対数 Sobolev 不等式と Littlewood-Paley の定理

重川一郎 (京都大学理学研究科)

空間 (M, B(M), μ) 測度空間とする．すなわち M は位相空間で B(M) は Borel σ-algebra， m は Borel 確率測度とする． M 上に対称拡散過程 (X_{t}) が与えられているとする．対応する Dirichlet 形式を E とする．生成作用素を L, 半群を {T_{t}} と表わすことにする．特に E は

E(u, v) = ∫_{M}(∇u, ∇v)dμ(x)

で与えられているとする． ∇ は具体的には gradient operator を考えることが多いが，ここでは適当な Hilbert 空間 K が存在して閉作用素 ∇: L^{2}(μ) → L^{2}(μ; K) として与えられていればよい．より一般的には L^{2}(μ; K) はベクトル束の L^{2} section として与えられてもよい． ∇ にたいし局所性 ∇(f · g) = g∇f + f∇g を仮定する．さらに E(1, 1) = 0 および次の対数 Sobolev 不等式を仮定する：ある α > 0, β ≥ 0 に対し

∫_{M} u^{2} log u/∥u∥_{2}μ(dx) ≤ αE(u, u) + β(u, u).

ベクトル値の関数 ∇u を扱うためにもう一つの半群 {T̂_{t}} が L^{2}(μ; K) 上に与えられていて半群の比較定理 |T̂_{t}θ|_{K} ≤ T_{t}|θ|_{K} が満たされているとする．さらに {T̂_{t}} の生成作用素を L̂ と記し，交換則 ∇L = (L̂ − R)∇ を仮定する． R は Riemann 多様体の場合は Ricci 曲率であるが，ここでは抽象的な 0 階の作用素として与えられる． R の負の部分に対し指数可積分性を仮定するが，それは次のように定式化する．実数値関数 V が存在し (R(x)k, k)_{K} ≥ V (x)|k|_{K}^{2} および e^{V_{−}} ∈ L^{∞−} = ⋂_{p≥1} L^{p} を満たす．ここで V_{−} は V の負の部分を表わす：V_{−} = (−V)∨0.

以上の仮定の下で次の定理を得る．

定理 1 任意の 1 < p < q < ∞ に対し正数 C_{1}, C_{2} がとれて

∥∇u∥_{p} ≤ C_{1}∥\sqrt{1 − L}u∥_{q},  (1)
∥\sqrt{1 − L}u∥_{p} ≤ C_{2}(∥∇u∥_{q} + ∥u∥_{q})  (2)

が成立する．

この定理は指数が p < q と弱いノルムを強いノルムで評価した形になっている．指数をそろえた形で証明できるかもしれないが，現時点ではこの点は克服できていない．その一つの理由は最大エルゴード不等式が次の弱い形でしか示せていないことによる． V を上のようにとり， {T_{t}^{V} } を L − V で生成される半群とする．この時 {T_{t}^{V} } は L^{p} での強連続半群となるが（[2] 参照） t について上限を取る時次の評価を得る．命題 2 任意の 1 < p < q < ∞ に対し λ > 0 を十分大きくとれば，適当な正数 c > 0 が存在して

∥sup_{t≥0} |e^{−λt}T_{t}^{V} u|∥_{p} ≤ c∥u∥_{q},  ∀u ∈ L^{q}  (3)

とできる．

|T̂_{t}^{R}θ| ≤ T_{t}^{V} |θ| だから上のことから sup_{t≥0} |T̂_{t}θ| が評価できることになる．

定理 1 の証明は Littlewood-Paley の G-関数を用い Meyer-Bakry の確率論的な証明を踏襲する．

文献

[1] D. Bakry, Etude des transfomations de Riesz dans les variétés riemaniennes à courbure de Ricci minorée, Séminaire de Prob. XXI, Lecture Notes in Math., vol. 1247, 137–172, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1987.

[2] I. Shigekawa, L^{p} contraction semigroups for vector valued functions, J. Funct. Anal., 147 (1997), 69–108.

[3] I. Shigekawa, Semigroup domination on a Riemannian manifold with boundary, preprint.

[4] I. Shigekawa and N. Yoshida, Littlewood-Paley-Stein inequality for a symmetric diffusion, J. Math. Soc. Japan, 44 (1992), 251–280.

[5] N. Yoshida, Sobolev spaces on a Riemannian manifold and their equivalence, J. Math. Kyoto Univ., 32 (1992), 621–654.

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