平成１９年度 計算数学１ (水曜二限）

• 担当者
  坂上貴之（講師）・ 矢萩大樹, 山口嵩幸（TA）

• お知らせ
  
  • (7/30) 第三回目のレポート問題に修正があります.
  • (7/11) 最終の講義は７月２５日. TAによる計算機実習は８月３日まで.
  • (7/11) 次週(7/18)は休講.
  • (7/4) 第三回レポートが出されました。(提出期限８月３日)
  • (6/6) 第二回レポートが出されました。(提出期限７月１３日)
  • (5/16) 第一回レポートが出されました。(提出期限６月２９日)
  • 最初の講義は４月１１日から始まります。

• 講義目的
  数値解析と数値計算の数学的基礎とその応用について解説する. 単に数学の理論のみならず, その数値解析方法の計算機への実装・応用能力 も重視する.

• なぜ数学科で数値解析か？
  数値解析は数理科学の 研究の最先端で必要 であるばかりか, 将来 計算機(シミュレーション)に関わる 職業につく上での基礎ともなる. 近年, 計算機の普及によってソフトウェアも充実したために かえってその動作原理などを知らなくても結果が簡単に得られるようになったが, このことは社会において最先端のシミュレーションのニーズが深まる一方で, その 背景にある理論の理解が深まっていないという現状を生んでいる. こうした状況 に鑑みて数学科でこうした数値計算を学ぶことには非常に意義がある.

• 評価の方法
  講義はオリジナルの講義ノートに基づいて行うが、そのベースとなった 参考教科書は 共立出版「数値解析」(森 正武)である. 全体で三回から四回程度の 理論レポートを課す. 講義の評価は レポートですべて で評価する.

• 講義内容
  以下の内容を講義する
  • 線形方程式の数値解法 (直接法・反復法・共役勾配法)
  • 非線形方程式の数値解法 (Newton法)
  • 常微分方程式の数値解法(初期値問題・境界値問題)
  • 数値積分(台形公式, DE公式)

• 計算数学１講究について
  数値解析においては理論のみならず、そのアルゴリズムを実際に計算機 で実装できる能力が必要である. それに対応するべく, 計算数学１には 講究科目が設定されている. これは計算機実習を兼ねている.講義の中で 計算機に関するレポートを出すので、それを提出することで単位を認定する.

  なお, 計算機が自由に使えるものは作成して提出するだけでよい. 一方, 計算機に不慣れなものは, TAの指導の下計算機に関する指導を 金曜日 ４限・５限に ８号館の計算機室で行うための時間を設定しているので そこに参加してレポートを作成すること.

• 講義記録
  
  • ４月１１日 第０章 数値解析と数値計算 不動小数点表示と丸め誤差, 桁落ち・情報落ち・組み込み関数
  • ４月１８日 第１章 線形方程式の数値解法 1.1 ベクトルのノルムと行列のノルム (ノルムの定義, ベクトルのノルム, ノルムの同値性, 行列のノルム, スペクトル半径) 1.2 丸め誤差の影響と条件数 (条件数の定義, 丸め誤差の上からの評価)
  • ４月２５日 1.3 直接解法 (Gauss 消去法, LU分解法)
  • ５月２日 1.3 直接解法 (三重対角行列のLU分解法) 1.4 反復法 (反復法の定義, ヤコビ法, ガウス・ザイデル法, SOR法の定義, 縮小写像の定義, 縮小写像の原理, 反復法の収束の必要十分条件)
  • ５月９日 1.4 反復法(反復法収束の必要十分条件証明, 反復法の丸め誤差の影響, 優対角行列の定義, 優対角行列のヤコビ反復法, 正定値対称行列, 正定値対称行列のガウスザイデル法の収束) 1.5 共役勾配法 (逐次最小化法のアイデア, 共役勾配法の導入)
  • ５月１６日 1 1.5 共役勾配法 (共役勾配法の解説, 構成方法, アルゴリズム)
  • ５月２３日 第二章 非線形方程式の解法 2.1 Newton法 (一変数のNewton法, 多変数のNewton法, 二次収束) 2.2 Newton法の収束性 (不動点定式化, 収束のための十分条件, 丸め誤差の影響)
  • ６月６日 第三章 常微分方程式の数値解法 3.1 常微分方程式の初期値問題(問題設定, 解の存在と一意性, k段解法, 陽的・陰的解法, p次公式) 3.2 陽的一段公式(Runge-Kutta型p段公式, オイラー法, ホイン法, ルンゲクッタ法, 局所打ち切り誤差, ホイン法の二次収束について)
  • ６月１３日 3.3 一段解法の誤差の累積(丸め誤差の評価), 第四章 常微分方程式の境界値問題の数値解法 (問題設定, 差分作用素の 定義)
  • ６月２０日 休講
  • ６月２７日 常微分方程式の境界値問題(つづき)(差分作用素から差分方程式へ, 可解性, 適合性・局所打ち切り誤差)
  • ７月 ４日 常微分方程式の境界値問題(つづき)(安定性, 収束性) 第５章 数値積分法(一変数関数) 問題設定, 5.1 台形公式と近似精度 (台形公式の定式化, ベルヌイ多項式, ベルヌイ数, ベルヌイ多項式の性質)
  • ７月１１日 5.1 台形公式と近似精度 (ベルヌイ多項式の微分係数, ダルブーの公式, オイラーマクローリンの総和公式, 台形公式の精度)
  • ７月１８日 休講
  • ７月２５日 5.2 変数変換型積分公式 (IMT公式, 二重指数関数積分公式)