平成１７年度 微分積分学 I (水曜三限）

• お知らせ
期末試験は８月３日(水)三限目に行われます。追試験(本試験を受験できないもの対象)は ８月９日１３時００分から行います。
• 担当者 : 坂上貴之（講師）

• 講義目的 : 微分積分学のうち微分法について学ぶ

• 微分積分学の位置付け

  微分積分学は多くの科学における「共通言語」「基礎能力」として位置付けられており, 将来においてどのような分野に進むにしても必ず習熟を要求される。

• 高校までの微分・積分との違い

  微分・積分については高校数学においても学んでいるところであるが, その大きな違いは以下の通り.

  • 単に公式を暗記して計算するだけではなく, その公式の背景にある数学的概念や考えかたを身につけることも重要である.
  • 高校までは「関数」と言えば一変数の関数であったが, 大学では多変数の関数を自由に扱えるようにならねばならない.

• 講義の進め方と評価の方法

  教科書は 培風館 「入門微分積分学 」三宅著 を用いるが, 講義はこれを元に作成した ノートを使用する. 板書はすべての講義の基礎となるので出席してノートをきちんととること.

  また, 毎回講義の最後において簡単な「習熟度１０分テスト」を実施し, 習熟度を試すとともに単位評価の素点とする. (６月２２日以後は「宿題」に変更したので、毎週の宿題提出を持って素点とする) また講義の進度に合わせて教科書の問題を順次一問ずつ割り当て, その解答を作成して提出する「解答作成」 を宿題として課す. これらは評価の加点要素とする.

  ５月２５日に中間テストを８月に期末テストを実施する。

  総合評価は 素点 20％, 中間テスト 30％, 期末テスト 50％ (プラス問題回答一回につき加点)で評価する予定である.

• 講義内容
  1. 実数の概念と極限操作
  2. 一変数関数の極限と連続性
  3. 一変数関数の微分法
  4. 一変数関数の微分法の応用
  5. 多変数関数の極限と連続性
  6. 多変数関数の微分法
  7. 多変数関数の微分法の応用

• 習熟度テスト一覧
  
  • ４月２０日の問題 (上限・下限, 単調列の収束)
  • ４月２７日の問題 (関数の極限を求める)
  • ５月１１日の問題 (逆三角関数の問題)
  • ５月１８日の問題 (逆三角関数の問題 or 関数の微分)
  • 6月１日の問題 (関数の微分 or 不定形の極限)
  • 6月8日の問題 (不等式の証明)
  • 6月15日の問題 (ロピタルの定理,高階微分)
  • 6月21日の宿題範囲 教科書問題 2.4 1 と 問題 2.4 3 (計８題)
  • 6月29日の宿題範囲 教科書問題 4.2 4 と 問題 4.2 5 (計９題)
  • 7月6日の宿題範囲 教科書問題 4.3 5 と 問題 4.3 7 (計６題)
  • 7月20日の宿題範囲 教科書問題 4.4 5 (計２題)

• 質問について
  基本的に講義前１５〜２０分前に講義室に私は現れるので, その時に質問を受ける. それだけでなく, 質問は随時受け付けるが, その時は事前にアポイントをとること.

• 講義記録
  
  • ４月１３日 イントロ(配布資料は こちら) 第一章 実数と実数列の極限 1.1 実数とは何か (上界・下界の定義, 区間の定義)
  • ４月２０日 1.1 つづき(上限・下限の定義) 1.2 実数列の極限 (実数列の定義, 実数列の収束の定義, 収束と四則演算, 収束と大小関係, はさみうちの原理) 1.3 実数の公理 (単調列の定義, 有界単調列の収束, ネイピアの定数)
  • ４月２７日 第二章 一変数関数の極限と連続性 2.1 関数の極限と連続 (関数の極限の定義、左極限・右極限、関数の極限の一意性、関数の極限と四則演算、連続の定義 、有界性の定義　）
  • ５月１１日 2.1 関数の極限と連続 (つづき) (連続性の復習・合成関数) 2.2 中間値の定理( 中間値の定理・有界閉区間上の連続関数の最大最小存在の定理) 2.3 初等関数(双曲線関数・逆関数の存在・逆三角関数)
  • ５月１８日 2.3 初等関数(復習) 3.1 一変数関数の微分法(微分の定義, 連続関数と微分可能関数の関係, 四則演算と微分, 合成関数の微分, 逆関数の微分, 例７題) 3.2 微分法の応用 (1. 関数の極大・極小と微分)
  • ５月２５日 中間テスト実施
  • ６月１日 3.2 微分法の応用 つづき(2. 平均値の定理, 3. ロピタルの定理)
  • ６月８日 3.3 高階導関数とテイラー展開 ( 高階導関数, C^k 級関数, 二階導関数の意味, テイラーの定理(導入) )
  • ６月１５日 3.3 高階導関数とテイラー展開 ( テイラーの定理(証明) , 有限テイラー展開, 有限マクローリン展開, ランダウの記号 )
  • ６月２２日 3.3 高階導関数とテイラー展開 (ランダウの記号、漸近展開) 4 多変数関数の連続性と微分法 4.1 イントロダクション 4.2 二変数関数の連続性 (連続の定義)
  • ６月２９日 4.2 二変数関数の微分法(偏微分の定義・全微分の定義・全微分可能性と偏微分可能性の関係・合成関数の微分について) 4.3 高次の導関数とテイラーの定理(高階の偏導関数)
  • ７月６日 4.3 高次の導関数とテイラーの定理(高階の偏導関数の順序について, C^k級関数, 二変数関数のテイラー定理) 4.4 極値問題 (一変数関数の極値問題の復習, 二変数関数の極値問題, 極値の候補を探す, 極大・極小の判定定理)
  • ７月２０日 4.5 陰関数定理(二変数)
  • ７月２７ 日 4.6 条件つき極値問題 (ラグランジュの未定乗数法)