎演習Ａ（演習）
    演習は配付する演習問題集を用いる．そのうちのいくつかの問題を各自に解答 してもらい，その解答状況によって評価する．

• 講義内容
  以下の内容を講義する
  • 複素数と複素平面（復習）
  • 複素平面上の関数（連続関数，正則関数）
  • 整級数とその正則性
  • 初等関数: 多項式関数, 分数関数, 指数関数, 対数関数
  • 複素関数の経路積分，原始関数と不定積分
  • 複素積分とコーシーの積分定理,コーシーの積分公式
  • 留数定理とその応用

• 講義記録
  
  • ４月１２日　第一章　複素関数と正則性　１．１イントロダクション　 １．２　複素解析のための準備（四則演算・絶対値・複素共役・極座標表示 ・収束性・完備性・開集合・閉集合・境界・コンパクト集合・領域） １．３　複素関数（連続関数・最大値, 正則関数の定義, 例３つ）
  • ４月１９日　１．３（Cauchy-Riemannの関係式，C-R関係式と 正則の同値性）第二章 級数と初等関数　２．１ 整級数（整級数の 定義，整級数の収束・発散，収束半径・収束円，上極限，Cauchy-Hadamard の公式）
  • ４月２６日　２．１整級数つづき（Cauchy-Hadamardの公式証明， 収束半径の計算II，整級数の連続性，各点収束，一様収束，広義一様 収束，優級数，優級数定理，一様収束列の連続性，整級数の正則性）
  • ５月１０日　２．１整級数つづき（整級数の正則性，無限回微分 可能性，解析関数）２．２ 初等関数（指数関数，指数関数の性質， 三角関数，三角関数の性質，双曲線関数，双曲線関数の性質，対数 関数，対数関数の多価性）
  • ５月１７日 ２．２初等関数つづき（対数関数の加法性，対数関数の微分 第三章　経路積分とCauchyの積分定理　３．１経路積分（パラメータ付けされた曲線， 滑らかな曲線，区分的に滑らかな曲線，同値な曲線集合，曲線の逆向き曲線， 単純な曲線，閉曲線，経路積分の定義，経路積分の性質，例２題）
  • ５月２４日 ３．１経路積分つづき（原始関数の定義，原始関数と経路 積分，閉曲線での経路積分，不定積分の定義，不定積分と原始関数，不定積分 の存在条件，例２題，まとめ）３．２ Cauchyの積分定理とその応用（Goursat の定理，四角形の積分定理，円板内の正則関数の原始関数，円板上のCauchyの 積分定理）
  • ５月３１日 ３．２ Cauchyの積分定理とその応用つづき（Goursatの定理 の証明，円板内の正則関数の原始関数の存在の証明，toy contours，例２題）
  • ６月　７日 ３．２ Cauchyの積分定理とその応用つづき（例２題） ３．３ Cauchyの積分公式（Cauchyの積分公式，正則関数の無限回微分可能性， Cauchyの不等式, 正則関数の整級数展開）
  • ６月１４日 中間テスト
  • ６月２１日 休講　
  • ６月２８日 ３．３ Cauchyの積分公式（正則関数の整級数展開）第四章 有理型関数と留数定理　４．１ 零点と極（孤立特異点の分類，除去可能な 特異点，極，真性特異点，零点と零点の位数，極と極の位数，有理型関数の 級数展開，留数の定義，留数の計算公式）
  • ７月　５日 ４．２ 留数定理（留数定理，例三題）３．４ Cauchyの 積分公式の応用（代数学の基本定理，Moreraの定理)
  • ７月１２日 ３．４Cauchyの積分公式の続き（解析接続，一致の定理， 正則関数列の収束，シュワルツの鏡像原理）
  • ７月１９日 ４．３ 特異点と有理型関数（除去可能な特異点に 関するRiemannの定理，極の特徴づけ，Casorati-Weierstrassの定理， 有理型関数の定義）
  • ７月２６日　完全流体と複素解析（非粘性・非圧縮・渦なし流体， 複素速度ポテンシャル，流れ関数，一様流・渦・湧き出し・吸い込み・ 二重湧き出し，円柱を通り過ぎる流れ，オイラー方程式，ブラシウスの公式， 揚力，ダランベールのパラドクス）
  • ８月　２日　期末テスト