ループ群上の確率解析

(課題番号 08454041)

平成 8 年度〜平成 9 年度科学研究費補助金 (基盤研究 (B) (2)) 研究成果報告書

平成 10 年 3 月研究代表者重川一郎

(京都大学大学院理学研究科助教授)

はしがき

本書は平成 8 年度〜平成 9 年度科学研究費補助金 (基盤研究 (B) (2)) による研究「ループ群上の確率解析」 (課題番号 08454041) の研究成果報告書である．本研究は下記の代表者および分担者によって組織され，関連する研究者の協力を得てループ群を中心とする確率解析の研究を行なった．

研究を遂行するに当たり，共同研究を進めるとともに，講演会，研究集会をそれぞれ 1 回行なった．そこでは最前線の研究成果の多くの発表があり，また活発な討論が行なわれ，今後の研究方向を見定めるのに有意義であった．本報告書では，各研究分担者の研究成果と共に，研究集会の講演者に研究の現状，今後の展望や問題点についてまとめていただいた．本研究の成果を明らかにする手助けとしたい．

研究分担者を始め，御協力いただいた多くの研究者に心より感謝します．

平成 10 年 3 月重川一郎

研究組織研究代表者：重川一郎京都大学・大学院理学研究科・助教授
研究分担者：渡辺信三京都大学・大学院理学研究科・教授
研究分担者：岩崎敷久京都大学・大学院理学研究科・教授
研究分担者：西田孝明京都大学・大学院理学研究科・教授
研究分担者：河野明京都大学・大学院理学研究科・教授
研究分担者：野村隆昭京都大学・大学院理学研究科・助教授
研究分担者：大鍛冶隆司京都大学・大学院理学研究科・助教授
研究分担者：岩塚明京都大学・大学院理学研究科・講師
研究分担者：谷口雅彦京都大学・大学院理学研究科・助教授
研究分担者：吉田伸生京都大学・大学院理学研究科・助手
研究分担者：竹田雅好大阪大学・基礎工学部・助教授
研究分担者：上木直昌姫路工業大学・理学部・助教授
研究分担者：高信敏金沢大学・理学部・助教授
研究経費平成 8 年度  3,700 千円
平成 9 年度  3,300 千円
計  7,000 千円

研究発表

本科学研究費補助金による研究成果のうち，学術研究雑誌等により公表されたものおよび出版物を以下に挙げる．口頭による研究発表が，学会，各種研究集会で多数あるが，これらは省略する．

(1) 学会誌等

[1] Fujita, E. and Nomura, T., Spectral decompositions of Berezin transformations on C^{n} related to the natural U(n)-action, J. Math. Kyoto Univ., 36 (1996), 877–888.

[2] Fujita, E. and Nomura, T., Berezin transforms on the 2 × 2 matrix space related to the U(2) × U(2)-action, preprint, 1997 （投稿中） .

[3] Hamanaka, H., Hara, S. and Kono, A., Adjoint actions on the modulo 5 homology groups of E_{8} and ΩE_{8}. J. Math. Kyoto Univ. 37 (1997), no. 1, 169–176.

[4] Harada, T. and Taniguchi, M., On Teichmüller spaces of complex dynamics by entire functions, Bull. HongKong Math. Soc. 1 (1997), 257-266.

[5] Higuchi, Y. and Yoshida, N., Ising models on the lattice Sierpinski gasket, J. Stat. Phys, 84, Nos. 1/2, pp. 295–307, (1996).

[6] Higuchi, Y. and Yoshida, N., Slow relaxation of stochastic Ising models with random and non-random boundary conditions, In: New trends in stochastic analysis, ed. by K. D. Elworthy, S. Kusuoka, I. Shigekawa, World Scientific Publishing, 153–167, (1997).

[7] Hirai, T., Relations between unitary representations and those of the infinite symmetric group, in ’Infinite Dimensional Harmonic Analysis’ (Transactions of a German-Japanese Symposium), pp.94-112, Tuebingen, 1996.

[8] Hirai, T., Group topologies and unitary representations of the group of Diffeomorphisms, to appear in Proceedings of International Conference ’Analysis on infinitedimensional Lie groups and algebras’ held at Marseille 1997, 9 pages.

[9] Hirai, T. and Shimomura, H., On group topologies on the group of diffeomorphisms, 数理解析研究所講究録 1017 ’ 無限次元測度論と無限次元群の表現論’ pp.104-115, 1997.

[10] Hirai, T. and Shimomura, H., Relations between unitary representations of diffeomorphism groups and those of the infinite symmetric group or of related permutation groups, J. Math. Kyoto univ., 37-2(1997), 261-316.

[11] Hirai, T., Shimomura, H. and Tatsuuma, N., On group topologies and unitary representations of inductive limits of topological groups and the case of the group of diffeomorphisms, Preprint, Kyoto-Math 98-01, pp.1-32, 1998.

[12] Hu, Y-Z. and Watanabe, S., Donsker’s delta functions and approximation of heat kernels by time discretization method, J. Math. Kyoto Univ., 36-3 (1996), 499-518.

[13] Ichinose, T and Takanobu, S., On the norm estimate of the difference between the Kac operator and the Schrödinger semigroup, “ Differential Equations, Asymptotic Analysis, and Mathematical Physics ” (edited by M. Demuth and B.-W. Schulze), Mathematical Research 100, 165–173, Akademie Verlag, 1997.

