フラクタル図形上のエネルギー測度の特異性について

日野正訓（京都大学大学院情報学研究科）

正則 Dirichlet 形式 (E, F) に対し、 F ∩ L^{∞} の元 f のエネルギー測度 μ_{⟨f⟩} は

∫ g dμ_{⟨f⟩} = 2E(fg, f) − E(f^{2}, g), ^{∀}g ∈ F ∩ C_{0}

をみたす唯一の正値 Radon 測度として定義される。（一般の f ∈ F に対しては F ∩ L^{∞} の元で近似して定義する。） ℝ^{d} 上のブラウン運動に対応する Dirichlet 形式 E(f, g) = \frac{1}{2} ∫_{ℝ^{d}}(∇f, ∇g)_{ℝ^{d}} dx, f, g ∈ H^{1}(ℝ^{d}) に対しては dμ_{⟨f⟩} = |∇f|_{ℝ^{d}}^{2} dx であり、特に μ_{⟨f⟩} は Lebesgue 測度に対して絶対連続である。

一方、ある範疇のフラクタル図形上で定義された正則 Dirichlet 形式に対しては、全てのエネルギー測度が underlying measure に対して特異であることが、楠岡 ([4], Sierpinski gasket を含むあるクラスの場合)、 Ben-Bassat – Strichartz – Teplyaev([2], generic な p.c.f. self-similar set の場合) によって示されている。これはフラクタルの持つ anomalous な性質を表しているといえる。

本講演では、 finitely ramified とは限らない更に一般的なフラクタルをも含む枠組みの下で、その上に定義されたスケール不変な正則 Dirichlet 形式について、エネルギー測度が Bernoulli 型測度に対して特異となるための十分条件を与える。荒く言って、 walk 次元が２より大で、楕円型 Harnack 不等式が成立するとき特異性が証明される。特に、２次元 Sierpinski carpet 上の自然な Dirichlet 形式について、エネルギー測度と Hausdorff 測度の間の特異性が示せた。これは [1] で提示された問題の部分的な解答を与えるものである。３次元以上の Sierpinski carpet の場合にあとどのような評価が必要かは講演中に述べる。

\underline{問題設定と結果.} K をコンパクト距離付け可能な位相空間、 S を濃度が２以上の有限集合、 ψ_{i} (i ∈ S) を K から K への連続単射写像とする。 Σ = S^{ℕ} とし、各 i ∈ S に対して、 σ_{i} : Σ → Σ を σ_{i}(ω_{1}ω_{2} ⋯) = iω_{1}ω_{2} ⋯ により定める。連続全射写像 π : Σ → K で ψ_{i} ∘ π = π ∘ σ_{i} (^{∀}i ∈ S) をみたすものの存在を仮定する。このとき、 (K, S, {ψ_{i}}_{i∈S}) を self-similar structure と呼ぶ。

W_{0} = {∅}, W_{m} = S^{m} (m ∈ ℕ), W_{∗} = ⋃_{m∈ℤ_{+}} W_{m} と定め、 w = w_{1}w_{2} ⋯ w_{m} ∈ W_{m} ⊂ W_{∗} に対して ψ_{w} = ψ_{w_{1}} ∘ ψ_{w_{2}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{w_{m}}, K_{w} = ψ_{w}(K) とする。但し ψ_{∅} は恒等写像を表す。また、 w ∈ W_{m} のとき m を w の長さと呼び |w| で表す。

A = {θ = {θ_{i}}_{i∈S} ∈ ℝ^{S} | 0 < θ_{i} < 1 (^{∀}i ∈ S), ∑_{i∈S} θ_{i} = 1} とし、 θ ∈ A に対して重み θ を持つ Σ 上

の Bernoulli 測度を λ_{θ} で表す。 λ_{θ} の π による像測度 π_{∗}λ_{θ} を μ_{θ} で表し、 K 上の重み θ を持つ self-similar measure と呼ぶ。

(仮定 1) 任意の x ∈ K に対して π^{−1}(x) は有限集合。

p ∈ A を固定し、 μ_{p} を μ とかく。 (K, L^{2}(μ)) 上の正則 Dirichlet 形式 (E, F) が次をみたすとする。

(仮定 2) 1 ∈ F, E(1, 1) = 0. (仮定 3) (スケール不変性) 任意の f ∈ F と i ∈ S に対して ψ_{i}^{∗}f ∈ F であり、 s = {s_{i}}_{i∈S} (∀s_{i} > 0) が存

在して次の等式が成り立つ。

E(f, f) = ∑_{i∈S} s_{i}E(ψ_{i}^{∗}f, ψ_{i}^{∗}f), ^{∀}f ∈ F.

ここで ψ_{i}^{∗}f は f の ψ_{i} による pullback を表す。

(仮定 4) (E, F) に付随する非正自己共役作用素 L は離散スペクトルのみ持ち、固有値 0 の重複度は１。

K の Borel 部分集合 K^{∂} を固定し、 F_{0} = {f ∈ F | supp f ∩ K^{∂} = ∅} とおく。 (仮定 5) K \ K^{∂} は内点を持つ。

(仮定 6) f ∈ F_{0} と w ∈ W_{∗} に対して、 Ψ_{w}f(x) = \{ \begin{matrix}f(ψ_{w}^{−1}(x)) & if x ∈ K_{w} \\ 0 & otherwise \end{matrix} とすると Ψ_{w}f ∈ F_{0}.

