半群の交換関係と比較定理

重川一郎（京都大学大学院理学研究科）

1. はじめに

本稿では半群の交換関係と比較定理について論じ，幾つかその応用について述べる．

半群の理論は Hille-吉田の一般論以来長い歴史を持ち，詳しく研究されてきているが，ある 1 つの半群についての生成作用素，レゾルベントなどの相互関係が論じられる事が多かった．ここでは 2 つの半群を同時に考え，それらの関係を論じる．もっとも，今までそうした考え方が全くなされていなかった訳ではないが，ここでは多少意識的にその観点を強調したい．したがって，枠組として 2 つの半群 {T_{t}} と {T⃗_{t}} とが与えられた情況で考える．生成作用素をそれぞれ L および L⃗ とかく．

まず交換関係について述べる． {T_{t}} と {T⃗_{t}} を Banach 空間 B および B⃗ 上の強連続半群とする．さらに閉作用素 D: B → B⃗ が与えられているとする．次の関係が成立するかどうかを興味の対象とする：

T⃗_{t}Df = DT_{t}f.  (1.1)

この関係は生成作用素を用いて次のように表現できる

L⃗Df = DLf.  (1.2)

但し，この等式がどこで成立しているかは微妙な問題を含み，本論で詳しく述べる．上の等式が成立するとき，交換関係 (intertwining property, 交差関係という訳語の方が適当かもしれない) が成立するというが，少し一般化して次の不完全交換関係 (defective intertwining property) の形で取り扱う：

L⃗Df = DLf + W f.  (1.3)

W は非有界な場合まで含めて考察する．

次に比較定理とは何かについて説明する．まず半群 {T_{t}} はある関数空間の上で定義されているとする．関数空間は任意性はあるが，おおむね適当な測度空間 (M, m) 上の 2 乗可積分関数の空間 L^{2}(m) か，あるいはもう少し一般化して L^{p}(m) であるとする．基本的な仮定として， {T_{t}} が正値性を保つことを要請する．即ち， f ≥ 0 のとき， T_{t}f ≥ 0 が成立することを仮定する．このとき，もう 1 つ別の半群 {T⃗_{t}} との関係を問題にするわけであるが， {T⃗_{t}} は一般にはベクトル値の関数 θ に作用するものである．このとき次が成立するとき半群 {T⃗_{t}} は半群 {T_{t}} で優評価される (dominated) という：

|T⃗_{t}θ| ≤ T_{t}|θ|.  (1.4)

θ はベクトル値であるが，値として取る空間は無限次元であってもよいので一般的に Hilbert 空間であるとする． Hilbert 空間の内積を ( , )，ノルムを | | で表す．基礎の空間 M が多様体の場合は θ はベクトル束 E → M の切断面であってもよい．この場合でも E の束空間は Hilbert 空間であることを仮定する．これらの一般化はわずかな修正で済むので，以下の議論は Hilbert 空間値として取り扱う． Hilbert 空間は H で表し，従って θ は L^{2}(M; H) ないし L^{p}(M; H) の元である． (1.1) はもう少し一般に

|T⃗_{t}θ| ≤ e^{−λt}T_{t}|θ|.  (1.5)

の形で論じる．

半群 {T_{t}} のことがよく分かっていれば， (1.2) の関係式から，半群 {T⃗_{t}} の評価が得られる．確率論はスカラーに作用する半群 {T_{t}} に関してはマルコフ性という便利な概念を持ち合わせている．例えば半群 {T_{t}} が L^{2}(m) の対称縮小半群でマルコフ性を持てば，補間定理により自動的に L^{p} の縮小半群であることが従う．ベクトル値関数に作用する半群にはマルコフ性という概念は存在しない．そのことが，ベクトル値関数に作用する半群の直接的な解析を困難にしているが，比較定理は間接的ではあるにせよ，これらをの半群を取り扱う道をひらいてくれる．

上に確率論の特殊性について述べたが，そのことに関連してこの稿での立脚点について述べておく．ここでは関数解析的な手法を多用するが，確率論の手法は補助的にしか使わない．この点については別のアプローチも可能であろう．何より確率論には半群を取り扱う有効な手法が存在する．例えば Feynmann-Kac の公式という便利な技法がある．さらにベクトル値関数に対しては行列表記による乗法的汎関数表示を用いて一般化することも出来る．しかしこれらの乗法的汎関数による手法は，基礎の空間が無限次元の場合は十分に整備されていない．それに対しここで述べる関数解析的手法では，条件を確かめることはそれほど困難でないし，定式化が次元に拠らないので無限次元でも通用するという利点を持つ．将来的には無限次元を主な対象として取り扱いたいので，ここではこのような立場をとる．

以上 2 つの性質を述べたが，以下でその (必要) 十分条件について述べる．応用に関しては， 2 つの概念は直接的な関連性がないので個別に応用できるが，ここでは両者が密接に関連する形のものを主に取り扱う．主な目的は

• Bakry-Emery の Γ_{2} 理論の別の定式化

• 生成作用素の解析

• ベクトル値関数の半群的取り扱い

という３点を主軸に論じる．

2. 半群の交換関係

Banach 空間 B 上の強連続半群 {T_{t}} と，別の Banach 空間 B⃗ の上の強連続半群 {T⃗_{t}} が与えられているとする．本稿で扱う半群はすべて強連続半群 ((C_{0})-半群ともいう) であるので以下いちいち断らない．また B⃗ という記号を使うのは単に B と区別するためである．ただ実際に応用する場合は B⃗ はベクトル値の関数の空間であることが多いのでこの記号を使う．生成作用素をそれぞれ L および L⃗ とかき，レゾルベントは G_{α} および G⃗_{α} とかく．