[14] Ichinose, T and Takanobu, S., Estimate of the difference between the Kac operator and the Schrödinger semigroup, Commun. Math. Phys., 186, 167–197, 1997.

[15] Ichinose, T and Takanobu, S., The norm estimate of the difference between the Kac operator and the Schrödinger semigroup: A unified approach to the nonrelativistic and relativistic cases, to appear in Nagoya Math. J., 149, 1998.

[16] Iohara, T., Nishida, T., Teramoto, Y. and Yoshihara, H., Bénard-Marangoni convection with a deformable surface, in ”Mathematical Problems on Computational Fluid Mechanics”, Kokyuroku 974, RIMS Kyoto University, (1996) pp.30-42, ed. by Kaneda, Y.

[17] Iwatsuka, A. and Tamura, H., Asymptotic distribution of eigenvalues for Pauli operators with spherically symmetric magnetic fields, to appear in Tsukuba Math. J.

[18] Iwatsuka, A. and Tamura, H., Asymptotic distribution of eigenvalues for Pauli operators with nonconstant magnetic fields to appear in Duke Mathematical Journal.

[19] Iwatsuka, A. and Tamura, H., Asymptotic distribution of negative eigenvalues for two dimensional Pauli operators with nonconstant magnetic fields to appear in Annales de l’Institut Fourier.

[20] Kawabata, T. and Takeda, M., On uniqueness problem for local Dirichlet forms, Osaka J. Math. 33 (1996), 881-893.

[21] Kono, A. and Tsukuda, S., A remark on the homotopy type of certain gauge groups. J. Math. Kyoto Univ. 36 (1996), no. 1, 115–121.

[22] Matsumoto, H. and Ueki, N., Spectral analysis of Schrödinger operators with magnetic fields, (1996), J. Funct. Anal., vol 140, pp 218–255.

[23] Nishida, T. and Pyi-Aye , Heat convection of compressible fluid, in ”Domain Decomposition Methods and Related Topics”, Kokyuroku 989, RIMS Kyoto University, (1997) pp.169-179, ed. by Kawarada, H.

[24] Nomura, T., Berezin transforms and group representations, preprint, 1998 年 2 月.

[25] 野村隆昭, Berezin 変換と Lie 群の表現, 第 35 回実函数論・函数解析学合同シンポジウム講演集録 (1996), 43–60.

[26] Okaji, T., Uniqueness of the Cauchy problem for elliptic operators with fourfold characteristics of constant multiplicity, Comm.P.D.Eqs.,22 1997, 269–305

[27] Schonmann, R. H. and Yoshida, N., Exponential relaxation of Glauber dynamics with some special boundary conditions, Commun. Math. Phys. 189, 299–310, (1997).

[28] Shigekawa, I. and Taniguchi, S., A Kähler metric on a based loop group and a covariant differentiation, in ”Itô’s stochastic calculus and probability theory,” ed. by N. Ikeda et al, pp. 327–346, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1996.

[29] Shigekawa, I., Differential calculus on a based loop group, in ”New Trends in Stochastic Analysis, Proceedings of the Taniguchi International Symposium, pp. 375– 398, ed. by K. Elworthy, S. Kusuoka and I. Shigekawa, World Scientific, Singapore, 1997.

[30] Shigekawa, I., L^{p} contraction semigroups for vector valued functions, J. Funct. Anal., 147 (1997), 69–108.

[31] Shigekawa, I., The Meyer inequality for the Ornstein-Uhlenbeck operator and the L^{p} multiplier, Proceedings of SAP ’96, “Tends in probability and related analysis,” pp. 273–288, ed. by N. Kono and N.-R. Shieh, World Scientific, Singapore, 1997.

[32] Takanobu, S., On the error estimate of the integral kernel for the Trotter product formula for Schrödinger operators, to appear in Ann. Probab.

[33] Takeda, M., A large deviation for symmetric Markov processes with finite life time, Stochastics and Stochastic Reports 59, (1996) 143-167.

[34] Takeda, M., Asymptotic properties of additive functionals of Brownian motion, Ann. Probab. 25 (1997) 940-952 (with T. Zhang).

[35] Takeda, M., Asymptotic properties of generalized Feynman-Kac functionals, to appear in Potential Analysis.

[36] Takeda, M., Exponential decay of lifetime and a Theorem of Kac on total qccupation times, to appear in Potential Analysis.

[37] Taniguchi, M., Logarithmic lifts of the family λze^{z}, 数理解析研究所講究録 988, (1997) 21 - 28.

[38] Taniguchi, M., Bloch topology of the universal Teichmüller space, Topology and Teichmuller Spaces, World Scientific, (1996) 279 - 293.

[39] Taniguchi, M., Klein 群と Caratheodory 収束, 数理解析研究所講究録 967, (1996) 92 - 99.

[40] Ueki, N., Hypoellipticity for the \overline{∂}-Neumann problem on certain domains with infinite degeneracy, (1996), Japanese J. Math., vol 22, pp 79–128.

