半群の比較定理，交換定理と対数 Sobolev 不等式

重川一郎 (京都大学理学研究科)

対数 Sobolev 不等式が成立するための十分条件として Bakry-Emery による Γ_{2}-判定法がよく知られている．ただ Γ_{2} に対する条件がどの様なクラスで成立するかは微妙な問題を含んでおり，有限次元のときは，準楕円性等を援用すれば比較的容易に確かめられるが，無限次元のときは，それほど容易ではない．ここでは比較定理と，交換定理との組合せから，やや異なった定式化を行なう．

(X, B, m) を σ-有限な測度空間とし，二つの半群 {T_{t}} と {T⃗_{t}} が与えられているとする． {T_{t}} は L^{2}(m) 上の半群で，マルコフ性を満たしているとする． {T⃗_{t}} は Hilbert 空間 H に値を取る L^{2} 関数に作用する半群であるとする．より一般には，ベクトル束の切断を考えることになるが，ここでは自明な束を考え単に H-値とする． H のノルムは | · | で表わす．我々が興味があるのは

|T⃗_{t}u| ≤ T_{t}|u|, ∀u ∈ L^{2},  (1)

がいつ成立するこである． (1) のための必要十分条件が B. Simon [2, 3] によって与えられている．ここでは対応する２次形式を通じて square field operator による十分条件を与える． {T_{t}}, {T⃗_{t}} に対応する生成作用素を A, A⃗, ２次形式を E, E⃗ とする．仮定から E は Dirichlet 形式である． square field operator を

Γ(f, g) = \frac{1}{2}\{A(fg) − (Af) − f(Ag)\}  (2)

で定義する．もちろんこれが定義可能であることを仮定している．さらに Γ が derivation property を満たしていることを仮定する．

さて {T⃗_{t}} に対しては:

(Γ⃗_{λ}) すべての u, v ∈ Dom(A⃗_{2}) に対して (u|v)_{H} ∈ Dom(A_{1}) が成立ち，さらに λ ∈ R が存在して

A_{1}|u|^{2} − 2(A⃗_{2}u|u)_{H} + 2λ|u|^{2} ≥ 0  (3)

が満たされているものとする．

ただし A_{1} は L^{1} における生成作用素であり， A⃗_{2} は L^{2} における生成作用素である．上の条件は A⃗_{2} の core で成立すれば十分である．しかし core がどうとれるかは本質的自己共役性の問題に係わり，一般に困難な場合が多い．とにかく上の (Γ⃗_{λ}) の条件の下で Γ⃗ を

Γ⃗(u, v) = \frac{1}{2}\{A_{1}(u|v)_{H} − (A⃗_{2}u|v)_{H} − (u|A⃗_{2}v)_{H}\}.  (4)

で定める．さらに次の条件を仮定する．

(D⃗) すべての u, v ∈ Dom(E⃗) ∩ L^{∞}, f ∈ Dom(E) ∩ L^{∞}, に対して (u|v)_{H} ∈ Dom(E), fu ∈ Dom(E⃗) で

2fΓ⃗(u, v) = −Γ(f, (v|u)_{H}) + Γ⃗(u, fv) + Γ⃗(fu, v)  (5)

が成立つ．この条件は具体的な場合は Γ⃗ の derivation property に対応している．また生成作用素の core の上で成立すればよいことも同様である． [4] では，２次形式の core で成立すればよいと述べてあるが，これでは不十分であった．

以上の設定の下で次が成立する．

定理 1 (Γ⃗_{λ}) と (D⃗) を仮定するとき

|T⃗_{t}u| ≤ e^{λt}T_{t}|u|, ∀u ∈ L^{2}(H)  (6)

が成立する．

さて次に半群の交換性について論じる． ∇: L^{2}(m) → L^{2}(m; H) という閉作用素が与えられているとする．抽象的には何でもよいが，応用上実際に現れるのは gradient の場合だから ∇ という記号を使うことにする．ここで興味の対象とするのは

∇T_{t} = T⃗_{t}∇  (7)

という条件が成立するかどうかということである．これに関して次を得る．対応する resolvent を G_{α}, G⃗_{α} と表わしている．

定理 2 Dom(A) ⊆ Dom(∇) を仮定する．このとき次の条件は互に同値：

(i) Dom(A⃗) ⊆ Dom(∇^{∗}) であり

⟨Au, ∇^{∗}θ⟩ = ⟨∇u, A⃗θ⟩, ∀u ∈ Dom(A), ∀θ ∈ Dom(A⃗).  (8)

(ii) 十分大きな α に対し

DG_{α}u = G⃗_{α}∇u, ∀u ∈ Dom(∇).  (9)

(iii) すべての t ≥ 0 に対し， T_{t}Dom(∇) ⊆ Dom(∇) で

∇T_{t}u = T⃗_{t}∇u, ∀u ∈ Dom(∇).  (10)

これらを組合せれば Bakry-Emery の判定法を次の形で定式化出来る．先ず， Dirichlet 形式は

E(f, g) = (∇f, ∇g).

で与えられているとする．このとき

定理 3 ２つの半群 {T_{t}} and {T⃗_{t}} が λ > 0 に対し，

|T⃗_{t}u| ≤ e^{−λt}T_{t}|u|,
∇T_{t}f = T⃗_{t}∇f

を満たし， A の固有値 0 に対する固有空間は定数関数のみとする．このとき次の対数 Sobolev 不等式が成立する．

∫_{X} f^{2} log(f^{2}/∥f∥_{2}^{2})dm ≤ \frac{2}{λ}E(f, f) ∀f ∈ Dom(E).  (11)

References

[1] E. Ouhabaz, Invariance of closed convex sets and domination criteria for semigroups Potential Analysis, 5 (1996), 611–625.

[2] B. Simon, An abstract Kato’s inequality for generators of positivity preserving semigroups, Indiana Univ. Math. J., 26 (1997), 1069–1073.

[3] B. Simon, Kato’s inequality and the comparison of semigroups, J. Funct. Anal., 32 (1979), 97–101.

[4] I. Shigekawa, L^{p} contraction semigroups for vector valued functions, J. Funct. Anal., 147 (1997), 69–108.