平成２０年度 数学概論 (常微分方程式論)

• お知らせ
  
  • (7/24) レポートは７月３１日までに提出可能です。
  • (7/24) 期末テスト概要
    • 日時：７月３１日(木) １６時３０分より９０分
    • 場所：E 311
    • 試験範囲：完全形〜定数係数線形微分方程式まで。レポートの問題および 講義中に解いた問題から８０％程度出題します。
    • 条件：持ち込み不可
  • (6/19) 期末テストを ７月３１日 に行います。
  • (6/19) ７月１７日は 休講 です。
  • (6/2) ５月２９日のレポートが出題されています。
  • (5/15) 中間テストは以下の要領で行います。
    • 日時：５月２９日(木) １６時３０分〜１８時００分
    • 場所：E３１１
    • 範囲：講義ノート§２.３ 線形方程式まで。講義中に解いた例題とレポート問題から８０％程度出題します。
  • (5/1) 中間テストを５月２９日 に行います。
  • (4/10) 講義室がE310からE311に変わります。
  • (4/1) 講義は４月１０日から開始されます.

• 担当者
  坂上貴之（講師）天谷洋祐(TA)

• 講義目的
  常微分方程式の解法について学ぶ

• 何を学ぶのか？
  数学を専門としない学生にとって, 微分方程式の解法などは 一見全く関係ないように思えるかもしれない. しかし, 実のところ 「微分方程式」は世の中のあらゆる場面で顔を見せる. (学生のあなた たちが知らないだけである. ) おおよそ物事の変化を量的および質的 予測し判断する場面においては, 微分方程式という数学的表現を持って 与えられることが多いのである.

  もう少し平たく言えば, 微分方程式とは「ある瞬間の変化を記述する関係式」 であって、それを解くというのは, 「瞬間の記述から遠い未来の ことを予測する」ということに等しい. つまり, 我々は瞬間の記述から未来 を予測できるのである. この事実はニュートン以来の科学の基本的な構造として 存在し, その成果が我々に様々な恩恵をもたらしてくれているのである.

  科学技術が進歩し様々な物事が精密にコントロールされなければならなく なっている今日, 微分方程式による記述とそれを解くという作業 は重要であるし, 将来において数学とは関係のない分野に進む諸君達にとっても このような知識を有することは決して無駄ではないと思う. 本講義は選択科目 であるが, 意欲的に取り組んで欲しい.

• 評価の方法
  講義は 朝倉書店 「常微分方程式論 」(柳田・栄 著)を用いるが, 講義は この書籍を元に作成したノートを使用するので, 必ずしも書籍を購入する必要 はない. (購入を強く希望はする.) また, 毎回講義においてレポートを課す. 講義の評価は 中間テスト 40％・レポート 20 %・期末テスト 40％ で評価する予定である. 詳しくは講義の中で指示する.

• 講義内容
  微分方程式の中でも最も初歩的な「常微分方程式」を取り上げ その意味や解法, 特に「解く」ということにこだわって講義を 行う.

• 質問について
  講義に関する質問は随時受け付けるが, 事前にアポイントをとること.

• 講義記録
  
  • ４月１０日 ガインダンス, 第一章 微分方程式の基礎 １.１ 微分方程式の例(放射性物質の時間変化, ばねの運動, 電気回路) n階常微分方程式の定義, 連立一階常微分方程式, 例１題 １.２ 微分方程式の解 (解の定義, 一般解, 特異解) 例１題
  • ４月１７日 休講
  • ４月２４日 １.３ 初期値問題と境界値問題(初期値, 境界値, ディリクレ条件, ノイマン条件, 周期境界条件, 例２題) １.４ 正規形と非正規形の方程式 (正規形の定義, 解の存在と一意性定理, 非正規形の例, 陰関数定理, 非正規形の特異解, 例１題)
  • ５月 １日 第二章 初等解法 ２.１ 変数分離形 (変数分離形の定義, 解き方, 例２題) ２.２ 同次形 (同次形の定義, 解き方, 例１題, 有理関数型の方程式, 有理型一次の方程式)
  • ５月 ８日 ２.２ 同次形 (有理型一次の方程式の例、一般化された同次系、例)２.３ 一階線形(定義、定数変化法、例)
  • ５月 １５日 ２.３ 一階線形(ベルヌーイの微分方程式, 例, リッカチの微分方程式, 例) ２.４ 完全微分方程式 (全微分方程式, 完全微分方程式, 一般解, 完全形であるための必要十分条件, 例)
  • ５月 ２２日 ２.４ 完全微分方程式 (例, 積分因子, 積分因子の求め方, 例) ２.５ 非正規形の微分方程式 (yについて解けている場合の解法, ダランベールの方程式, 例, クレローの方程式, 例)
  • ５月 ２９日 中間試験
  • ６月 １２日 ２.６ 高階の微分方程式( 方程式がyによらない場合, 例, 方程式がxによらない場合, 例, xやyについて同次形になっている場合, 例, リュービル型方程式)
  • ６月 １９日 第三章 定数係数線形微分方程式 3.1 二階定数係数同次線形微分方程式(定義, 演算子, 微分作用素, 基本解, 特性方程式, 例３題)
  • ６月 ２６日 3.2 n階定数係数同次線形微分方程式(定義, 特性多項式, 基本階, 例１題) 3.3 ２階定数係数非同次線形微分方程式(特殊解, 例２題)
  • ７月 ３日 3.3 ２階定数係数非同次線形微分方程式(演算子法, 例２題) 3.4 n階定数係数線形微分方程式 (行列の指数関数の定義)
  • ７月１０日 3.4 n階定数係数線形微分方程式 (対角化可能行列の指数関数の計算法, 例１題, 固有多項式と固有値, 射影行列, 射影行列の性質)
  • ７月２４日 3.4 n階定数係数線形微分方程式 (射影行列, 射影行列の性質, 射影行列を用いた指数行列の計算, 例３題)
  • ７月３１日 期末テスト