D: B → B⃗ を閉作用素とする．定義域を Dom(D) で表す． Dom(D) に対しては D のグラフノルムで位相が与えられ， Banach 空間となる．ここでグラフノルムとは

∥x∥_{D} = ∥Dx∥ + ∥x∥  (2.1)

で定まるノルムである．以下一般の作用素に対しても Dom で定義域を表し，位相は特に断らなければこのグラフノルムで入れる．例えば部分集合 𝒜 が Dom(D) で稠密といえば，このグラフノルムに関してである．さらに W: B → B⃗ を閉作用素とし，

Dom(D) ⊆ Dom(W)  (2.2)

を仮定する．従って W は Dom(D) へ制限すれば， Dom(D) から B⃗ への有界作用素である． DL = L⃗D + W という関係に興味がある訳であるが，これについて次を得る ([13])．定理 2.1. (2.2) を仮定する．このとき次の 3 条件はすべて同値である：

(1) ある部分空間 𝒟 ⊆ B が存在して次を満たす： i) 𝒟 ⊆ Dom(L) ∩ Dom(D)． ii) L𝒟 ⊆ Dom(D), D𝒟 ⊆ Dom(L⃗)． iii) 十分大きな λ に対し (λ − L)𝒟 は Dom(D) で稠密． iv) 次の等式が成立する．

DLx = L⃗Dx + W x, ∀x ∈ 𝒟.  (2.3)

(2) 十分大きな λ に対し， G_{λ} Dom(D) ⊆ Dom(D) であり

DG_{λ}x = G⃗_{λ}Dx + G⃗_{λ}W G_{λ}x, ∀x ∈ Dom(D).  (2.4)

(3) 任意の t ≥ 0 に対し {T_{t}} は B 上ばかりでなく Dom(D) における (C_{0})-半群で次が成立する：

DT_{t}x = T⃗_{t}Dx + ∫_{0}^{t} T⃗_{t−s}W T_{s}x ds, ∀x ∈ Dom(D).  (2.5)

結果的には定理中の (1) の 𝒟 として， L の Dom(D) への制限の定義域がとれるが (それは一般には Dom(D) ∩ Dom(L) より小さい)，それが上の条件を満たすことはそれほど明らかでないし，定義域を具体的に与えることは易しくはない．

(2.3) から(2.5) を説明することはそう難しいことではない．実際， (2.5) を t に関して微分して

\frac{d}{dt}\{DT_{t}x − T⃗_{t}Dx − ∫_{0}^{t} T⃗_{t−s}W T_{s}x ds\}
= DLT_{t}x − L⃗T⃗_{t}Dx − W T_{t}x − ∫_{0}^{t} L⃗T⃗_{t−s}W T_{s}x ds

= DLT_{t}x − L⃗T⃗_{t}Dx − W T_{t}x − L⃗(DT_{t}x − T⃗_{t}Dx) = DLT_{t}x − W T_{t}x − L⃗DT_{t}x = 0

となるからである．但しこれは形式的な計算でしかないので，正当化をする必要がある．定理でいっていることは，その正当化が可能であるということである． (2.5) の表現は N. Yoshida [20] に既に述べられている．

{T_{t}} に双対半群が存在するときは，次に見るようにもう少し分かりやすい条件を与えることが出来る．定理 2.2. Dom(L) ⊆ Dom(D) であることと双対半群 {T⃗_{t}^{∗}} の存在を仮定する．このとき次は同値．

(1) Dom(L⃗^{∗}) ⊆ Dom(D^{∗}) かつ

B⟨Lx, D^{∗}θ⟩_{B^{∗}} = B⃗⟨Dx, L⃗^{∗}θ⟩B⃗^{∗} + B⃗⟨W x, θ⟩B⃗^{∗},
∀x ∈ Dom(L), ∀θ ∈ Dom(L⃗^{∗}).  (2.6)

(2) 十分大きな λ に対し

DG_{λ}x = G⃗_{λ}Dx + G_{λ}W G_{λ}x, ∀x ∈ Dom(D)

が成立する．

ここで B^{∗}, B⃗^{∗} は双対 Banach 空間， L⃗^{∗} は {T⃗_{t}^{∗}} の生成作用素である．

もちろん，上の条件は半群による条件 (2.5) と同値である． (2) のレゾルベントによる条件が定理 2.1 と同じであることに注意しよう．また (2.6) は Dom(L), Dom(L⃗^{∗}) 全体で仮定したが，稠密な部分集合でいえればよい．ただし稠密な部分集合を探すことはそれほど易しくない．例えば L が Hilbert 空間上の自己共役な作用素のとき，これは本質的自己共役性を示すことであるから場合によっては難しい問題である．また一方では，本質的自己共役性さえいえばよいということでもある．半群で不変な部分空間などは自然に作られていることに注意しよう．これに関する問題は後でまた触れる．

さて以上は Banach 空間での話であった． Hilbert 空間の枠組で双線型形式を使った定式化も出来るので，以下それを論じる．

{T_{t}}， {T⃗_{t}} を Hilbert 空間 H および H⃗ 上の半群とし，生成作用素は，ある ω ≥ 0 が存在して

(Lx, x)_{H} ≥ −ω|x|_{H}^{2},
(L⃗θ, θ)H⃗ ≥ −ω|θ|2 ; H⃗

をみたしているとする．対応する双線型形式を ℰ ， ℰ⃗ とする：

ℰ (x, y) = −(Lx, y)_{H} ∀x ∈ Dom(L), ∀y ∈ Dom(ℰ),
ℰ⃗(θ, η) = −(L⃗θ, η)H⃗ ∀θ ∈ Dom(L⃗), ∀η ∈ Dom(ℰ⃗).

