京都大学応用数学セミナー(KUAMS)

 

過去のセミナー記録:2014年

 

 

第7回:2014年1月21日(火)16:30〜18:00

Marcio Gameiro 准教授(ICMC-USP Brazil & 京大数理研客員教授)
「Rigorous Numerics for Nonlinear PDEs」

概要: We present a rigorous numerical method to compute solutions of infinite dimensional nonlinear problems. The method combines classical predictor corrector algorithms, analytic estimates and the uniform contraction principle to prove existence of smooth branches of solutions of nonlinear PDEs. The method is applied to compute equilibria and time periodic orbits for PDEs defined on two- and three-dimensional spatial domains.

備考: 本セミナーは2013年度RIMSプロジェクト研究「力学系:理論と応用の新展開」のセミナーとしても共催されます.

 

第8回:2014年2月18日(火)16:30〜18:00

我妻広明 准教授(九州工業大学)
「脳中枢神経系と末端神経系・筋骨格系間の位相同型を考える  ~脳性麻痺児のリハビリ支援とグローバル・エントレインメント再考 ~」

概要: Kelso[1][2]が左右指振り運動における振動引込み現象 を明らかにして以来,周期活動を要素とした非線形系として脳神経系を 記述する方法の有効性が議論されてきた.多賀ら[3]は,各関節角が神経 振動子で制御される歩行モデルを脳神経系ー筋骨格系を再構成した数理 モデルとして提案し,同モデルは最適パラメータをどう設計すべきかの 問題を残したものの,振動引き込みにより適応的な「歩行パタン」が生成 され,環境変動に対する安定性を維持することを示した点で功績が大きい. 彼らはその様相をグローバル・エントレインメント(大域引込み)と呼び, ある相空間での安定解,あるいはアトラクターとして,全体性が維持される ことで,様々な適応的運動パタンに見られる柔軟性と安定性を有する自律的 機能創出の基盤と考えた.以後,歩行モデルの様々な研究が発展したが, 注目すべき数理解析の一つとして「位相リセット」[4][5]の考え方が挙げら れる.これは,歩行パタン,例えば遊脚ー支持脚のサイクルが描く周期軌道が, 任意の点で滑らかなリミットサイクルではなく,軌道上にある種の特異点が存在し, 又その場合むしろ柔軟性や機能性(歩行を維持するという安定性)を増すと 示唆している.興味深い指摘は,野村ら[6]が「ヒトの運動制御中,関節の スティフネス(剛性)が高くない,つまり,筋緊張が低く関節が柔らかい のに,どのように目標に沿って安定した(あるいは滑らかな)軌道を描ける のか[7]」という問題に,ハイブリッド力学系を導入し,解決を試みている ことである.彼らの仮説では,身体の筋骨格系は機械的特性から得られる 力学系として鞍点を持ち,末端ー中枢神経系による制御は遅延誘発不安定性 (delay induced instability)を持つ.それらは相補的に機能し,具体的には, 相空間上の状態は安定多様体に沿って鞍点に入り,再び鞍点から安定多様体 に沿って抜け出す際に,遅延誘発不安定性を持つフィードバック制御を 間欠的に受けるという二つの力学系間の遷移で,中枢神経系の損傷が起因 とされるパーキンソン病はそれが破綻した剛性の高い制御となっている[8] という.
さて,我々がここで考えたいのは中枢神経系と末梢神経系の異なる関与に ついてである.神経系ー(機械系としての)筋骨格系が,ハイブリッド 力学系として機能しているとすれば,誰が(あるいはどのような仕組みが) 最適なタイミングでの力学系間遷移を促しているかが問題で,それは各力学 系の外側にあると考えられる.つまり,一方の相空間上の外側からの観測を どう考えるべきかである.我々が取り組む,脳性麻痺児童のリハビリテーシ ョンでは,多くの場合,脊髄ー末梢神経系ー筋骨格系に器質的損傷はなく, 脳内の神経系の損傷がより深刻で,その再回路化を目指す臨床措置が計画 される.したがって,ここで解析すべきモデルは,脊髄・末端神経系を含む 筋骨格系と,中枢神経系間のハイブリッド力学系とその投射関係である. 中枢神経系,あるいは制御器としての神経群が(発達あるいは学習の)結果 として,対象系と位相同型の関係を持つとすれば,個々の(局所座標系への) 写像が積層している様相が作業仮説としてあり得る.このような考え方は, 未だ数理としては不備が多いのものであるが,中枢神経系あるいは筋骨格系 のいずれかに障害を持ち,健常者とは異なるハイブリッド力学系を構成して いるという仮定の下で,リハビリテーションは,健常者の定型とは異なる 位相空間として,患者と療法士が目的地を探す行為と位置づけられる. 現に,リハビリ臨床で行われている取り組みは,健常者の定型に近づける ことではなく,リハビリによる回復の伸びしろを想定したゴール設定 である[9][10].その行為を,リハビリの「デザイン」というならば,その 体系化のための一歩として,二種の力学系,多様体の特性,積層される 写像関係の議論が不可欠と考えられる.ここでは,現在の数理的な問題 と不備について言及し,体系化へ向けた討議としたい.
