平成２１年度 数理解析学講義/数理解析学続論(計算数学1続論) (火曜二限）

• お知らせ
  • (6/30) 期末テストを７月２１日に行います．
  • (4/6) 講義開始は4月7日 教室は 3-202 で行う
  • (4/6) 5月19日は休講

• 担当者 : 坂上貴之（講師）

• 講義目的 : 偏微分方程式の数値解析の基礎を学ぶ

• 到達目標 :

  偏微分方程式の差分法による数値解析において重要な概念(適合性・安定性 ・収束性)について理解する．また，これらの性質を理解するための数学 理論を学ぶと同時に与えられた差分近似についてこれらの性質を調べる ことができるようになる．

  加えて、応用上も重要な様々な偏微分方程式の数値解法としてよく用いられる 代表的な数値解法についても概説する。

• 講義の進め方と評価の方法

  基本的に講義ノートを使用する. 板書はすべての講義の基礎 となるので出席してノートをきちんととること.　また, 月に一度〜二度 のペースでレポート課題を課す. この成果を単位評価の際の素点とする. これに加えて期末テストを実施する。

  総合評価は 素点 40％, 期末テスト 60％ で評価する予定.

  参考書は以下の通り．

  • J.W. Thomas, Numerical Partial Differential Equations(Finite Difference Methods), Texts in Applied Mathematics 22, Springer
  • G. Evans, J. Blackledge and P. Yardley, Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer
  • S.C. Brenner and L.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed, Texts in Applied Mathematics 15, Springer
  • 石岡圭一，スペクトル法による数値計算入門，東京大学出版会
  • 山口昌哉・野木達夫，数値解析の基礎　偏微分方程式の初期値問題，共立 出版
  • 森正武，数値解析学，共立出版

  講義の履修に当たっては，常微分方程式の数値解法や線形方程式の数値解法 について知っていることが望ましい．プログラミングの知識は前提とせず， またプログラムを作成できることを単位の要件ともしないが，解析のみで その実装を伴わないようでは，数値解析の本質の理解において十分ではない． したがって，レポートの中にはプログラム課題も一部含めて出題する予定 である．

• 講義内容
  1. 放物型方程式の有限差分解析
  2. 双曲型方程式の有限差分解析
  以下のトピックについては講義の進行状況を見ながら適宜選んで講義する．
  1. 楕円型方程式の有限差分解析
  2. スペクトル法の基礎　
  3. 有限要素法の基礎
  4. 様々な数値解法(渦法・代用電荷法・離散変分法)

• 講義記録
  
  • ４月７日 0. 数値解析とは 1. 放物型偏微分方程式の差分法 1.1 序論 (熱方程式の数値解析上の問題，微分と差分，実数の浮動小数点表示，丸め誤差，桁落ち現象，情報落ち)
  • ４月１４日 1.2 熱方程式の差分解法 (陽的解法の構成） 1.3　適合性　1.4 ノイマン境界条件 1.5 様々な差分法(低次の微分, 非斉次方程式の差分近似, 高次の適合性を持つ差分近似
  • ４月２１日 2 理論的考察　2.2 差分スキームの収束性 2.2.1 初期値問題 　2.2.2 初期値境界値問題 2.3. 線形代数からの準備事項
  • ４月２８日 2.3 差分スキームの適合性 2.3.1 初期値問題（適合性の定義， 例２題）
  • ５月１２日 2.3.2 初期値境界値問題（例三題；ノイマン境界条件の扱い．中心差分　前進差分　offset grid) 2.4 安定性 2.4.2 初期値問題の安定性（安定性の定義，例１題）
  • ５月２６日 第一回レポート問題解説　2.4 安定性（つづき） 2.4.2 初期値問題の安定性（例３題）2.5 Laxの定理
  • ６月　２日 2.5 Laxの定理（証明） 3. 安定性解析 3.1 安定性解析の手法 3.1.1 初期値問題の安定性解析（フーリエ変換，パーセバルの等式， 差分スキーム安定性のフーリエ空間での必要十分条件，例１題）
  • ６月　９日 初期値問題の安定性解析（つづき）（シフト演算子，例３題， 安定性の必要十分条件，von Neumannの条件)
  • ６月１６日 3.1.2 初期値境界値問題の安定性解析 (安定性の定義, von Neumann条件，スペクトル半径，例１題）3.2 有限フーリエ級数と 安定性解析 (有限フーリエ級数展開）
  • ６月２３日 3.2 有限フーリエ級数と安定性解析 (例題） 3.3 ゲルシュゴリンの円定理 (ゲルシュゴリンの円定理，例二題）
  • ６月３０日 4　双曲型方程式の差分解法　4.1　イントロダクション 4.2 移流方程式の差分解法 4.2.1 一方向スキーム 4.2.2 中心差分スキーム 4.2.3 Lax-Wendroffスキーム
  • ７月　７日 4.3 陰的スキーム 4.3.1 一方向スキーム　4.3.2 　中心差分スキーム 4.3.3 Lax-Wendroffスキーム 4.4 初期値境界値問題 4.4.1 周期境界条件 4.4.2 ディリクレ境界条件 4.5 初期値境界値問題 の差分スキーム 4.5.1 周期境界条件のスキーム（一方向スキーム， Lax-Wendroffスキーム）
  • ７月１４日　Sherman-Morrisonのアルゴリズム（巡回行列の数値解法） 4.6 Courant-Friedrichs-Lewy条件