一般論が使えるように弱扇形条件を仮定しておく． ℱ⃗ = Dom(ℰ⃗) は Hilbert 空間となるので，その双対空間を ℱ⃗^{∗} で表わす． Riesz の定理により H⃗^{∗} ≅ H⃗ であるから三つ組み ℱ⃗ ⊆ H⃗(≅ H⃗^{∗}) ⊆ ℱ⃗^{∗} が作られる． L⃗ は ℱ⃗ から ℱ⃗^{∗} の上への有界線型作用素に拡張でき ℱ⃗^{∗} に半群 {T⃗t^{∼}} を定める (Tanabe [19])．対応するレゾルベントを G⃗λ^{∼} とかく．

DL = L⃗D + W  (2.7)

がみたされるような状況で考えている訳であるが， W は Dom(D) から ℱ⃗^{∗} への有界作用素であることを仮定する．これは以前の枠組よりも広がっている．このとき次が成立する ([13])．定理 2.3. Dom(L) ⊆ Dom(D), ℱ⃗ ⊆ Dom(D^{∗}) および W が Dom(D) から ℱ⃗^{∗} への有界作用素であることを仮定する．このとき次は同値：

(1) D𝒟 ⊆ Dom(ℰ⃗) をみたす稠密部分空間 𝒟 ⊆ Dom(L) と稠密部分空間 𝒟⃗ ⊆ Dom(ℰ⃗) が存在し

(Lx, D^{∗}θ)_{H} = −ℰ⃗(Dx, θ) + ℱ⃗^{∗} (W x, θ)ℱ⃗, ∀x ∈ 𝒟, ∀θ ∈ 𝒟⃗.

(2) 十分大きな λ に対し

DG_{λ}x = G⃗_{λ}Dx + G⃗_{λ}^{∼}W G_{λ}x, ∀x ∈ Dom(D).

この節の最後に，この交換関係を使った簡単な応用を挙げておく．次の定理は生成作用素の定義域の特徴付けを与えるのに，交換関係が有効に使えることを示している．定理 2.4. 定理 2.3 と同様に Dom(L) ⊆ Dom(D), ℱ⃗ ⊆ Dom(D^{∗}) および W が Dom(D) から ℱ⃗^{∗} への有界作用素であることを仮定し，定理中の (1) または (2) の条件が成立していると仮定する．さらに ℰ に対し

ℰ (x, y) = (Dx, Dy)H⃗  (2.8)

を仮定する (従って L = −D^{∗}D が成り立つ訳である)．

以上の仮定の下で x ∈ Dom(L) であるための必要十分条件は x ∈ ℱ かつ Dx ∈ ℱ⃗ である．さらにこのとき.

(Lx, Lx)_{H} = ℰ⃗(Dx, Dx) − ℱ⃗^{∗} (W x, Dx)ℱ⃗ ∀x ∈ Dom(L). (2.9)

が成立する．

一般に生成作用素の定義域を求めることは，双線型形式の定義域を求めるよりも難しいことが多い．上の定理は，交換関係が成立しているときには双線型形式を 2 つ用いて生成作用素の定義域が特徴づけられることをいっているので，多少困難の度合いが緩和されている訳である．例えばユークリッド空間 ℝ^{n} 上で

ℰ (f, g) = ∫_{ℝ^{n}}(∇f, ∇g)e^{−U}dx

という Dirichlet 形式を考えてみよう． Hessian ∇^{2}U は下に有界であることを仮定する．このとき対応する生成作用素 L = Δ − ∇U · ∇ の定義域は

f^{2}, |∇^{2}f|^{2}, ∇^{2}U(∇f, ∇f) ∈ L^{1}(e^{−U}dx)

であることが上の定理を使って示せる． U の Hessian が関わってくることは， Dirichlet 形式だけを見ていたのでは，あるいは生成作用素の形だけを見ていたのでは分かりにくいところである．

3. 半群の比較定理

2 番目の話題，半群の比較定理に進もう．測度空間 (M, m) が与えられているとする． {T_{t}} を L^{2}(m) 上の縮小対称半群として，正値性を保つことを仮定する． H は Hilbert 空間とし， L^{2}(m; H) を H-値の 2 乗可積分関数の全体とする．即ち L^{2}(m; H) の元ははベクトル値の関数である．この空間はベクトル束の 2 乗可積分な切断面全体でもよい．さらに T⃗_{t} を L^{2}(m; H) 上の対称半群とする．

|T⃗_{t}θ| ≤ e^{−λt}T_{t}|θ|

がいつ成立するかに興味がある．次の一般論は B. Simon [15, 16] によって得られており，双線型形式を使った特徴付けは E. Ouhabaz [6] による．定理 3.1. 次の 3 つの条件は互いに同値：