[41] Watanabe, S., Lévy’s stochastic area formula and Brownian motion on compact Lie group, “Ito’s Stochastic Calculus and Probability theorey,” Springer-Verlag Tokyo (1996), 401–411

[42] Watanabe, S., Stochastic analysis on Wiener space, Proc. Nobert Wiener Centenary Congress, 1994, Proc. Symp. Appl. Math. 52, Amer. Math. Soc. (1997), 359-370

[43] Watanabe, S., Wiener functionls with the regularity of fractional order, “New Trends in Stochstic Analysis, Proc. Taniguchi Workshop, 1994, World scientific (1997), 416–429.

[44] Watanabe, S., Branching diffusions (superdiffusions) and random snakes, “Trends in Probability and Related Analysis, Proc. SAP’ 96, World Scientific (1997), 289– 304.

[45] Yoshida, N., Relaxed criteria of the Dobrushin-Shlosman mixing condition, J. Stat. Phys. 87, Nos.1/2, 293–309, (1997).

[46] Yoshida, N., Exponential relaxation of finite volume Glauber dynamics near the border of the one phase region, in Trends in Probability and Related Analysis, the proceedings of SAP’96, ed. by N. Kono and N.-R. Shieh, World Scientific, 339–350, (1997).

[47] Yoshida, N., Finite volume Glauber dynamics in a small magnetic field, J. Stat. Phys. 90, Nos.3/4, (1998 年出版予定).

[48] Yoshida, N., The log-Sobolev inequality for weakly coupled ϕ^{4}-lattice fields, Probab. Th. Rel. Fields, (1998 年出版予定).

(2) 出版物

[I] Matsuzaki, K. and Taniguchi, M., Hyperbolic manifolds and Kleinian Groups, Oxford Univ. Press, 1998.

研究成果

確率解析は解析学諸分野の研究と深く係わっており，有機的相互的な連携が必要とされる．そのため研究分担者を幾つかのグループに分け，共同研究を行なった．また主要研究者を各地での研究集会に派遣し，全国各地の研究者と情報交換を行ないながら研究を遂行してきた．また特に確率解析に関する講演会および研究集会を企画し，多くの研究者の研究発表および討論の場を提供することを行なった．

以下，初めに各研究グループでの研究成果について述べ，後半において，講演会および研究集会の報告を掲載する．また [ ] は前節での研究発表論文の番号を示す．

(1) 確率論グループの研究このグループは重川一郎，渡辺信三，吉田伸生，高信敏，竹田雅好，上木直昌から組

織されている．

重川はループ群の研究を主に行なった．無限次元空間は確率解析の重要な対象であり， Banach 空間などのベクトル空間ばかりでなく，多様体の上の道の空間や，ループの空間などの曲がった空間に対してもその興味の対象を広げてきた．その中でも Lie 群上のループの空間はループ群とよばれ，群構造による大域的な性質からとり扱いやすい構造を持つので，詳しく調べられてきている．ここではループ群上の微分形式をその主な研究対象とし， Hodge-Kodaira 型の作用素の性質の解明を中心として研究を進めた．まず基本となる外微分作用素を定める必要があるが，これらは無限次元空間の calculus として有効である Malliavin calculus によって行なわれる．ループを考える場合は条件付確率を考える必要があるが，これらはすでに Malliavin calculus において超関数の枠組で定式化され，道具として確立されている．従って測度が与えられているので， Hodge-Kodaira 型作用素が自然に定義される．この際重要となるのが有限次元での Weitzenböck の公式に当たるもので，特に Ricci 曲率を求めることが重要となるが，このことに関して E. Getzler のアイデアに従って厳密な計算を行なった．これらは [29] にまとめられている．将来的にはスペクトル構造の解明が求められている．この問題に対しては， B. Driver によって測度を変えるとスペクトルギャップの存在が示されている．条件付測度の場合はいまだ解明されておらず，これからの課題である．その際，対数 Sobolev 不等式が重要な鍵となることが予想される．

また上の話題と関連して微分形式などのベクトル値の関数を扱う必要からベクトル値関数に関する半群の比較定理を証明した．ここでは square field operator による定式化を行なったが，これらは後半に収録されている確率解析の研究集会の報告に詳論されているので省略する．その他にも Wiener 空間での Riesz 変換の連続性に関し L^{1} の枠組での定式化を行なった．これは [31] にまとめられているが，特に重要なのは Orlicz-Zygmund 空間を用いたことである．

渡辺信三は Malliavin calculus および super diffusion の研究を中心に行なっている．

[44] では J. F. LeGall による random snake を用いた super process の構成を branching mechanism が空間的に一様でない場合に時間変更を用いて modify することにより一般化した． [43] では必ずしも微分可能ではないが，正の分数巾可微分性をもつ重要な Wiener functional のクラスがある．それらのクラスについて研究し，それに関係する分布や平均の parameter に関する Hörlder 連続性の意味での正則性を調べた． [42] は N. Wiener の先駆的研究から今日の確率解析がどのように発展したかを解説した総合報告である． [41] は compact Lie 群における指数写像の Jacobian の公式と Lévy の確率面積の特性関数の公式が同じになることの理由や応用について調べた． [12] では確率微分方程式の解に対する Euler-Maruyama Taylor-Itô 近似 scheme を Malliavin 解析と組合せて Donsker のデルタ関数の Wiener-Itô 多重汎関数による近似を与え，その応用として熱核の近似 scheme を与えた．