[1] Haken H, Kelso JAS., Bunz H. "A Theoretical Model of Phase Transitions in Human Hand Movements," Biological Cybernetics 51, pp. 347-356, 1985.
[2] Kay BA, Kelso JAS, Saltzman EL, SchAoner GS., "The Space-time Behavior of Single and Bimaniual Movements: Data and Model," Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance 13, pp. 178-192, 1987.
[3] Taga G., "A model of the neuro-musculo-skeletal system for human locomotion," Biological Cybernetics 73(2), pp. 113-121, 1995.
[4] Nomura T, Kawa K, Suzuki Y, Nakanishi M, Yamasaki T., "Dynamic stability and phase resetting during biped gait," Chaos 19(2):026103, 2009.
[5] Aoi S, Kondo T, Hayashi N, Yanagihara D, Aoki S, Yamaura H, Ogihara N, Funato T, Tomita N, Senda K, Tsuchiya K., "Contributions of phase resetting and interlimb coordination to the adaptive control of hindlimb obstacle avoidance during locomotion in rats: a simulation study," Biological Cybernetics 107(2), pp. 201-216, 2013.
[6] Asai Y, Tasaka Y, Nomura K, Nomura T, Casadio M, Morasso P., "A model of postural control in quiet standing: robust compensation of delay-induced instability using intermittent activation of feedback control," PLoS One 4(7):e6169, 2009.
[7] Gomi H, Kawato M., "Equilibrium-point control hypothesis examined by measured arm-stiffness during multi-joint movement," Science 272, pp.117-120, 1996.
[8] Tanahashi T, Yamamoto T, Endo T, Fujimura H, Yokoe M, Mochizuki H, Nomura T, Sakoda S., "Noisy Interlimb Coordination Can Be a Main Cause of Freezing of Gait in Patients with Little to No Parkinsonism," PLoS One 8(12): e84423, 2013.
[9] Wagatsuma H, Fukudome M, Tachibana K, Sakamoto K., "Extending the world to sense and behave: a supportive system focusing on the body coordination for neurocognitive rehabilitation," Proceedings of The Fourth International Conference on Advanced Cognitive Technologies and Applications (COGNITIVE 2012), pp. 171-174, 2012.
[10] 我妻広明,橘香織,古茂田和馬,福留麻理恵,坂本一寛,"脳損傷片麻痺リハビリ支援に向けたオール漕ぎ課題からの検討― グローバル・エントレインメント再考 ―," 第33 回バイオメカニズム学術講演会予稿集, pp. 53-56, 2012.

