Finite dimensional determinants as characteristic functions of quadratic Wiener

functionals

原啓介 (立命館大学・理工) kshara@se.ritsumei.ac.jp

この講演では、二次の Wiener 汎関数の特性関数、すなわち Wiener 空間 (W, P) 上の汎関数であって二次の Wiener-Itô chaos に属する F [w] を位相関数とする振動積分型期待値：

C(λ) = E[e^{\sqrt{−1}λF}] = ∫_{W} exp (\sqrt{−1}λF [w]) P (dw).  (1)

の計算について、整関数の性質を用いた方法とその構造について紹介する。

一般にこのような F [w] に対して、 Cameron-Martin 部分空間 H(⊂ W) 上の対称 Hilbert-Schmidt 作用素 B が一意に対応し、その固有値 {μ_{n}} を用いて、適当な範囲の複素数 z ∈ C に対し、以下の基本的な関係式が成立する。

∫_{W} exp(zF [w])P (dw) = \frac{1}{\sqrt{∏_{j=1}^{∞}(1 − 2zμ_{n})e^{2zμ_{n}}}} .  (2)

ここで、右辺の表現に現れる B の無限次元の行列式である

D(z) := ∏_{j=1}^{∞}(1 − 2zμ_{n})e^{2zμ_{n}}

は、 B が Hilbert-Schmidt 型であることより、この無限乗積は全複素平面で絶対収束しており、 Weierstrass の意味で種数 (genus) 1 を持つ整関数であることに注意する。整関数はその零点と種数で特徴づけられ、種数は Hadamard の定理により、その遠方での漸近挙動から決まる位数 (order) で評価できる。したがって、もし同じ零点と漸近挙動を持つ整関数が別の方法で見つかれば、 C(z) が得られたことになる、と言うことが基本的なアイデアである。

対称 Hilbert-Schmidt 作用素 B の固有値問題が、以下のように線形微分方程式の境界値問題に書き換えられたとする。

Lϕ − νϕ = 0,  (3)
b[ϕ] = 0,  (4)

ここに、 L は以下の形式的線形微分作用素、

L = (\frac{d}{dt})^{N} + ∑_{k=1}^{N} p_{k}(t) (\frac{d}{dt})^{N−k}  (5)

で、 b は以下の線形境界作用素である:

(b[x])_{j} = ∑_{k=1}^{N} q_{jk} (\frac{d}{dt})^{k−1} x (0) + ∑_{k=1}^{N} r_{jk} (\frac{d}{dt})^{k−1} x (T), (j = 1, …, N).

(6)

係数に自然な条件があれば、上の線形微分方程式の一般解は、解の基本形の線形結合によって、

φ(t; ν) = c_{1}ϕ_{1}(t; ν) + ⋯ + c_{N}ϕ_{N}(t; ν)

と表示されるから、求める固有値はこの一般解に境界作用素を作用させた連立一次方程式が非自明解を持つような ν の値と一対一に対応させることができる。すなわち、この連立一次方程式を表す行列の小行列式たちで表される関数 d(z) の零点と対応している。また線形微分方程式の一般論より、解はパラメータに対し解析的であるからこの関数 d(z) も解析的である (ただし、整関数とは限らない)。よって、この d(z) に対して、適切な一意化変数 q(z) があって、同じ遠方での挙動を持つ整関数に変形することができれば、目的が達成される。

実際には、 D(z) と d(z) をともに変形する必要があり、次のタイプの定理が成立する。講演ではこの手法を用いた、具体例の計算も述べる。 Theorem 1

D(q(z)) = e^{_{q}(z)} d(q(2z)).

ここに、 q̃(z) は一意化変数 q(z) で決まる多項式。

文献

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