また最近では時間反転に関する不変性を持つ１次元拡散過程のクラスが，ずれを持った両側 Bessel process のクラスと一致することを示した．また Pitman-Yor が Spitzer の結果を一般化した幾つかの点のまわりの２次元 Wiener 過程のまきつき方の研究を Riemann 面上の Brown 運動の場合に一般化した．これらは，いずれもプレプリント準備中である．

吉田伸生は主にスピン系の統計力学について研究している．例えば水の相転移（0^{∘}C では相転移が有り 10^{∘}C では無い）は次のように捉えることが出来る；

• 0^{∘}C では氷の固まりは時間が経っても凍ったまま，またコップの中の水もそのままで存在し続けることが出来る．何故なら， 0^{∘}C ではどちらも平衡状態だから（元来「相転移」とは２つ以上の平衡状態の存在を意味する）．

• 一方 10^{∘}C では, 氷の固まりも水も，時間が経てばどちらも水なってしまう．何故なら 10^{∘}C では水が唯一の平衡状態だから．

現在の研究は相転移の有無を上の例で見たような形で，つまり温度を固定した上で時間を動かせた結果起こる現象の差異として表現することである．数学的な枠組みとしては格子スピン系を採用する．典型例として電子の回転の量子力学的描像に基づいて磁気現象を記述するイジング模型がある．

[5] では Sierpinski Gasket と呼ばれるフラクタル格子上の Ising model を考察．格子の次元は 1 次元と 2 次元の中間であるが， Ising model の定性的性質は 1 次元 Ising model に極めて近いことを示す．

[6] では相転移領域の２次元 stochastic Ising 模型で，平衡状態への収束はシステムのサイズについて指数的に長い時間を要することを示す．

[45] では格子上の離散的スピン系を考察． Dobrushin-Shlosman の条件と呼ばれる極めて強い混合条件が，一見かなり弱く見えるいくつかの混合条件と実は同値であることを示す．

[46] は文献 [27], [47] の報告記事

[27] では相転移領域の近傍（相転移領域そのものは除く）の stochastic Ising 模型で，平衡状態への収束速度はシステムのサイズに関係ない下限をもつことの証明．

[47] では文献 [27] の結果の一部を改良（低温で弱い磁場を持つ場合）

[48] では非有界なスピンを持つ格子模型（ϕ^{4}-格子場）に対しても相転移領域から離れた部分で平衡状態への収束速度はシステムのサイズに関係ない下限をもつことの証明．

高信敏は Schrödinger 作用素の確率論的な研究を行なっている．スカラーポテンシャル V : ℝ^{d} → ℝ を非負の連続関数とし非相対論的 Schrödinger 作用素 H_{0} + V = −\frac{1}{2}Δ + V, 及び相対論的 Schrödinger 作用素 H_{0}^{r} + V = \sqrt{−Δ + 1} − 1 + V を考える．このとき半群 {e^{−t(H_{0}+V)}}, {e^{−t(H_{0}^{r}+V)}} は L^{p} (1 ≤ p < ∞) 及び C_{∞} (無限遠方でゼロとなる連続関数の空間) 上の強連続縮小半群となる．一般論から Trotter の積公式が L^{p} での強収束の意味で成り立つ:

lim_{n→∞}(e^{−tV/2n}e^{−tH_{0}/n}e^{−tV/2n})^{n} = lim_{n→∞}(e^{−tV/n}e^{−tH_{0}/n})^{n}
= lim_{n→∞}(e^{−tH_{0}/2n}e^{−tV/n}e^{−tH_{0}/2n})^{n} = e^{−t(H_{0}+V)},

lim_{n→∞}(e^{−tV/2n}e^{−tH_{0}^{r}/n}e^{−tV/2n})^{n} = lim_{n→∞}(e^{−tV/n}e^{−tH_{0}^{r}/n})^{n}
= lim_{n→∞}(e^{−tH_{0}^{r}/2n}e^{−tV/n}e^{−tH_{0}^{r}/2n})^{n} = e^{−t(H_{0}^{r}+V)}.

ところが V がさらに適当に良い条件を満たすとき (例えば V (x) が |x| の多項式ならば OK である), この収束は L^{p} の作用素ノルムの意味で収束する．この V の条件, 及び収束の早さを調べた．

竹田雅好は対称マルコフ仮定の滞在時間について，また上木直昌はランダムな磁場をもつ Schödinger 作用素について，それぞれ研究をおこなった．詳細は確率解析シンポの解説を参照のこと．

(2) 偏微分方程式グループこのグループは西田孝明，岩崎敷久，大鍛治隆司で組織されている．西田孝明は非線形偏微分方程式と精度保証つき数値計算について研究を行なった．本

研究の期間，主に流体方程式系の解空間の構造を解析するための計算機援用証明法の研究開発を進めた．流体問題で典型的な，逆向きに回転する同心円筒間を満たす流体運動（ Taylor 問題）あるいは，水平な容器に入れられた液体を下から一様に加熱する時の流体の熱対流（ Rayleigh-Bénard, Bénard-Marangoni 問題）の解は，物理パラメーターが変化すると，平衡解から定常分岐・ Hopf 分岐によって，定常パターンの形成あるいは周期的振動現象を呈し，更に chaotic な挙動・乱流へと多様な振る舞いをする事が観察されているが，その解析は数学理論としては確立されていない．数学理論の基礎を成す分岐理論は，ある程度定式化されており，それが適用可能な場合には仮定された条件を検証すれば良い．しかしながら一般の分岐現象に対してその条件を検証する事は，現在の解析では不可能である．何故なら構成されていない解のまわりでの線形化作用素のスペクトル理論が，仮定されているからである．ここを解析するために可能性のあるのが計算機援用証明法であり，この方向で研究を進めてきた．