(1) |T⃗_{t}θ| ≤ e^{−λt}T_{t}|θ|,

(2) |G⃗_{α−λ}θ| ≤ G_{α}|θ|, α > max{0, −λ},

(3) L|θ| ≥ ℜ((L⃗ + λ)θ| sgn θ)_{H}, θ ∈ Dom(L⃗) ただし

sgn θ = \{ \begin{matrix}\frac{θ}{|θ|}, & θ ≠ 0, \\ 0, & θ = 0. \end{matrix}

さらに，双線型形式 ℰ, ℰ⃗ が対応すれば上の条件は次の 2 条件とも同値：

1. θ ∈ Dom(ℰ⃗) ならば， |θ| ∈ Dom(ℰ) で

ℰ (|θ|, |θ|) ≤ ℰ⃗(θ, θ) + λ∥θ∥_{2}^{2}.  (3.1)

2. θ ∈ Dom(ℰ⃗), f ∈ Dom(ℰ) が 0 ≤ f ≤ |θ| をみたせば， f sgn θ ∈ Dom(ℰ⃗) で

ℰ (f, |θ|) ≤ ℰ⃗(θ, f sgn θ) + λ(f, |θ|).  (3.2)

上の一般論は必要十分条件でその意味では完全なものであるが，このままでは使いにくいので，平方場作用素を用いた十分条件を与える．ここからは {T_{t}} にマルコフ性と保存性を仮定する．以下出来るだけ一般的な枠組で述べるが，そのことは却って意味を分かりにくくする． 4 節で境界のある Riemann 多様体の場合を例として述べるので，その例に即して読むと多少理解しやすいであろう．

まず Bouleau-Hirsch [2] に従って，次の条件を仮定する． (Γ) f, g ∈ Dom(L_{2}) ならば f · g ∈ Dom(L_{1}) が従う．

ここで L_{2} は L^{2}(m) における生成作用素であり， L_{1} は L^{1}(m) における生成作用素であることを意味する．

上の条件のもとで平方場作用素 (square field operator) を

Γ(f, g) = \frac{1}{2}\{L_{1}(f · g) − L_{2}f · g − f · L_{2}g\}.  (3.3)

で定義する．縮小性から Γ の正値性 Γ(f, f) ≥ 0 が従う．その他にも詳しいことが分かっているので，上に挙げた Bouleau-Hirsch を参照するとよい．

さて {T⃗_{t}} についても同様に平方場作用素を定義したい．そこで θ, η ∈ Dom(L⃗_{2}) ならば (θ|η)_{H} ∈ Dom(L_{1}) となることを仮定して

Γ⃗(θ, η) = \frac{1}{2}\{L_{1}(θ|η)_{K} − (L⃗_{2}θ|η)_{K} − (θ|L⃗_{2}η)_{K}\}.  (3.4)

とおけば自然な拡張になっているように思える．しかしこの仮定は少し強い．上の関係があれば

−ℰ ((θ, η), f) + ℰ⃗(fθ, η) + ℰ⃗(θ, fη) = 2 ∫_{X} Γ⃗(θ, η)fdm

が成立するので，こちらを Γ⃗ の定義として採用する．即ち，

(Γ⃗-1) θ, η ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞} および f ∈ Dom(ℰ) ∩ L^{∞} ならば， (θ, η) ∈ Dom(ℰ), fθ, fη ∈ Dom(ℰ⃗) が従い，さらにΓ⃗: Dom(ℰ⃗)∩L^{∞}×Dom(ℰ⃗)∩ L^{∞} → L^{1}, 符号付きの滑らかな測度 σ, 対称テンソル γ⃗ (i.e, γ⃗ は対称な H^{∗} ⊗ H^{∗}-値関数) が存在して

−ℰ ((θ, η), f) + ℰ⃗(fθ, η) + ℰ⃗(θ, fη)
= 2 ∫_{M} Γ⃗(θ, η)fdm + 2 ∫_{M} γ⃗(θ̃, η̃)f̃dσ, ∀f ∈ Dom(ℰ) ∩ L^{∞} (3.5)

が成立することを仮定する．ここで θ̃, η̃, f̃ は θ, η, f の擬連続変形．

上の仮定は Γ⃗ と γ⃗ の二つの部分に分けたが， Γ⃗dm+γ⃗dσ と測度の形で一つにまとめて，これを改めて Γ⃗ と考えてもよい． 2 つに分けたのは Γ⃗ が絶対連続部分 (の密度) を表わし， γ⃗dσ が特異部分を表わしているような意味合いで使っているが，厳密にそうなっている必要もない．従来平方場作用素は関数を対応させるものとされていたが， (元の測度と特異な) 測度にまで拡張することが出来るということである．

次の仮定は(3.5) で形式的に f = 1 と出来ることを意味する． (Γ⃗-2) Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞} は Dom(ℰ⃗) で稠密で

ℰ⃗(θ, η) = ∫_{X} Γ⃗(θ, η)dm + ∫_{X} γ⃗(θ̃, η̃)dσ ∀θ, η ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞}. (3.6)

次の正値性の条件が最も本質的な仮定である： (Γ⃗-3) 関数 V と滑らかな測度 μ が存在し

Γ⃗(θ, θ) − V |θ|^{2} ≥ 0, ∀θ ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞},  (3.7)
γ⃗(θ̃, θ̃)dσ ≥ |θ̃|^{2}dμ, ∀θ ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞}  (3.8)

をみたす．ここで (3.8) は測度として成立することを意味する．つまり非負関数 g に対して

∫_{X} γ⃗(θ̃, θ̃)g(x)dσ(x) ≥ ∫_{X} |θ̃|^{2}g(x)dμ(x)

が成立することである．

最後の仮定は摂動定理を使うためのものである： (Γ⃗-4) 定数 a ∈ [0, 1) と b > 0 が存在して

∫_{M} |θ|^{2}V_{−}dm + ∫_{M} |θ|^{2}dμ_{−} ≤ aℰ (θ, θ) + b∥θ∥_{2}^{2}  (3.9)

