Jan Haskovec(King Abdullah University of Science and Technology, Jeddah)
「Discrete and continuum modeling of biological network formation」

概要: Motivated by recent papers describing rules for natural network formation in discrete settings, we propose an elliptic-parabolic system of partial differential equations. The model describes the pressure field due to Darcy’s type equation and the dynamics of the conductance network under pressure force effects with a diffusion rate representing randomness in the material structure. After a short overview of the principles of discrete network modeling, we show how to derive the corresponding macroscopic (continuum) description. The highly unusual structure of the resulting PDE system induces several interesting challenges for its mathematical analysis. We give a short overview of the tools and tricks that can be used to overcome them. In particular, we present results regarding the existence of weak solutions of the system, based on recent results on elliptic regularity theory. Moreover, we study the structure and stability properties of steady states that play a central role to understand the pattern capacity of the system. We present results of systematic numerical simulations of the system that provide further insights into the properties of the network-type solutions.



伊藤 祥司(大阪電気通信大学 工学部)

概要: 自然現象や工学現象の解明では数値シミュレーションによる解析が盛んであり, 多くの場合,大規模な線形方程式を解くことに帰着される. ところが,線形方程式の求解アルゴリズムには様々なものが存在し, 対象とする問題の性質によっては, その性能が十分に発揮されない場合や数値解が得られない場合もある. 従って,実際の求解問題に対し, どの求解アルゴリズムを適用したら良いか指針が欲しい. このような観点から有用な情報を得るために, 本研究では求解アルゴリズムの体系的な性能評価や特性分析を実施し, 新たな情報や問題点などの発見を試みている. 特に,クリロフ部分空間法による求解性能の情報は, 線形方程式の特性を示す多変量データと見なし得る. そのとき,線形方程式や求解アルゴリズムを分析対象とした データ分析のテーマへと発展する. 本講演では,このようなアプローチによる新しい研究について述べる.



米田 剛(東京大学)
「瞬間的な渦伸長を生成する3次元Euler流・それに関連するzeroth lawについて」

概要: 本講演では,zeroth lawと瞬間的な渦伸長との関係について言及する.Zeroth lawとは,Navier-Stokes方程式の粘性係数をゼロへ飛ばしたとき,解のエンストロフィー(渦度の$L^2$ノルムの二乗)が粘性係数に反比例するオーダーで無限大に発散することである.これは,乱流が乱流であるためのcornerstoneの一つであり,特にOnsager予想の起源となっている.しかしながら,このzeroth law自体の数理的理解を目指す研究は今まで皆無であった.それが可能になったのは,Bourgain-Li(2015)やKiselev-Sverak(2014)等によるEuler方程式研究のbreakthroughが起きたからであろう.それら最新の解析手法を駆使することで,修正版のzeroth lawを満たすNavier-Stokes流(瞬間的な渦伸長を生成する流れ)を構成する.
また,(修正版ではない)実際のzeroth lawを満たすNavier-Stokes流を構成する為には,大規模数値計算によるNavier-Stokes乱流の最新研究結果:Goto-Saito-Kawahara(2017)を考慮に入れないといけないだろう,と予想している.そこで,その予想解決に取り組むための準備段階として,彼らのNavier-Stokes乱流の素過程を数学的に洞察する.より具体的には,その素過程を出発点としてKolmogorovの-5/3乗則を導出する.
なお,本研究はIn-Jee Jeong氏(KIAS, Korea)との共同研究に基づく(arXiv:1902.02032).



金 英子(大阪大学)

Kin_san概要: Taffy pullers are devices for pulling candy. One can build braids from the motion of rods for taffy pullers. According to the article "A mathematical history of taffy pullers" by Jean-Luc Thiffeault, all taffy pullers (except the first one) give rise to pseudo-Anosov braids. This means that the devices mix candies effectively. Braids are classified in three categories, periodic, reducible and pseudo-Anosov. The last category is the most important one for the study of dynamical systems. Each pseudo-Anosov braid determines its stretch fact and the logarithm of stretch factor is called the entropy. Following a study of Thiffeault, I discuss which pseudo-Anosov braids are realized by taffy pullers, and how to compute their entropies. I explain an interesting connection between braids coming from taffy pullers and hyperbolic links. Interestingly, the two most common taffy pullers give rise to the complements of the the minimally twisted 4-chain link and 5-chain link which are important examples for the study of cusped hyperbolic 3-manifolds with small volumes. If time permits, I will explain a construction of pseudo-Anosov braids.



15:00 - 16:30
Jordan Hauge(京都大学)
「A new transform approach to the complex Helmholtz equation」

概要: The complex Helmholtz operator is a ubiquitous operator that arises in multiple fields, ranging from thermal conductivity measurement to electrochemical impedance spectroscopy. Motivated by the absence of analytical tools used to solve the complex Helmholtz equation in non-separable domains, we present a new transform approach to solve the complex Helmholtz equation in convex polygonal domains. We use the approach to obtain new analytical solutions related to electrochemical impedance spectroscopy, and the 3\omega method. [Joint work with Prof. Darren Crowdy]

16:30 - 18:00
竹内 博志(中部大学)