その始めに，平衡解のまわりでの線形化方程式が常微分方程式系の境界値問題としての固有値問題に帰着される場合がある． 例えば上記 Taylor 問題， Rayleigh-Bénard 問題， Bénard-Marangoni 問題等の平衡解からの分岐がそうである．この場合に，スペクトル理論を構成する解析的枠組を研究し提出した．即ち，パラメーターに依存したスペクトルの動きを，計算機の援用によって証明する方法である．これと作用素のセクトリアル性あるいは解析的半群の生成作用素である事とを用いれば分岐理論の適用が可能になる．この方向で行った研究発表が， [16], [23] である．

i) 自由表面を持つ熱対流問題

重力下で水平な帯状領域を満たす非圧縮性粘性流体が下から一様に加熱され，上部は自由表面である時の Boussinesq 方程式による熱対流問題を考察した．平衡解（熱伝導解）の安定性を調べ， Rayleigh 数あるいは Marangoni 数の変化に応じた不安定性を証明した．このためには平衡解の周りでの線形化方程式系のスペクトルを調べれば良いが，線形化方程式系が常微分方程式系に帰着されるため，その固有値・固有関数を四次精度の Taylor 差分法及びニュートン法を用いて計算機によって数値的に求め，その数値の小さい近傍に真の固有値・固有関数が存在する事を証明する方法によって行った． これにより Rayleigh 数， Marangoni 数の大きな変化にも応じた固有値の動きを追跡する事が出来た．殊に，固有値が複素数平面の虚軸を左半平面から右半平面へ横切る時のパラメーターの値を特定する事を，その精度保証によって行った．

これらを用いて定常分岐が起っていることの証明が出来る． 更に Hopf 分岐が起っている事の証明を行いつつあるが，自由表面問題であるために非線形性が高く，既知の分岐理論の改良が必要である．

ii) 圧縮性流体の熱対流問題

Boussinesq 近似が使えない一般の圧縮性粘性流体が水平な平面の間を満たす時の熱対流問題の考察を始めた．圧縮性のために平衡解，従ってその周りでの線形化方程式系も複雑になり解析的理論は極めて限られていた． Rayleigh 数が小さい時の線形安定性及び線形作用素のセクトリアル性が示せた．更に固有値・固有関数の計算を行い，不安定性を起すパラメーターの値の特定を行うと共に，平面の間隔が小さくなった極限での Boussinesq 近似へのその漸近性等を得た．分岐が起っていることを証明するには，質量保存を記述する方程式の非線形性が高く，分岐理論の拡張が必要である．

一般に大域的に分岐曲線を追跡する，即ち，パラメーターの大きな変化に対応した解の構成を行う場合の様に線形化作用素が偏微分方程式系になる場合は，これから研究すべき大きな課題であり，その方向の第一歩が研究発表 [5], [7] である．そこでは熱対流問題のうち簡単な，水平で平行な平面上で Stress free の境界条件を持つ Boussinesq 方程式の場合に，解空間の大域的な分岐構造の解明をめざして，いかなる解析的基礎理論及び計算機援用証明法が必要かを研究し始め，パラメーターの値に対応した解の存在を保証する判定法を提出した．

岩崎敷久は双曲型方程式の解の特異性の伝播についての研究を行なった．

大鍛治隆司の研究内容は大きく 2 つの部分からなる．一つは偏微分方程式の解の一意接続性についての研究であり，もう一つは偏微分方程式の解の特異性の伝播の研究である．

まず第一の研究について述べる．高多重特性集合を持つ楕円型方程式に対する解の一意接続性の研究は Watanabe， Plis 等によって特性集合の多重度が一定の場合，その多重度が 3 以下の時には解の一意接続性が成り立つが 6 以上のときには一般には成り立たないことが知られていた．研究分担者大鍛治はその多重度が 4 の場合を考察し重要な結果を得た．それによれば Plis 型作用素に対しては階数が 4 のとき解の一意接続性が成り立つことが分かる．従って Plis 型作用素についての研究に限れば階数が 5 のときのみが残された未解決問題である．この結果の証明の本質は超局所解析を用いて Calreman 評価を示すことにある．この方法は多重度が 3 の場合にも適用でき，それらを総合することによって従来の証明では解明できなかった，「なぜ多重度が上がると Calreman 評価を得るのが困難になるか？」という疑問に対する答えをこの証明は明らかにしている．また解の強一意接続性の問題についても考察し多重度一定でその多重度が 3 までの実係数楕円型作用素に対してなりたつことが分かった．