が成立する．ここで V_{−} は V の負の部分 V_{−} = (−V) ∨ 0 を意味する．

以上は主に平方場作用素の正値性に関することであるが，以下では局所性 (確率過程で言えば拡散過程が対応すること) についての仮定を述べる．

まず ℰ に対しては次の局所性を仮定する． (D) f, g ∈ Dom(ℰ) ∩ L^{∞} に対して,

Γ(fg, h) = fΓ(g, h) + gΓ(f, h), ∀h ∈ Dom(ℰ)  (3.10)

が成立する．

Γ⃗ に対しても，同様な概念を仮定するが，それは次のような形で定式化する． (D⃗) θ, η ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞}, f ∈ Dom(ℰ) ∩ L^{∞} に対し，次が成立する：

2fΓ⃗(θ, η) = −Γ(f, (η|θ)_{K}) + Γ⃗(θ, fη) + Γ⃗(fθ, η).  (3.11)

この性質は Γ⃗ に双線型形式を付け加えても同じであることを注意しておく．

以上の仮定の下で比較定理の十分条件を述べることが出来る．一般的にしたので，上から押さえる半群はポテンシャル項を付けて次の双線型形式に対応するものを考える．

ℰ^{V +μ}(f, g) = ℰ (f, g) + ∫_{M} V fgdm + ∫_{M} f̃g̃dμ.  (3.12)

この半群を {T_{t}^{V +μ}} とかく．さて長々と条件述べてきたが，ようやく結果を述べることが出来る ([10]) ：定理 3.2. (Γ), (D), (Γ⃗-1)〜(Γ⃗-4) および (D⃗) を仮定する．このとき θ ∈ Dom(ℰ⃗) に対し |θ| ∈ Dom(ℰ) であって

Γ(|θ|, |θ|) ≤ Γ⃗(θ, θ) − V |θ|^{2}

が成立する．さらに f ∈ Dom(ℰ) ∩ L^{∞}, θ ∈ Dom(ℰ⃗) ∩ L^{∞} は次を満たす．

{Γ⃗(fθ, fθ) − V |fθ|^{2}}^{1/2} ≤ |f|{Γ⃗(θ, θ) − V |θ|^{2}}^{1/2} + |θ|Γ(f, f)^{1/2}.

半群に対しては次の優評価が成立する．

|T⃗_{t}θ| ≤ T_{t}^{V +μ}|θ|, ∀θ ∈ L^{2}(X; H).  (3.13)

定理の仮定は双線型形式の定義域の稠密な部分空間上で成立すればよい．条件の中に生成作用素自体が出てきていないことに注意しよう．つまり双線型形式だけで条件が述べられている．従って，具体例でこの条件を確かめることはさして困難ではない．また半群 T_{t}^{V +μ} は V + μ に対応する加法的汎関数 (A_{t}) を用いて確率論的に表現することも出来る：

T_{t}^{V +μ}f(x) = E_{x}[f(X_{t})e^{−A_{t}}].  (3.14)

(A_{t}) は V や μ の正値性を仮定していないので，一般には負になることを許している．この定理で {T⃗_{t}} の評価は {T_{t}^{V +μ}} の評価に帰着された訳である．あとは {T_{t}^{V +μ}} を如何に処理するかという問題であるが，これはスカラーの Feynman-Kac の定理を使えばよいことになる．例えば V + μ が加藤クラスの測度であれば， {T_{t}^{V +μ}} は， L^{∞} で有界で，ノルムは e^{λt} の形で評価できる． L^{∞} でいえれば， L^{p} でも半群になっていることが分かり， L^{p} 理論を展開することが出来ることになる．

4. Bakry-Emery の Γ_{2}

応用としてまず Bakry-Emery [1] の Γ_{2} 理論の再構成を行う．本質的には，今まで述べてきた枠組みでの書き直しに過ぎないが，多少一般化される場合もある．まず，彼らの理論を簡単に概観しておく． {T_{t}} を対称マルコフ半群で，保存的である事を仮定する．このとき平方場作用素 (square field operator) Γ を

2Γ(f, g) = L(f · g) − (Lf)g − fLg  (4.1)

で定義し，さらに Γ_{2} を

2Γ_{2}(f, g) = LΓ(f, g) − Γ(Lf, g) − Γ(f, Lg)  (4.2)

で定義する．以下帰納的に Γ_{3}, Γ_{4}, … が定義されるが， Γ_{3} 以降を使っての実質的な応用は存在しないようである．上の定義が意味を持つためには，関数のクラス 𝒜 で次の性質を持つものが存在しなければならない．

1. 𝒜 は L^{2}(m) で稠密．

2. 𝒜 は多元環 (和，積，スカラー倍に関して閉じている)．

3. 𝒜 は L の作用に関して閉じている．

4. 𝒜 は半群 {T_{t}} の作用に関して閉じている．

上の 4 番目の性質は Γ を定義するためには必要ないが，応用上は不可欠である．例えばある正数 γ が存在して

Γ_{2}(f, g) ≥ γΓ(f, g)  (4.3)

