Weyl transforms on infinite dimensional Gaussian phase space

数見哲也（阪府大・総科）

この講演の枠組みとして、抽象 Winer 空間 (B, H, μ) と、その複素化 (B_{l C}, H_{l C}, ν) を考える。ただし B_{l C} = B + \sqrt{−1}B, H_{l C} = H + \sqrt{−1}H で、 ν は直積測度 μ ⊗ μ のスケール変換 z ↦ 1/\sqrt{2}z による像測度とする。そして Euclide 空間上で論ぜられている Weyl 変換（[2],[3],[5]）をこれらの抽象 Winer 空間で考察する。

定義 1 f, g ∈ L^{2}(B, μ) と ζ = p + \sqrt{−1}q ∈ H_{l C} に対して ,

V (f, g)^{♯}(ζ) := ∫_{B} e^{\sqrt{−1}(q,x)+ \frac{1}{2} |q|_{H}^{2}}f(x + p)\overline{g(x − p)} dμ(x),  (1)
W (f, g)^{♯}(ζ) := V (f, g̃)^{♯}(−\sqrt{−1}ζ)
= ∫_{B} e^{−\sqrt{−1}(p,x)+ \frac{1}{2} |p|_{H}^{2}}f(q + x)\overline{g(q − x)} dμ(x)  (2)

により H_{l C} 上の関数 V (f, g)^{♯} と W (f, g)^{♯} をそれぞれ定義する。ここで g̃(x) = g(−x) である。

上の (1),(2) で定義された V (f, g)^{♯} と W (f, g)^{♯} は単に H_{l C} 上の関数にすぎないが、以下のように B_{l C} 上の L^{2}-関数に「確率拡張」することが出来る。まず H の任意の正規直交基底 e_{1}, e_{2}, e_{3} ⋯ ∈ B^{∗} をとる。これは H_{l C} の Hermite 内積 ⟨ · | · ⟩_{H_{l C}} に関する正規直交基底でもあり、 H_{l C} の直交射影

Π_{n} = ∑_{j=1}^{n}⟨ · | e_{j} ⟩_{H_{l C}}e_{j}  (3)

を、 B_{l C} の H_{l C} への射影 Π̃_{n} に（連続）拡張する。そこで V_{n}(f, g)(z) = V (f, g)^{♯}(Π̃_{n}z) とおくと、 V_{n}(f, g) は L^{2}(B_{l C}, ν) のある一意的な関数 V (f, g) に L^{2}-収束することが示される。これを f, g の Fourier-Wigner 変換と呼ぶ。同様に f, g の Wigner 変換 W (f, g) が定義される。 f ∈ L^{2}(B, μ) に対して V (f, 1) ∈ L^{2}(B_{l C}, ν) は B_{l C} 上の正則関数になる。この変換 f ↦ V (f, 1) はいわゆる Siegal-Bargmann 変換（[1],[3]）である。

定理 2 （Moyal の等式） f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} ∈ L^{2}(B, μ) に対して

⟨ V (f_{1}, g_{1}) | V (f_{2}, g_{2}) ⟩_{L^{2}(B_{l C},ν)} = ⟨ f_{1} | f_{2} ⟩_{L^{2}(B,μ)} \overline{⟨ g_{1} | g_{2} ⟩}_{L^{2}(B,μ)},  (4)
⟨ W (f_{1}, g_{1}) | W (f_{2}, g_{2}) ⟩_{L^{2}(B_{l C},ν)} = ⟨ f_{1} | f_{2} ⟩_{L^{2}(B,μ)} \overline{⟨ g_{1} | g_{2} ⟩}_{L^{2}(B,μ)}  (5)

となる。

定義 3 F ∈ L^{2}(B_{l C}, ν) に対して

⟨ ρ(F)f | g ⟩_{L^{2}(B,μ)} = ∫_{B_{l C}} F (z)V (f, g)(z) dν(z),  (6)
⟨ ρ̂(F)f | g ⟩_{L^{2}(B,μ)} = ∫_{B_{l C}} F (z)W (f, g)(z) dν(z)  (7)

により L^{2}(B_{l C}, ν) の有界作用素 ρ(F), ρ̂(F) を定義する。 ρ, ρ̂をそれぞれ Fourier-Weyl 変換、 Weyl 変換という。

定理 4 任意の F ∈ L^{2}(B_{l C}, ν) に対して ρ(F), ρ̂(F) は L^{2}(B, μ) の Hilbert-Schmidt 作用素で ρ, ρ̂: L^{2}(B_{l C}, ν) → HS は Hilbert 空間の同形を与える。

命題 5 F ∈ L^{2}(B_{l C}, ν) ⇒ ρ(F)^{∗} = ρ( ¯F̃), ρ̂(F)^{∗} = ρ̂(F̄).

上の命題より、特に F が実数値関数であるならば ρ̂(F) は L^{2}(B, μ) の自己共役作用素となることがわかる。従ってこの Weyl 変換 ρ̂は相空間 B_{l C} ≃ B × B 上の古典力学的物理量 F を量子力学的観測量 ρ̂(F) に変換する、いわゆる Weyl の量子化の手続きと呼ばれるものである。

定義 6 F ∈ L^{2}(B_{l C}, ν) に対して、 ρ(F) が L^{2}(B, μ) の trace 作用素である時、 F を trace 型と呼ぶ。 B_{l C} 上の trace 型の関数全体を L_{tr}^{2}(B_{l C}, ν) と表す。

定義 7 F ∈ L_{tr}^{2}(B_{l C}, ν) に対して、 F の H_{l C} への制限（又は F の骨格） F^{♯} を

F^{♯}(ζ) := e^{\frac{1}{2} |ζ|_{H_{l C}}^{2}}tr(ρ(T_{ζ}F))  (8)

により定義する。ここで T_{ζ}F (z) := e^{−(z , ζ)− \frac{1}{2} |ζ|_{H_{l C}}^{2}}F (z + ζ) である。

特に L^{2}-正則関数 F は trace 型で、 F^{♯}(ζ) = ∫_{B_{l C}} F (z + ζ) dν(z) となり、従来定義されてきた正則関数の骨格（[4]）と一致する。定義 7 の (8) による trace 型の関数に対する骨格の定義の妥当性として次の定理があげられる。

定理 8 F ∈ L_{tr}^{2}(B_{l C}, ν) とする。 Π_{n} を (3) で定義された H_{l C} の正射影とし、 F_{n}(z) = F^{♯}(Π̃_{n}z) とおく。この時 L^{2}(B_{l C}, ν) で lim_{n→∞} F_{n} = F が成立つ。

参考文献

[1] V.Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, Comm.pure Appl.Math., 14,1961,187-214.

[2] G.B.Folland, Harmonic analysis in phase space, Princeton University Press, 1989.

[3] D.Geller, Fourier analysis on the Heisenberg group I:Schwartz space, J. Funct. Anal., 1980,205-254.

[4] H.Sugita,Properties of holomorphic Wiener functions - skeleton, contraction, and local Taylor expansion, Prob.Th.and Rel.fields, 100,1994,117-130.

[5] M.W.Wong, Weyl transforms, Springer 1998.