次にポテンシャルV (x)が超局面に特異性を持つR^{n} 上のSchrödinger 方程式−△+V (x) の解の一意接続性について考察した．この問題は Schrödinger 方程式の正の固有値の非存在と深く関わり多くの研究がある．中でも Jerison と Kenig によれば V ∈ L_{loc}^{n/2}(R^{n}) であれば解の一意接続性が成り立つことが知られている．研究分担者大鍛治は V が単位球面で特異な場合にイタリアの研究者 De Carli と共同研究を行った．その結果ポテンシャルが V ∈ L_{loc}^{n/2}(R^{n}, (|x| − 1)^{n−1}dx) を満たしかつ動径方向のみの関数である場合に単位球面からの解の一意接続性が成り立つことを示した．この証明のためラプラシアンに対する重み付き L^{p} − L^{q} 評価を示した．

次に，偏微分方程式の解の特性の伝播の研究を行った．特に時間依存型 Schrödinger 方程式の初期値問題に対する解の特異性の伝播および解の平滑化効果について考察した．その結果，波束や FBI 変換等における対称構造に着目した従来とは異なる新しい証明方法を考案し，それを用いてより詳細な解の特異性の構造の研究を行った．

(3) 位相幾何学，複素解析グループこのグループは河野明，谷口雅彦から組織されている．河野明はループ群やゲージ群のホモロジー群やホモトピー群の構造の研究を行なった．

谷口雅彦はタイヒミュラー空間の研究を行なった．無限次元タイヒミュラー空間の研究は Bers, Gardiner, Kra 等によりまず有限次元の場合との類似性が詳しく調べられたが，いまや研究の中心課題は無限次元の場合の独自性へと移りつつある．たとえば普遍タイヒミュラー空間の位相としては Bers 位相が最も一般的であるが，異なる位相を導入する試みも盛んで， Astala, Zinsmeister, Penner, Nag 等によりいくつかの方向が提案されている．そのような試みの一つとして，文献 [38] では，より領域論的な位相を導入し，それが自然な幾何学的特徴をもつことを示した．特に単連結な不変成分をもつクライン群にたいし，その不変成分の幾何学的収束を， Bloch ノルムにより特徴付けた．また幾何学的連続性のための条件も与えている．今後の応用が期待される．

[39] では，その背景として，クライン群の幾何学的収束と，不連続成分の Caratheodory 収束との関係を考察し，特に，擬フックス群から境界の全退化群への強収束性の別証明を与えた．

またタイヒミュラー理論はクライン群を通して三次元多様体論と深く結びついている．著書 [I] ではクライン群の基本的性質及び，とくに有限生成なものについての最新の研究の状況を総合的に解説したクライン群の理論を，双曲幾何学や複素力学系との関連を視野において包括的に解説した．また，いくつかの新しい結果や知られている定理の改良なども加えてある．

最後にタイヒミュラー空間論およびその根底にある擬等角変形の手法は， Douady, Hubbard, Milnor, Thurston, Sullivan, McMullen 等を始めとする急激な複素力学系研究の深化のなかで，最も基本的な方法論の一つとして重要な位置をしめるに至っている．そのような最新の複素力学系研究の成果をふまえ，文献 [4] では整函数の力学系の変形理論を，タイヒミュラー空間論の立場から構築した．また，有理函数では現れない， wandering domains や Baker domains の基本的性質を，このような視点から明らかにした．さらに [37] では表題にある整函数について，その対数的持ち上げの分岐を考察し，そのファトウ成分のタイヒミュラー空間を明らかにした．

(4) 関数解析グループこのグループは平井武，野村隆昭，岩塚明から組織されている．平井武は無限次元の群および環の位相的・代数的構造の研究を行う一方，これらの

群や環の表現を研究している．とくに，多様体 M の微分同相全体のなす群およびその各種の部分群について重点的に研究した． さらに，（上の群は M が non-compact のとき，無限次元 Lie 群の帰納的極限になっているので）一般論として，位相群の帰納極限における位相群としての構造を研究し，そのユニタリ表現の構成についても論じた．

論文 [10], [7] では，微分同相群の自然表現の無限回テンソル積と無限対称群及びそのヤング型部分群の表現のなす dual pair 関係（Weyl 型対応とも言える）を研究している． 論文 [9] では， M が non-compact であるときの微分同相群の位相的構造を研究している． 論文 [8] では，微分同相群と無限置換群の表現の相互の関係について，解説，論述している． 論文 [11] では，位相群の帰納的極限の群位相について基本的な問題を論じている．さらに進んで，帰納的極限の群のユニタリ表現の構成について論じている．特別の場合として，微分同相群の位相群構造についても論じた．

野村隆昭は，コンパクト・リー群 U の重複度フリーな作用に関連した Berezin 変換の研究を行なった．まず一般論では， U-不変な函数のなす閉部分空間への作用を明らかにし，それが階数 1 の直交射影作用素になることを示した．そして，この Berezin 変換のスペクトル分解の台についても研究し，ある種のテンソル積表現の既約分解と密接に関連することを解明した．次に２つのケース・スタディを藤田悦朗との共同の研究で行なった．第１のケース・スタディである U(n) の C^{n} への自然な作用の場合は， Berezin 変換のスペクトル分解を球面調和函数 (spherical harmonics) を用いて完全に決定した．固有値はすべて２項係数の簡単な比で表されるという綺麗な結果となっている．第２のケーススタディでは， U(2) × U(2) が行列空間 Mat(2, C) に左右から働く場合を研究し，その作用に関連する Berezin 変換のスペクトル分解を記述した．その固有値は， Jacobi 多項式の離散変数版である Hahn 多項式と，一般化超幾何函数を特別な場合として含む Meijer の G-函数を用いて明示的に記述されている． 投稿を予定している preprint では，局所コンパクト空間における抽象 Berezin 変換を導入し，そこに働く局所コンパクト群のテンソル積ユニタリ表現との，上述した関係を一般論的に明らかにした．この定理の直接の応用として，特にコンパクト・リー群 K の多項式表現に関連した Berezin 変換の K-不変な函数のなす空間への作用が，やはり階数 1 の直交射影作用素のなることがわかった．これは最初に述べた結果の，作用に関する仮定を除いた場合への一般化になっている．