という条件の下で，対数 Sobolev 不等式が成立ことは Bakry-Emery の Γ_{2} 判定法として有名であるが，この証明のためには 4 番目の性質が本質的である．これらの性質は有限次元の多様体の場合などは，熱核の性質など詳しい結果が知られているので，直接確かめる事も困難ではないが，基礎の空間が無限次元の場合などは適当な空間 𝒜 を見つけ出すこと自体微妙な問題を含んでいる．実際 4 番目の性質があれば生成作用素の本質的自己共役性が従うが，本質的自己共役性を示すことは一般には難しい問題なのである．ほかにも付帯的な条件はあるが，本質的自己共役性が最も基本的な条件である．

さて，今までの枠組で Γ_{2} 理論を書き直してみよう．分かりやすさのために具体例として境界のある Riemann 多様体の上の Brown 運動について考える．生成作用素は Laplace-Beltrami 作用素 Δ を考えるが，境界条件は Neumann 境界条件を与えておく．実はこの場合は Γ_{2} をこのままでは定義する事が出来ない．平方場作用素 Γ は簡単な計算で

Γ(f, g) = (∇f, ∇g)

であることが分かる． Γ は f, g ∈ Dom(L_{2}) ならば fg ∈ Dom(Δ_{1}) という条件があれば定義できるが，今の場合はこれが成立しているのである．しかし， Γ_{2} を計算するためには Γ(f, g) が生成作用素 Δ の定義域に属さなければならない．ところが関数 f, g が Neumann 境界条件

\frac{∂f}{∂N} = \frac{∂g}{∂N} = 0

をみたすとき (N は内法線で，\frac{∂}{∂N} は法線微分を表す)

\frac{∂}{∂N} (∇f, ∇g) = (∇_{N}∇f, ∇g) + (∇f, ∇_{N}∇g) = 2(α∇f, ∇g)

となり，必ずしも 0 にならない．ここで α は境界 ∂M の第 2 基本形式である．

一般化のために交換定理を用いて Γ_{2} を書き直してみよう．そのために Hodge-小平の Laplacian を思い出そう．すなわち L⃗ = −(dd^{∗} + d^{∗}d) とおく． d は外微分作用素で，ここでは L⃗ は 1 次微分形式に働くものを考える．このとき ∇Δ = L⃗∇ が成立する．ただし境界条件が必要であるが，この条件をみたすために絶対境界条件を課す．この境界条件の選び方が，交換関係とどう関係しているかは具体的な計算をしてみないと分からないが，そのためには絶対境界条件とは何かを説明しなければならなくなるのでここでは省略する．ただ定理 2.2 の定式化で確かめることが出来ることだけ注意しておく．さて，交換関係 ∇Δ = L⃗∇ を使えば

2Γ_{2}(f, g) = Δ(∇f, ∇g) − (∇Δf, ∇g) − (∇f, ∇Δg)
= Δ(∇f, ∇g) − (L⃗∇f, ∇g) − (∇f, L⃗∇g).

ここで 3 節でのベクトル値関数に対する平方場作用素 Γ⃗ を思い出そう．最初の素朴な定義(3.4) では

2Γ⃗(θ, η) = Δ(θ, η) − (L⃗θ, η) − (θ, L⃗η)

と定義していた．このことに注意すれば

Γ_{2}(f, g) = Γ⃗(∇f, ∇g)

が分かる． Γ_{2} は結局ベクトル値関数 (今の場合 1 次微分形式) に対する平方場作用素であることが分かる．

さて，前に見たように (∇f, ∇g) は境界条件をみたさないので Γ⃗ の定義には双線型形式 ℰ⃗ を用いて定義する必要がある． Hodeg-小平の Laplacian は Weitzenböck の公式から

L⃗ = −∇^{∗}∇ − Ric

と表される． Ric は Ricci 曲率を表す．これを使って

−(L⃗θ, η) = ∫_{M}(∇^{∗}∇θ, η) dm + ∫_{M}(Ric θ, η) dm
= ∫_{M}(∇θ, ∇η) dm + ∫_{∂M}(∇_{N}θ, η) dσ
+ ∫_{M}(Ric θ, η) dm (∵ Gauss の発散公式)
= ∫_{M}(∇θ, ∇η) dm + ∫_{∂M}(αθ, η) dσ
+ ∫_{M}(Ric θ, η) dm (∵ (4.4)).

σ は境界の面積要素である．これから対応する双線型形式が次のように求められる．

ℰ⃗(θ, η) = ∫_{M}(∇θ, ∇η) dm + ∫_{M}(Ric θ, η) dm + ∫_{∂M}(αθ, η) dσ. (4.4)

結局ここで境界の積分が第 2 基本形式を通して関係していることに注意しよう． Γ⃗ をこの双線型形式を用いて計算すれば

(2Γ⃗(θ, η), h) = −ℰ ((θ, η), h) + ℰ⃗(θ, hη) + ℰ⃗(hθ, η)
= ∫_{M} 2{(∇θ, ∇η) + (Ric θ, η)}h dm + ∫_{∂M} 2(αθ, η)h dσ

となる．結局 Γ⃗ は (元に返れば Γ_{2} は)

Γ⃗(θ, η) = {(∇θ, ∇η) + (Ric θ, η)}dm + (αθ, η)dσ

であることが分かる． 3 節では絶対連続な部分を Γ⃗，特異な部分を γ⃗ というように表わしていたが，それにあわせれば Γ⃗(θ, η) = (∇θ, ∇η) + (Ric θ, η), γ⃗(θ, η) = (αθ, η), dμ = dσ という対応で考えればよい．ここでは全部をまとめて単に Γ⃗ とかいている． Bakry-Emery の枠組みでは Γ_{2} は関数として実現されるが，この例はそれが測度 (元の測度に関して必ずしも絶対連続でない) にまで拡張されることを示している．また Γ_{2}-判定法は今の枠組みでは

