Unrenormalized Intersection Local Time of Brownian Motion and its Local Time Representation

植村英明（愛知教育大学）

1. intersection local time について N 次元 Brown 運動 {B_{t}} に対する intersection local time を考える。 φ ∈ C_{b}^{∞} に対して φ_{ε}(x) = ε^{−N}φ(x/ε) とおこう。 N = 2 のとき

∫_{0}^{T} ∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt − E [∫_{0}^{T} ∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt] (1)

が ε → 0 で L^{2} 収束する。この極限 γ(T) を intersection local time と呼ぶ。しかしながら N = 3 のときにはもはや (1) は L^{2} では収束しない。が， renormalization 1/\sqrt{log (1/ε)} を施すと

\frac{1}{\sqrt{log (1/ε)}} (∫_{0}^{•}∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt − E [∫_{0}^{•}∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt])

は Brown 運動に法則収束する。（ただし φ ∈ C_{0}^{∞} とする。） N ≥ 4 ではこの類いの収束は知られていない（ように思う）。

さて renormalization を施さなければ (1) は収束しないのだろうか。否。本講の一つ目の目標は Watanabe 空間を適当に拡張することにより (1) の極限として intersection local time をつかまえることである。そのためにまず舞台を整えよう。

I_{n}(f_{n}) を f_{n} ∈ L_{n}^{2}(ds_{1} ⋯ ds_{n}) (n = (n_{1}, …, n_{N}) ∈ ℤ_{+}^{N}, n = |n| = n_{1} + n_{2} + ⋯ + n_{N}) の n-重 Wiener 積分とする。また f_{n} ∈ L_{(δ),n}^{2} = L_{n}^{2}((s_{1} ∨ ⋯ ∨ s_{n} − s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{n})^{−δ}ds_{1} ⋯ ds_{n}) (δ < 0) に対しては I_{n}(f_{n}) を一般 Wiener 汎関数としてとらえる。 α, δ ∈ ℝ に対して D^{ser}, D_{2}^{α}, D_{(δ)}^{ser}, D_{(δ)}^{α} を次で定める。

D^{ser} = {I(f) = (I_{0}(f_{0}), …, I_{n}(f_{n}), …) : f_{n} ∈ L_{n}^{2}(ds_{1} ⋯ ds_{n}), n ∈ ℤ_{+}^{N}},
D_{2}^{α} = {I(f) ∈ D^{ser} : ∑_{n=0}^{∞}(1 + n)^{α} ∑_{|n|=n} n!∥f_{n}∥^{2} < ∞},
D_{(δ)}^{ser} = {I(f) = (I_{0}(f_{0}), …, I_{n}(f_{n}), …) : f_{n} ∈ L_{(δ),n}^{2}, n ∈ ℤ_{+}^{N}},
D_{(δ)}^{α} = {I(f) ∈ D_{(δ)}^{ser} : ∑_{n=0}^{∞}(1 + n)^{α} ∑_{|n|=n} n!∥f_{n}∥_{(δ)}^{2} < ∞}.

ここで ∥f∥^{2} = ∫⋯∫ |f|^{2}ds_{1} ⋯ ds_{n}, ∥f∥_{(δ)}^{2} = ∫⋯∫ |f|^{2}(s_{1}∨⋯∨s_{n}−s_{1}∧⋯∧s_{n})^{−δ}ds_{1} ⋯ ds_{n}, n! = n_{1}!n_{2}! ⋯ n_{N}! である。また D_{2}^{α} = D_{(0)}^{α} である。（(s_{1} − s_{1})^{0} = 1 とみなす。）さらに D_{(δ)}^{ser} の元を ∑ I_{n}(f_{n}) とも記すことにする。また，非負数列 A = {a_{n}, n ∈ ℤ_{+}} に対して

D_{(δ)}^{A} = {I(f) ∈ D_{(δ)}^{ser} : ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ∑_{|n|=n} n!∥f_{n}∥_{(δ)}^{2} < ∞}

と定義する。この時次が成立する。

定理 1. α < 2 − N/2, δ < 3 − N に対して

∫_{0}^{T} ∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt − E [∫_{0}^{T} ∫_{0}^{t} φ_{ε}(B_{t} − B_{s})dsdt] → γ(T) as ε → 0 in D_{(δ)}^{α}

をみたす γ(T) ∈ D_{(δ)}^{α} が存在する。

2. local time 表現形式的には

γ(T) = ∫_{0}^{T} ∫_{0}^{t} δ(B_{t} − B_{s})^{(1)}dsdt = ∫_{0}^{T} L^{(1)}(t, B_{t})dt (2)

が成り立つ。ここで F = ∑ I_{n}(f_{n}) に対して F^{(1)} = ∑_{|n|≥1} I_{n}(f_{n}) とする。難点は (2) の右辺で，一般 Wiener 汎関数のパラメータに Wiener 汎関数を代入していることである。そこでこの「代入」を次の様に定義しよう。

定義 1. F = ∑ I_{n}(f_{n}), G = ∑ I_{n}(g_{n}) ∈ D^{ser} に対し，

h_{n} = ∑_{p+q−2r=n}r!(\begin{matrix}p \\ r \end{matrix})(\begin{matrix}q \\ r \end{matrix})g_{p}ˆ⊗_{r}f_{q}

が L_{(δ),n}^{2} で収束するとする。ここで g_{p}ˆ⊗_{r}f_{q} は g_{p} と f_{q} の r 縮約の対称化を表す。また

(\begin{matrix}p \\ r \end{matrix}) = \binom{p_{1}}{r_{1}} ⋯ \binom{p_{N}}{r_{N}} である。このとき F ⋄_{1} G = ∑ I_{n}(h_{n}) ∈ D_{(δ)}^{ser} を F と G との Wiener

積と呼ぶ。

定義 2. 一般 Wiener 汎関数 Φ(x), (x ∈ R^{N}) と非退化で滑らかな N 次元 Wiener 汎関数 F に対し， Φ(x) ⋄_{1} δ_{x}(F) がある（拡張） Watanabe 空間で Bochner 可積分の時 Φ(F) = ∫ Φ(x) ⋄_{1} δ_{x}(F)dx と定義する。

以上の定義の下で次が得られる。

補題 1. τ < t, x ≠ 0 とする。このときある非負数列 A_{1} が存在して L(τ, x)⋄_{1}δ_{x}(B_{t}) ∈ D_{(0)}^{A_{1}} が成立し，さらにこれは D_{(0)}^{A_{1}} で Bochner 可積分である。

補題 2. δ < 2 − N, α < 1 − N/2 とする。このとき L(τ, B_{t}) は τ について連続な D_{(δ)}^{α} の元である。さらに L(t−, B_{t}) = lim_{τ↗t} L(τ, B_{t}) は D_{(δ)}^{α} で Bochner 可積分である。

定理 2. γ(T) = ∫_{0}^{T} L^{(1)}(t−, B_{t})dt が成り立つ。