岩塚明の研究内容は次の 3 つに大別される．

i) スペクトルがバンド構造をもつようなモデルに対して，電場を摂動として加えたとき，スペクトルの間隙に離散的固有値が現れる．それのバンドの端の近くでの漸近分布を調べた．従来は定数磁場または周期的磁場に対してしか結果がなかった．（白井慎一氏との共同研究）

ii) 電磁場をもつシュレディンガー作用素の状態密度関数について，全空間の作用素から計算された量と，有界領域に制限したものから領域を全空間に拡げたときの固有状態の個数の単位体積あたりの平均値の極限としてえられる量とが，領域の全空間への拡げかたにかなり一般的な条件を仮定しても一致することを示した．また，有界領域に制限したときに課する境界条件がディリクレ条件でもノイマン条件でも，同じであることを示した．（土居伸一氏，峯拓矢氏との共同研究）

iii) ２次元のパウリ作用素は，磁場が定数磁場より強いときには，スペクトルの下端 0 が無限多重度をもつ孤立固有値であることが知られている．

この作用素に無限遠で 0 に収束する電場のポテンシャルを摂動として加えたときに， 0 の周りに現れる離散固有値がどのような漸近分布するかが近年注目されてきている．しかし今までに得られた結果は， Lieb–Thirring の不等式と呼ばれるものしかなかった．最大最小原理を応用することにより，古典的なワイル公式に従わない漸近公式が得られることを，まず論文 [17] において，磁場が回転対称な場合に示し，次いで論文 [18] において，磁場が回転対称でない場合に拡張した．

さらに，論文 [19] において，無限遠で 0 に収束するような電場と磁場をもつ場合にも漸近分布公式が得られることを示した．すなわち，２次元のパウリ作用素に， 0 より下に現れる離散固有値の漸近公式は，磁場と電場の干渉の仕方に応じていくつかに分かれることを始めて明らかにした．（田村英男氏との共同研究）

確率解析をめぐる話題

確率解析に関連する話題は，多くの研究者の関心を呼んでいる．そこでとくに顕著な成果を上げている研究者を招いて，以下の様な講演会を開催し，研究交流の場とした．

\begin{matrix}日時 & ： & １９９７年２月１３日（木）１０：００ ∼ ２月１４日（金）１７：００ \\ 場所 & ： & 京都大学理学部数学教室３５２号室 \\ 課題 & ： & 確率解析をめぐる話題 \end{matrix}

講演者は以下の通り．

１９９７年２月１３日（木）

10:00-12:00 桑江一洋 (佐賀大理工) Analysis on semi-Dirichlet forms and its local space

13:30-15:00 会田茂樹 (東北大情報) Uniform positivity improving property, Sobolev inequality and Spectral gaps (I)

15:15-16:15 桑江一洋 (佐賀大理工) Beurling-Deny formula for quasi-regular Dirichlet forms

１９９７年２月１４日（金）

10:00-12:00 岩田耕一郎 (北海道大理) 等角変換のもとで不変な確率場と保型形式–楕円曲線上での toy model– (I)

13:30-14:30 岩田耕一郎 (北海道大理) 等角変換のもとで不変な確率場と保型形式–楕円曲線上での toy model– (II)

15:30-17:00 会田茂樹 (東北大情報) Uniform positivity improving property, Sobolev inequality and Spectral gaps (II)

概説確率解析の近年の興味の中心の一つに，無限次元空間における解析があげられる．その際の有効な手法に Dirichlet 形式を用いる方法がある． Dirichlet 形式は関数解析的な道具だてと，ポテンシャル論的なアプローチの融合において，特に局所コンパクトな空間において発展してきた．この枠組を無限次元空間などの局所コンパクトを仮定しない空間に一般化することはここ数年で急速に整備が進んできた．以下での桑江の研究はこうした方向での延長線上にあり，局所化空間を定義して Beuling-Deny 分解を可分距離空間， σ-有限測度の枠組で示し，エネルギー測度に対する calculus も一般化した．これからも Dirichlet 形式の理論は無限次元解析で有効な手段であり，各種の応用的な問題に適応していくことがこれからの課題である．

そうした中で，会田はリーマン多様体上での基本解，対数 Sobolev 不等式，スペクトルギャップなどの関係を論じている．特にこの場合でも Dirichlet 形式は議論の基礎を与えるものとして重要である．会田はさらにループ空間における spectral gap への応用を論じており， UPIP というエルゴード性よりやや強い概念を導入し，ある種の一様可積分性があれば spectral gap が示せることを示唆している．問題はまだ完全には解決されている訳ではないが，解明がかなり進んでおり，いっそうの発展が望まれる．