Γ⃗(θ, θ) ≥ γ|θ|^{2}  (4.5)

と読み替えられるが，この条件があれば半群の比較定理 (定理 3.2) から

|∇T_{t}f| = |T⃗_{t}∇f| ≤ e^{−γt}T_{t}|∇f|

が導かれる．これからあとは今までと同様な方法で対数 Sobolev 不等式が示される． (4.5) は例えば Ric(θ, θ) ≥ γ|θ|^{2}, (αθ, θ) ≥ 0 を仮定すれば成立する．この条件は定理 3.2 を使う上での Γ⃗ の正値性の条件 (Γ⃗-3) に対応する訳であるが，局所性の条件 (D) は共変微分の性質 ∇_{X}(θ, η) = (∇_{X}θ, η) + (θ, ∇η) から導かれることを注意しておく．

最後に Bakry-Emery の方法と，ここでの方法の違いについて述べておく． Bakry-Emery では扱う半群は 1 つだけである．すべてスカラーの話ですっきりと収まっている．それに対しここでの方法は 2 つの半群を必要とし，しかも交換関係をみたすように設定しなければならない．さらに平方場作用素は Γ(f, g) = (Df, Dg) の形で，ある作用素 D で表現される必要がある．その意味では取り扱える範囲は制限される．利点としては， 2 つの半群別々に条件を確かめればよい：優評価は双線形形式の稠密部分空間で条件を確かめればよく，交換関係は，生成作用素の稠密部分空間で条件を確かめればよい．この点は最初にあげた Γ_{2} の枠組みよりは多少楽になっている．さらに， Γ_{2} が測度になる場合まで拡張可能である．いずれにしても一長一短．

5. その他の応用

さらに応用を幾つか述べる．一般的な枠組みで述べることが出来るが，より具合性を持たせるために，引き続き境界を持つコンパクト Riemann 多様体の場合に限る．さらに，第 2 基本形式は正定値であると仮定する (境界の凸性を意味している)．

5.1. Littlewood-Paley の不等式

Hilbert 変換や Riesz 変換 (∇\sqrt{−Δ}^{−1} と表される) の L^{p} での連続性を示すのに， Littlewood-Paley の不等式を用いる方法がある．この不等式について述べよう． Q_{t}^{λ} を −\sqrt{λ − Δ} で生成される半群とする．この半群はよく知られているように従属操作によって簡単に構成することが出来る．これを用いてスカラー関数 f に対し

g^{→}(x, t) = |∂_{t}Q_{t}^{λ}f(x)|^{2},
g^{↑}(x, t) = |∇Q_{t}^{λ}f(x)|^{2},
g(x, t) = g^{→}(x, t) + g^{↑}(x, t).

と定義する． ∂_{t} = \frac{∂}{∂t} である．さらに Littlewood-Paley の G-関数を

G^{→}f(x) = {∫_{0}^{∞} tg^{→}(x, t)dt}^{1/2},
G^{↑}f(x) = {∫_{0}^{∞} tg^{↑}(x, t)dt}^{1/2},
Gf(x) = {∫_{0}^{∞} tg(x, t)dt}^{1/2}

と定める． 1 次微分形式に働く Hodeg-小平の Laplacian L⃗ = −(dd^{∗} + d^{∗}d) で生成される半群に対しても同様に定義をする． Cauchy 半群を Q⃗_{t}^{λ} = e^{−t\sqrt{λ−L⃗}} で定め，

ĝ^{→}(x, t) = |∂_{t}Q⃗_{t}^{λ}θ(x)|^{2},

Ĝ^{→}θ(x) = {∫_{0}^{∞} tĝ^{→}(x, t)dt}^{1/2}

などと定める． {Q⃗_{t}^{λ}} が L^{p} の半群を定めることは，比較定理を用いて示すことが出来る．このとき次のいわゆる Littlewood-Paley の不等式を示すことが出来る ([12])．

命題 5.1. 任意に p > 1 をとる．まず 1 次微分形式 θ に対し，

∥Ĝθ∥_{p} ≲ ∥θ∥_{p},  (5.1)
∥θ∥_{p} ≲ ∥Ĝ^{→}θ∥_{p}  (5.2)

が成立する．またスカラー関数 f に対しても

∥Gf∥_{p} ≲ ∥f∥_{p}.  (5.3)

ここで ≲ は， θ や f に無関係な定数倍を許して不等式が成立することを意味する．

これと半群の交換関係を使えば Riesz 変換の L^{p} 連続性を示すことが出来る．これを次に述べる．定理 5.2. 任意に p > 1 をとるとき，次が成り立つ：

∥∇f∥_{p} ≲ ∥\sqrt{1 − Δ}f∥_{p},  (5.4)
∥\sqrt{1 − Δ}f∥_{p} ≲ ∥∇f∥_{p} + ∥f∥_{p}.  (5.5)

証明. 交換関係から

∇Q_{t}^{λ} = Q̂_{t}^{λ}∇

が従う．これから

∥∇f∥_{p} ≲ ∥Ĝ^{→}∇f∥_{p} = ∥{∫_{0}^{∞} a|∂_{a}Q̂_{a}^{λ}∇f(x)|^{2}da}^{1/2}∥_{p}
= ∥\{∫_{0}^{∞} a|∇Q_{a}^{λ}\sqrt{λ − Δ}f|^{2}da\}^{1/2}∥_{p}
= ∥G^{↑}\sqrt{λ − Δ}f∥_{p}
≲ ∥\sqrt{λ − Δ}f∥_{p}