Takeuchi_san概要: 本講演では,講演者のサンプル写像のパーシステンス解析の研究について,動機・先行研究・理論的枠組み・最近の結果を紹介する. 位相的データ解析では,データ中のトポロジー(穴や空洞など)とその大きさを数学的に表す,パーシステントホモロジーが中心となって,データ解析手法の研究が進められている.パーシステントホモロジーは,データのノイズに強いこと(安定性)が保証されており,数値計算との相性が良い.開発された手法は計算機に実装され,材料科学・画像解析・機械学習などを交えながら,実際のデータへの応用が盛んに行われている. サンプル写像とは,ある全体の写像があったとき,その有限な部分集合(サンプル)のことである.サンプル写像の研究では,サンプル写像のみから全体の写像を復元することを目標とする.この動機は実データ解析に基づくもので,人間の観測出来るデータは高々有限であり,観測データの動きを支配する写像(力学系)が,サンプル写像のみからどの程度復元できるかを調べることで,観測データの振る舞いを理論的に特徴付けることが出来る.本研究では,2015年にH. Edelsbrunnerらが提唱したサンプル力学系の固有空間解析の手法を参考に,全体の写像のホモロジー誘導写像を復元し,パーシステントホモロジーを用いて解析する手法を提案した.これにより,観測データのトポロジカルな振る舞いを抽出する.この解析手法はノイズに対して安定性があり,誤差を事前に評価出来る. 最後に,時間に余裕があれば,講演者の最近の応用研究についても紹介したい.


第63回:2019年8月21日(水)14:30−16:00 (臨時)

蔡 志強(國立清華大學 數學系)
「Pulsating Waves in a Dissipative Medium with Delta Sources on a Periodic Lattice」

概要: We study a dissipative heat equation with Delta sources of non-linear strength located on a periodic lattice. The model arises from intracellular waves in continuum excitable media with discrete release sites. The existence, uniqueness, and global and exponential stability of pulsating waves are established. Also a new technique is introduced to find the fine structure of the tails of pulsating waves.



飯田 渓太(大阪大学蛋白質研究所)

概要: 生命の最小単位である細胞は,遺伝子発現と呼ばれる生化学反応を行い,細胞の恒常性維持や環境適応に必要な分子を絶えず産生している.最近,我々は,原核細胞と真核細胞の遺伝子発現系に広く適用可能な数理モデルとして,スイッチ付きの確率バースト消滅過程を考え,その一般化フォッカープランク方程式の定常解を導出することに成功した.この解は,積分空間において一般化超幾何関数で書かれ,逆変換すると多重積分の形になる.厄介なことに,被積分関数は真性特異点や境界発散型の複素重み関数を含んでおり,グラフの概形を描くことさえ難しい.この障害は,例えば実データを用いてパラメータ推定を行う際など,尤度関数の計算を困難にするため,応用上重大な問題である.講演では,先ず簡単な場合を考え,我々の解が大腸菌ラクトースオペロンの確率モデルになることを,生物データを用いて実証する.一般的の場合の応用可能性については,現在アイディアを検証中である.
 本研究は,尾畑伸明氏(東北大学・教授),木村芳孝氏(東北大学・教授)との共同研究に基づく(Iida, Obata, Kimura, J. Theor. Biol. 465, 2019).



John C. Butcher(The University of Auckland)
「Trees, B-series and General Linear Methods」

概要: General linear methods are generalizations of both Runge-Kutta and linear multistep methods. This talk will focus on their important properties, especially the analysis of order of accuracy, expressed in terms of B-series. The talk includes an introduction to (rooted) trees and free trees on which B-series are built.



宮路 智行(京都大学)
「A billiard problem arising from nonlinear and nonequilibrium systems」

概要: 有界領域に閉じ込められたある種の自己駆動粒子は領域内部での直進と境界での反射を繰り返す.あたかもビリヤード球のようだが,境界に衝突せずに進行方向を変え,その反射規則は完全弾性反射ではないようである.そのため,数学的ビリヤード問題とは異なる様相が示される.このような運動は水面に浮かぶ円板状の樟脳や垂直に振動する液面を跳ねる液滴,平面上の反応拡散系やある種の非線形光共振器の数理モデルにおけるスポット解の運動など様々な系で観察されている.本講演では樟脳円板の運動を記述する数理モデル及びそこから中心多様体縮約によって導かれる常微分方程式モデルを通して,その運動の性質と矩形領域における軌道について議論する.



田中 一成(早稲田大学 理工学術院総合研究所)

Tanaka_san概要: 精度保証付き数値計算(「数値的検証法」「計算機援用証明」等とも呼ばれる)は解析的手法の適用が困難な偏微分方程式に対しその解の存在性証明を与えることができる.特に数値的に得た近似解wと真の解uとの適切なノルムの意味での誤差評価r=||u-w||を定量的に与えることも本手法の特徴である.しかし一般に,rがどんなに小さかったとしてもwとuの符号変化構造が一致するとは限らない.例えば非負関数wに対して,L∞ノルムの意味での非常に精密な誤差評価が与えられたとしても,uが非負とは言い切れない.本講演の主題は,半線形楕円型方程式を対象とし,あるノルムの意味での精度保証結果r=||u-w||が与えらたときに,uとwの符号変化構造は一致するか?そうでない場合どの程度違うか?という疑問を解決することにある.特に1つの例として多重解を持つ定常Allen-Cahn方程式を取り上げ,その精度保証された解uの符号変化構造を決定,または評価する.



Jan Haskovec(King Abdullah University of Science and Technology, Jeddah)
「Asymptotics of alignment and consensus models with delays」

概要: We study the impact of communication or reaction delays on the long-time behavior of alignment/consensus models of Cucker-Smale type. For a model where agents interact with each other through normalized communication weights, we provide sufficient conditions for asymptotic flocking, i.e., convergence to a common velocity vector. The proof is based on a construction of a suitable Lyapunov functional. For a model without normalization, we present new stability estimates for the particle flow, relating suitable delayed and non-delayed quantities. We also briefly explain how multiplicative noise affects the long-time dynamics and present results of systematic numerical simulations.