備考: 本セミナーは國府クレストのセミナーとしても共催されます.

 

第9回:2014年4月15日(火)16:30〜18:00

藤原宏志 助教(京都大学)
「Fast and Reliable Numerical Methods for Near-infrared Light Propagation in Human Bodies(生体内の近赤外光伝播の高速・高信頼シミュレーションのための数値的手法)」

概要: We will present a fast and reliable numerical approach for near-infrared light (NIR) propagation in human bodies. In particular, an accurate numerical quadrature rule on the unit sphere and degenerate kernel approximations are shown to realize numerical computations in the three dimensions.
The use of NIR light is considered as a safe and simple technology for monitoring our bodies, in particular, brain activities. The radiative transport equation (RTE) is widely accepted as a mathematical model of NIR light propagation in our bodies. It is an integro-differential equations and the boundary value problem in the three dimensions is essentially a five dimensional large-scale problem. An accurate numerical quadrature rule and degenerate kernel approximations have been developed to reduce the size of discretization problems and computational times. Error analysis and numerical experiments with biomedical data of a human head are also shown.
This talk is based on a joint work with Prof. Iso (Kyoto Univ.), Prof. Higashimori (Hitotsubashi Univ.), and Human Brain Research Center in Kyoto University.

 

第10回:2014年5月13日(火)16:30〜18:00

Bartosz Protas 准教授 (McMaster Univ.)
「Extreme vortex states and the hydrodynamic blow-up problem」

概要: In the presentation we will discuss our research program concerning the study of extreme vortex events in viscous incompressible flows. These vortex states arise as the flows saturating certain fundamental mathematical estimates, such as the bounds on the maximum enstrophy growth in 3D. They are therefore intimately related to the question of spontaneous singularity formation in the 3D Navier-Stokes system, known as the hydrodynamic “blow-up” problem. We demonstrate how new insights concerning such problems can be obtained by formulating them as variational PDE optimization problems which can be solved computationally using suitable discrete gradient flows. In offering a systematic approach to finding flow solutions which may saturate known estimates, the proposed paradigm provides a bridge between mathematical analysis and scientific computation. In particular, it allows one to determine whether or not certain mathematical estimates are “sharp”, or if they may still be improved. In the presentation we will review a number of new results concerning 2D and 3D vortex flows characterized by the maximum possible growth of, respectively, palinstrophy and enstrophy. We will also discuss their relation to the available theoretical bounds obtained with rigorous methods of mathematical analysis.
[Joint work with Diego Ayala]

備考: 本セミナーは坂上クレスト連携セミナーとしても開催されます.

 

第11回:2014年6月3日(火)16:30〜18:00

石本健太 (京都大学数理解析研究所,D3)
「Hydrodynamics of cell swimming near boundaries(境界近傍における細胞遊泳の流体力学)」

概要: It is known that some microorganisms such as bacteria and spermatozoa accumulate near a boundary, which has been recently considered to be a phenomenon driven by non-linear hydrodynamic interaction between the cel and the boundary, whereby the time-reversal symmetry highlighted by the scallop theorem of the low Reynolds number flow still holds even in presence of boundaries.
In this talk, swimming stability of (i) a squirmer and (ii) a model spermatozoon near a boundary will be discussed after a brief review of the hydrodynamics of swimming microorganism.
The squirmer is a simple mathematical model of a swimming microorganism that propel with surface deformation. The stability behaviour can be characterised by boundary conditions at the surface as well as cell geometry and swimming morphology. The swimming dynamics of the model spermatozoon illustrates the stable planar beat near a no-slip boundary, though the dynamics can be unstable for abnormal cell morphology, implying biological significance of the swimming stability for mammalian spermatozoa in female reproductive tract.
(Joint work with Dr. E. A. Gaffeny at University of Oxford)

備考: 本セミナーは坂上クレスト連携セミナーとしても開催されます.

 

第12回:2014年10月14日(火)16:30〜18:00

小野寺有紹 助教 (九州大学)
「A flow approach to an inverse problem in potential theory」

概要: A new geometric flow describing the motion of quadrature surfaces is introduced, where a quadrature surface is a closed hypersurface inducing the same electrostatic potential as a given electric charge density. This characterization enables us to study quadrature surfaces through the investigation of the flow. It is proved that the flow is uniquely solvable under the geometric condition that the initial surface has positive mean curvature. As a consequence, a bifurcation criterion for quadrature surfaces is obtained.

備考: 本セミナーは坂上クレスト連携セミナーおよびApplied and Computational Complex Analysis (ACCA-JP)のセミナーとしても開催されます.

 

第13回:2014年11月18日(火)16:30〜18:00

伊藤 昇 助教(早稲田大学)
「Strong and weak (1, 3) homotopy equivalence classes of spherical curves
(球面曲線のstrong、あるいはweak (1, 3) ホモトピー同値類について)」

概要: 自己交差が横断的な2重点しかない球面曲線は球面イソトピーを除けば、3種類のReidemeister movesの局所変形列で単純閉曲線に移される。瀧村祐介氏(学習院中等科)、谷山公規氏(早稲田大学教育学部)との共同研究[1]においては、third Reidemeister moveを2種類(strong 3, weak 3)に分け、それぞれfirst Reidemeister moveと組ませた2種類の同値関係 strong (1, 3) homotopyとweak (1, 3) homotopyによる球面曲線の同値類について論じている。モチベーションのベースとして、Reidemeister movesの第1と第3のみからなる球面曲線の同値類がほとんど何もわかっていない、ということがある。[1]では例えば「球面曲線 Pがstrong (1, 3) homotopyで単純閉曲線になることの必要十分条件が、P が有限個のsimple closed curve、∞、三葉結び目の射影図の連結和となることである」ことを証明している。また[2]では「球面曲線Pがweak (1, 3) homotopyで単純閉曲線になることの必要十分条件が、Pが有限個のsimple closed curve、∞の連結和である」ことを証明している。本講演では、詳細のテクニックよりも「どういう問題意識でどのような問題をどのように考えたか」に重きを置き、その経緯を詳しく述べたい。
参考文献:
[1] N. Ito, Y. Takimura, and K. Taniyama, Strong and weak (1, 3) homotopies on knot projections, to appear in Osaka J. Math.
[2] N. Ito and Y. Takimura, (1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections. J. Knot Theory Ramifications 22 (2013), 1350085 (14 pages).

備考: 本講演は日本語で行われますが,資料は英語で作成していただきます.また,本セミナーは坂上クレスト連携セミナーとしても開催されます.