Karel SVADLENKA

名前
Karel SVADLENKA
役職
准教授
Email
karel (please add @math.kyoto-u.ac.jp)
URL
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/ja/people/profile/karel
研究分野
応用数学,偏微分方程式論,数値解析学
プロフィール

シャボン玉のせっけん膜や結晶にある粒界のような界面の動きを表す偏微分方程式の解の性質を調べ,コンピューターシミュレーションで現象を再現するためのモデルや数値解法を開発する研究を行っています.

例えば,シャボン玉は表面積をできるだけ小さくしようとしているため,極小曲面の形で落ち着きます.そのような形状になっていないシャボン玉は表面エネルギーを最も早く減少させるような変形をします.この変形は,石鹸膜の各点がその点での曲率に比例する法線速度で動く,いわゆる平均曲率流という運動になることが知られています.つまり,
$$ \boldsymbol{v}= - \gamma \kappa \boldsymbol{n} . $$

数学的に興味深い現象がおきるのは,膜がちぎれたり,複数のシャボン玉が融合したり,くっついたりするときです.このようなときは位相変化が起こり,運動に特異性が現れます.この特異性に対処するには,レベルセット法という数学的なアプローチが開発されています.界面をある関数$u$のレベルセットで表現し,平均曲率流の場合は対応する$u$の方程式が
$$ \frac{\partial u}{\partial t}-| \nabla u| \text{div} \left( \frac{\nabla u}{| \nabla u|} \right) = 0 $$
となり,特異性に対応可能な弱解を構成することができます.

私の研究では,シャボン玉がいくつかくっついて接合点が現れたときの運動の解析や,シャボン玉の慣性を考慮した振動を伴う界面運動の解析に興味があります.さらに,シャボン玉が水面上に浮いているときや輪で石鹸水から膜を引き上げたときにできる,「場所が未知な」自由境界(石鹸膜と石鹸水が交わるところ)の動きを含む問題にも興味があります.

数学的な解析だけではなく,このような現象を正確に記述するモデル方程式の構成や得られた非線形な方程式の数値シミュレーションに必要な効率のよい数値スキームの開発にも力を入れています.