となって， (5.4) が示せる (∥\sqrt{1 − Δ}f∥_{p} と ∥\sqrt{λ − Δ}f∥_{p} は同値)．逆向きの不等式は双対性から示せる．

上の定理は\sqrt{1 − Δ} を用いて述べたが，ここでのコンパクト Riemann 多様体の場合は，スペクトルの跳びがあるから\sqrt{−Δ} としてもよい．従って ∇\sqrt{−Δ}^{−1} の L^{p} 有界性が示せる．

5.2. L^{p} 乗法作用素

今まで Hodge-小平の Laplacian L⃗ = −(dd^{∗} + d^{∗}d) は１次微分形式に対してのみ考えてきたが，一般の q-次の場合にも同様に定義できる． ϕ を ℝ 上の有界関数とするとき ϕ(λ − L⃗) が L^{2} での有界作用素を定めることはスペクトル分解を使えば (定義まで込めて) 容易に証明することが出来る． L^{p} ではどうであろうか．この問題をここで扱う． ϕ としては次の形のものをとる．

ϕ(λ) = λ ∫_{0}^{∞} e^{−2tλ}m(t)dt.  (5.6)

m は有界な関数である．典型的なものが ϕ(s) = s^{\sqrt{−1}a} a ∈ ℝ で，この場合は m(t) = 2(2t)^{−\sqrt{−1}a}/Γ(1 − \sqrt{−1}a) として実現できる．対応する作用素は (λ − L⃗)^{\sqrt{−1}a} を考えていることになるが，この作用素は Sobolev 空間の複素補間を行うときに基本的となるものである．さて ϕ を(5.6) で与えるとき次を得る ([14])．定理 5.3. λ を十分大きくとるとき， ϕ(λ − L⃗) は L^{p} の有界作用素になる．

この形の定理はスカラー関数に働くマルコフ半群の場合に E. Stein [17] によって証明されている．また確率論的な証明を N. T. Varopoulos [18] が与えている．上の定理はベクトル値関数に関しても同様のことが成り立つことをいっている訳である．定理の証明には前に述べた Littlewood-Paley の不等式を用いる．ただし，前に述べた G-関数とは異なる型のものを用いる．それは次の形のものである．

𝒫θ(x) = {∫_{0}^{∞}{|dT⃗_{t}θ(x)|^{2} + |d^{∗}T⃗_{t}θ(x)|^{2}}dt}^{1/2}.  (5.7)

ここでは Hodge-小平作用素を扱うために d, d^{∗} という作用素を用いたこと，および Cauchy 半群でなく元の半群をそのまま用いているところが以前のものと異なっている．前のものを楕円型，今回のものを放物型の G-関数と呼べばよいであろう．これに対して次の不等式が成立する．命題 5.4. 任意の p > 1 に対し

∥𝒫θ∥_{p} ≲ ∥θ∥_{p}.  (5.8)

この評価を用いて定理を証明する訳であるが，そのとき基本となるのが次の ϕ(λ − L⃗) の表示である．

(φ(λ − L⃗)θ, η)

= ∫_{0}^{∞} m(t)dt ∫_{M}{(dT⃗_{t}θ, dT⃗_{t}η) + (d^{∗}T⃗_{t}θ, d^{∗}T⃗_{t}η) + λ(T⃗_{t}θ, T⃗_{t}η)}m(dx).

半群 {T⃗_{t}} は生成作用素を −λ + L⃗ ととってある．この形から， (5.7) との関連は容易に見て取れるであろう．

参考文献

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[8] G. Schwarz, “Hodge-decomposition—a method for solving boundary value problems,” Lecture Notes in Math., vol. 1607, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1995.

[9] I. Shigekawa, L^{p} contraction semigroups for vector valued functions, J. Funct. Anal., 147 (1997), 69–108.

[10] I. Shigekawa, Semigroup domination on a Riemannian manifold with boundary, Acta Appl. Math., 63 (2000), 385–410.

[11] I. Shigekawa, The domain of a generator and the intertwining property, in ”Stochastics in Finite and Infinite Dimensions, ed. by T. Hida et al, pp. 401–410, Birkhäuser, Boston, 2001.

[12] I. Shigekawa, Littlewood-Paley inequality for a diffusion satisfying the logarithmic Sobolev inequality and for the Brownian motion on a Riemannian manifold with boundary, preprint.

[13] I. Shigekawa, Defective intertwining property and generator domain, preprint.

[14] I. Shigekawa, L^{p} multiplier theorem for the Hodge-Kodaira operator preprint.

[15] B. Simon, An abstract Kato’s inequality for generators of positivity preserving semigroups, Indiana Univ. Math. J., 26 (1997), 1069–1073.

[16] B. Simon, Kato’s inequality and the comparison of semigroups, J. Funct. Anal., 32 (1979), 97–101.

[17] E. M. Stein, “Topics in harmonic analysis, related to Littlewood-Paley theory,” Annals of Math. Studies, 63, Princeton Univ. Press, 1974.

[18] N. T. Varopoulos, Aspects of probabilistic Littlewood-Paley theory, J. Funct. Anal., 38 (1980), 25–60

[19] H. Tanabe, “Equation of evolution,” Pitman, London, 1979.

[20] N. Yoshida, Sobolev spaces on a Riemannian manifold and their equivalence, J. Math. Kyoto Univ., 32 (1992), 621–654.

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