平成２３年度 微分積分学 II (水曜三限：３１組・３３組偶数番号）

• お知らせ
  • (1/25) レポートは２月１日まで受けつけます．
  • (1/18) 期末テストは２月１日（水）三限目に実施します．
  • (11/16)中間テストは１２月１４日（水）三限目に実施します．
  • (11/16)１２月７日（水）は休講とします．
  • (9/20) 講義は９月２８日から開始します．(N283)

• 担当者 : 坂上貴之（講師）

• 講義目的 : 微分積分学のうち積分法について学ぶ

• 微分積分学の位置付け

  微分積分学は諸科学における「共通言語」「基礎能力」として位置付けられており, 将来においてどのような分野に進むにしても必ず習熟を要求される. 特に, 積分法は実際の積分計算を通じて面積や体積など重要な量の計算に欠かせない. 一変数の積分のみならず多変数の関数の積分が実際に計算できるという面を重視して, 数学上の定義や定理などの厳密な証明には立ち入らず, むしろその意味や使い方などを中心に習熟することを目指す.

• 講義の進め方と評価の方法

  講義はこれを講義ノートを使用する. 板書はすべての講義の基礎となるので 出席してノートをきちんととること.

  また, 毎回講義の最後にレポート課題を課す. この提出を持って講義への出席とし, 単位評価の際の素点とする. 提出期限を遵守が原則であるが, 多少遅れてでも提出することを勧める。

  総合評価は微分積分Iと同様 素点 20％, 中間テスト 40％, 期末テスト 40％ で評価する予定.

• 講義内容
  1. 一変数関数の積分の定義と可積分性
  2. 不定積分と定積分
  3. 不定積分の計算法(変数変換公式と部分積分公式)
  4. 不定積分計算例(有利関数・三角関数・二次無理関数)
  5. 一変数関数の広義積分
  6. 定積分の応用(曲線の長さ)
  7. 多変数関数の積分(重積分)の定義と可積分性
  8. 累次積分
  9. 重積分の変数変換公式
  10. 多変数関数の広義積分
  11. Γ関数とΒ関数
  12. 多変数関数の積分の応用(体積と曲面積)

• レポート課題
  「教科書」とは「入門微分積分学」(培風館)を指す.
  • （第一回）１０月　５日　教科書p.61 問題３．１の１から４（５の解答 は自由）
  • （第二回）１０月１２日　教科書p.66 問題３．２の１から３
  • （第三回）１０月１９日　教科書p.66 問題３．２の４から６，教科書 p.72 問題３．３の１，２
  • （第四回）１０月２６日　教科書p.78 問題３．４の１から５
  • （第五回）１１月　９日　教科書p.115 問題５．１　１，２，３（ただし ２の(7),(8)は除く）
  • （第六回）１１月１６日　教科書p.115 問題５．１　２(7),(8)，教科書 p121 問題５．２ １，２
  • （第七回）１１月３０日　教科書p.121 問題５．２ ３，４ p.126 問題 ５．３ １　（提出は12月21日）
  • （第八回）１２月２１日　教科書p.126 問題５．３ ２から６
  • （第九回）　１月１１日　教科書p.140 問題５．５　１から５
  • （第十回）　１月１８日　教科書p.133 問題５．４

• 講義記録
  
  • ９月２８日　ガイダンス 第一章 1.1 区分求積法による積分の定義（区 間の分割，分割の幅，部分和，定積分の定義，連続関数の可積分性）1.2 不定 積分と定積分（不定積分の定義，原始関数の定義）
  • １０月　５日　不定積分と定積分（微分積分学の基本定理，変数変換法， 例４題，部分積分法，例２題）
  • １０月１２日 1.3 不定積分の計算（有理式の積分，例３題，三角関数を 含む積分，例２題，二次無理関数を含む積分，例１題，逆三角関数を含む積分 例２題）
  • １０月１９日 1.3 不定積分の計算（つづき例１題）1.4 広義積分（広義 積分の定義，例４題，優関数による比較判定法，例２題，広義積分の発散の判 定，例１題）
  • １０月２６日 1.4 広義積分（つづき例２題，ガンマ関数）1.5 曲線の長 さ（曲線のパラメータ表示，曲線の長さの定義，曲線の長さの計算，グラフの 長さの計算，例２題）
  • １１月　２日 （広義積分の復習，例２題）第二章多変数関数の積分（重 積分）2.1 重積分の定義と可積分条件（長方形領域，領域の多様性，積分の定 義，有界閉領域，有界閉領域の上の連続関数の可積分性，体積の定義）
  • １１月　９日 2.2 累次積分（累次積分による重積分の計算，矩形領域， 単純な領域，単純な領域上の累次積分と重積分，例７題）
  • １１月１６日 2.2 累次積分つづき（三変数関数の重積分と累次積分， 単純な領域，例２題）2.3 重積分の変数変換（変数変換公式，例１題， 平面極座標変換，例１題）
  • １１月３０日 2.3 重積分の変数変換（三変数関数の変数変換公式， 球面極座標，円柱極座標，例二題）2.4 線積分とグリーンの定理（部分 積分から線積分へ，有向曲線，線積分の定義，例１題）
  • １２月　７日　休講
  • １２月１４日　中間試験
  • １２月２１日 2.4 線積分とグリーンの定理（つづき）（部分積分 の拡張について，領域の境界の向き，グリーンの定理，例３題，グリーンの定理の証明）
  • 　１月１１日 2.5 ガンマ関数とベータ関数（定義，収束の証明，その性質，Β 関数とΓ関数の関係，例３題）
  • 　１月１８日 2.6 曲面積（曲面の定義，ベクトルの外積，外積演算，外 積の幾何学的意味，曲面積の公式の導出，グラフの曲面積，回転体の曲面積）
  • 　１月２５日 2.6 曲面積（例６題）
  • 　２月　１日 期末試験