H = {h ∈ F | E(h, h) ≤ E(h + f, h + f), ^{∀}f ∈ F_{0}} とし、 H の元を調和関数と呼ぶ。 H は F の閉部分空間である。以下常に (仮定 1)–(仮定 6) は成り立つものとする。

\underline{定理 1} 次の条件

(C) u ∈ W_{∗} が存在して ψ_{u}^{∗} : H → F はコンパクト写像

を仮定する。このとき任意の q ∈ A に対して、次のどちらかが成立する。

(i) μ_{⟨h⟩} = μ_{q} となる h ∈ H が存在する。
(ii) 任意の f ∈ F に対して、 μ_{⟨f⟩} は μ_{q} に対して特異。

\underline{定理 2} 次の条件に関して、 (EHI)⇒(D)⇒(C) が従う。

(EHI) (楕円型 Harnack 不等式) v ∈ W_{∗} と定数 c_{1} > 0 が存在して、任意の正値調和関数 h に対して μ-esssup_{x∈K_{v}} h(x) ≤ c_{1} μ-essinf_{x∈K_{v}} h(x) が成立する。

(D) v ∈ W_{∗} と定数 c_{2} > 0 が存在して、任意の h ∈ H に対して μ-esssup_{x∈K_{v}} |h(x)| ≤ c_{2}∥h∥_{F}.

\underline{定理 3} \{T_{t}\}_{t>0} を (E, F) に付随したマルコフ半群とする。正の μ-測度を持つ任意の Borel 集合 A, B に対して\overline{lim}_{t↓0} t log ∫_{K} T_{t}1_{A} · 1_{B} dμ ≥ 0 が成り立つとき、 q = p に関して定理 1 の (i) のケースは起こらない。

\underline{注意} lim_{t↓0} t log ∫_{K} T_{t}1_{A} · 1_{B} dμ は常に存在し値は０以下であることが知られている ([3]) ので、仮定は lim_{t↓0} t log ∫_{K} T_{t}1_{A} · 1_{B} dμ = 0 と同値である。もし T_{t} が、ある定数 c_{3} > 0, c_{4} > 0, d_{s} > 0, d_{w} > 2 に対して

p(t, x, y) ≥ c_{3}t^{−d_{s}/2} exp (−c_{4}t^{−1/(d_{w}−1)}) , t ∈ (0, 1], x, y ∈ K

となる推移密度関数 p(t, x, y) を持てばこの仮定は成立する。

次に、 m ∈ ℕ, x, x′ ∈ K に対して、 x ∈ K_{w}, x′ ∈ K_{w′}, K_{w} ∩ K_{w′} ≠ ∅ となる w, w′ ∈ W_{m} が存在するとき x ∼^{m} x′ と書くことにし、 d_{m}(x, x′) を次で定める。

d_{m}(x, x′) = min{j ∈ ℤ_{+} | x_{i} ∼^{m} x_{i+1}, i = 0, 1, …, j, x_{0} = x, x_{j+1} = x′}.

\underline{定理 4} 次の条件を仮定する。

(O) ある z ∈ W_{∗}, N ∈ ℕ, C > 0 が存在して次の２条件をみたす。

(i) 任意の h ∈ H は K_{z} 上で連続修正を持つ。 (ii) K_{w} ⊂ K_{z} なる任意の w ∈ W_{∗} に対し、元の数が N 以下の W_{|w|} の部分集合 A(w) が存在し、

任意の h ∈ H に対して次が成立する。

( max_{x∈K_{w}} h(x) − min_{x∈K_{w}} h(x))^{2} ≤ C ∑_{ξ∈A(w)} E(ψ_{ξ}^{∗}h, ψ_{ξ}^{∗}h).

q = {q_{i}}_{i∈S} ∈ A に対して r = min_{i∈S} s_{i}/q_{i} とおく。もし任意の x, y ∈ K に対して

\underline{lim}_{m→∞} \frac{d_{m}(x, y)}{r^{m/2}} = 0  (1)

が成り立てば、この q に関して定理 1 の (i) のケースは起こらない。 \underline{注意} q = p のとき、 (1) の条件は walk 次元が２より大であることにほぼ対応する。

次の命題はエネルギー測度が特異であることの簡単な帰結である。 \underline{命題 5} 全てのエネルギー測度 μ_{⟨f⟩} が μ に関して特異であるとする。このとき、 f と f^{2} がともに L の定義域に属するような f は定数関数に限る。

\underline{参考文献}

[1] M. T. Barlow, Heat kernels and sets with fractal structure, preprint.

[2] O. Ben-Bassat, R. S. Strichartz, and A. Teplyaev, What is not in the domain of the Laplacian on Sierpinski gasket type fractals. J. Funct. Anal. 166 (1999), 197–217.

[3] M. Hino and J. A. Ramírez, Small-time Gaussian behavior of symmetric diffusion semigroups, Annals of Prob. 31 (2003), 1254-1295.

[4] S. Kusuoka, Dirichlet forms on fractals and products of random matrices. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 25 (1989), 659–680.

[5] A. N. Shiryaev, Probability. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 95. Springer-Verlag, New York, 1996.