無限次元解析において，場の量子論は応用を考える上で重要な契機を与え，多くの数学の問題を提供している．岩田は conformal field theory と関係して保型形式の確率場による積分表現について論じている．

以上のように確率解析は数理物理の問題とも関連し，有効な手段を提供している．今後も，基礎，応用ともにあいまって発展していくことが望まれている．

以下に各講演者によるそれぞれの解説を載せる．

確率解析とその周辺

確率解析は確率論において現在活発に研究が進められている分野である．また解析における偏微分方程式（楕円型，放物型等），作用素論（Schorödinger 作用素のスペクトル等），幾何学においても，多様体上での拡散過程の構成や，基本解の解析など他の分野とも関連する事が多く，双方からの関心によって互に刺激され発展してきている．そこで，関係者の研究交流のために次の様な研究集会を開催した．

\begin{matrix}日時 & ： & １９９７年９月２４日（水）１３：３０ ∼ ９月２６日（金）１４：００ \\ 場所 & ： & 姫路工業大学書写キャンパス４号館４階４４０１講義室 \\ 課題 & ： & 確率解析とその周辺 \end{matrix}

また講演者は以下の通りである．

９月２４日（水）１３：３０ ∼ １４：３０重川一郎 (京大理)

半群の比較定理, 交換定理と対数 Sobolev 不等式１４：５０ ∼ １５：５０日野正訓 (京大理)

Theory of generalized Dirichlet forms (W. Stannat の論文の紹介) (１回目) １６：１０ ∼ １７：１０会田茂樹 (東北大情報)

熱核の下からの評価とスペクトルギャップ９月２５日（木）９：５０ ∼ １０：５０日野正訓 (京大理)

Theory of generalized Dirichlet forms (W. Stannat の論文の紹介) (２回目) １１：１０ ∼ １２：１０桑江一洋 (佐賀大理工)

Reflected Dirichlet space について１３：３０ ∼ １４：３０小松孝, 竹内敦司 (大阪市大理)

飛躍型ＳＤＥの解の確率密度関数の存在条件について１４：５０ ∼ １５：５０竹田雅好 (大阪大基工)

On exponential tails of total occupation times for symmetric Markov chains １６：１０ ∼ １７：１０金子宏 (東京理大理)

On a class of Dirichlet forms with degeneracy on reflecting boundary １７：３０ ∼ １８：３０ Short Communication

道工勇氏（埼玉大学教育）ある確率積分公式について

大倉弘之氏（京工繊大） Subordination と recurrence
吉田伸生氏（京大理） Log-Sobolev inequalities for ϕ^{4}-lattice fields

川端敏裕氏（阪大基工） On a singular control problem for a time changed distorted Brownian motion ９月２６日（金）９：３０ ∼ １０：３０正宗淳 (東北大情報)

Essential self adjointness of Laplacian on Riemannian manifolds with fractal boundary

１０：５０ ∼ １１：５０吉田稔 (電通大)

超関数値確率変数としての Wick power について１３：００ ∼ １４：００上木直昌 (姫路工大理)

Lifschitz tails in Gaussian random magnetic fields

概説確率解析はいろいろな局面から研究されている．基礎的理論として Dirichlet 形式や確率微分方程式，マルチンゲール理論などがあげられる． Dirichlet 形式を用いる際，確率過程との対応を考える上でもっとも基本的な問題は，対応する確率過程の存在である．これに関しては福島正俊の局所コンパクト空間上の regular Dirichlet form の場合が良く知られているが，これは最近かなり一般化されてきた．特に Stannat による非対称や，時間依存等を含む generalized Dirichlet form の枠組が現在知られているもっとも広いクラスである．そこで展開された一般論を日野が紹介した．今までの理論をこの枠組に広げること，また応用的な問題に適応していくことはこれからの課題である．また Dirichlet 形式に関連して桑江や金子は，反射過程に対応した Dirichlet form の研究を行なっている．竹田では滞在時間の漸近理論が Dirichlet form の枠組で論じられ，いずれも Dirichlet form の有用性を示している．重川は半群の比較定理を論じているが，基礎の半群は Markov 半群で Dirichlet form が対応し，その枠組みで議論を展開している．扱っているのはベクトル値の関数に作用する半群で微分形式などの幾何的な対象に対しての応用を目指している．また一般には次元に依らない議論なので無限次元でも有用である．

確率微分方程式も重要な確率解析のテーマであるが，小松，竹内では jump 型の確率微分方程式が論じられている．

リーマン多様体上の Brown 運動については，熱方程式の基本解が推移確率を与えるので，確率論，微分方程式双方の観点から調べられてきている．基本解の評価や， Laplacian の性質など non-compact な多様体や，境界がある場合など，まだまだ解明されなければならないことは多い．また，多様体上の拡散過程は道の空間という無限次元の空間の上に実現されている訳であるから，無限次元の解析をやる上でもこうした研究はきわめて基本的である．会田や正宗ではそうした問題が論じられている．

上木や吉田では量子物理に関連した問題が論じられているが，こうした数理物理への応用は今後とも発展させていく必要があるとともに，数学の基礎理論を展開していく上でも，重要である．特に場の量子論は無限次元の枠組みで論じなければならないので無限次元解析にとっては重要な対象である．

以下に，各講演者による講演内容を中心とする解説を集録する．