マリアバン解析について

− Brown 運動の汎関数を解析する

\begin{matrix}重川一郎^{∗} ^{†} \\ （京都大学大学院理学研究科） \end{matrix}

目次

1 序 2

2 抽象 Wiener 空間 2 Gauss 測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 抽象 Wiener 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 古典的 Wiener 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 次の Wiener 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Cameron-Martin の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Malliavin 微分 6 H-微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Dirichlet 形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ornstein-Uhlenbeck 半群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Ornstein-Uhlenbeck 作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 対数 Sobolev 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 抽象 Wiener 空間上の Sobolev 空間 10 Sobolev 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 作用素の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 共役作用素 D^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Clark-Ocone-Hausmann の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 対数 Sobolev 不等式の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 一般 Wiener 汎関数と分布の滑らかさ 15

∗2003 年 12 月 19 日 (金)〜12 月 20(土) 中央大学 ENCOUNTER with MATHEMATICS 講演原稿 †e-mail: ichiro@math.kyoto-u.ac.jp, URL: http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/

一般 Wiener 汎関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Malliavin 共分散行列と部分積分の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 密度関数の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Wiener 汎関数の漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 確率微分方程式への応用 19 確率微分方程式と熱方程式の基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 確率微分方程式の解の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Malliavin 共分散行列の非退化性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Hörmander の準楕円性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 基本解の漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 序

ここでは， Malliavin 解析について述べる． Malliavin 解析は Brown 運動の汎関数を解析するための基本的は手段を提供している．それはまた， Wiener 空間上の微積分といってもよい．

この理論は 70 年代後半 P. Malliavin の論文 [18] から始まった．それ以前に伊藤清による確率積分の理論などの確率解析の基礎理論が確立されていた訳である． Malliavin 解析はその正統な発展というべきで，出発点は Hörmander 型の 2 階の放物型微分作用素の hypoellipticity の問題への確率論的アプローチを与えるものであったが，それだけにとどまらず，それ以後無限次元の確率解析の標準理論として多方面に発展してきた．本稿ではその中の基本事項を概観していく．

2 抽象 Wiener 空間

Malliavin 解析は Brown 運動の汎関数を解析するために生み出されたもので，それは Wiener 空間の上で定式化される． Brown 運動は ℝ^{d} の道の空間に測度を定める．その測度を Wiener 測度と呼ぶが，それは ℝ^{d} の道の空間

C_{0}([0, T]; ℝ^{d}) := {w: [0, T] → ℝ^{d}; w は連続で w(0) = 0}

上に定まった測度である．これを古典的 Wiener 空間と呼ぶことにするが， Malliavin 解析は現在はより一般に抽象 Wiener 空間の枠組みで定式化されるのが普通であるので，そちらで議論していくことにする．

\underline{Gauss 測度}

まず抽象 Wiener 空間の定義から始めなけらばならないが，その前に Gauss 分布についてざっと復習しておく． Gauss 分布（または正規分布）は ℝ^{n} 上の確率分布で，分布密度関数が

(2π)^{−n/2}(det V)^{−1} exp{∑_{i,j=1}^{n}(x_{i} − m_{i})(V^{−1})_{ij}(x_{j} − m_{j})}

で与えられるものであった．ここで， V = (V_{ij})_{i,j=1,...,n} は正値対称行列で分散行列と呼ばれ， m = (m_{i})_{i=1,...,n} は ℝ^{n} の元で平均ベクトルと呼ばれる．この分布を持つ確率変数 X = (X_{1}, …, X_{n}) をとれば， E[ ] で積分（あるいは期待値）を表わすとき

E[X_{i}] = m_{i}, E[(X_{i} − m_{i})(X_{j} − m_{j})] = V_{ij}

が成立している． V は非退化を仮定したが，退化した場合も起こりうる．このときは分布が絶対連続でないので，特性関数をつかって，

E[exp\{ξ_{1}X_{1} + ⋯ + ξ_{n}X_{n}\}] = exp\{i(ξ, m) − \frac{1}{2}(V ξ, ξ)\} ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ ℝ^{n}

と特徴付けるのが便利である． ( , ) は ℝ^{n} の内積を表す．

一般の集合 Λ をパラメータとして持つ ℝ-値確率変数系 {X_{λ}}_{λ∈Λ} が与えられたとしよう．任意の有限系 (X_{λ_{1}}, …, X_{λ_{n}}) が Gauss 分布を持つとき，この確率変数系は Gauus 系であるという．

さて， μ を Banach 空間 B 上の測度とする．このとき μ が Gauss 測度であるとは， μ は Borel 確率測度であり，確率変数系 {⟨ · , φ⟩; φ ∈ B^{∗}} がガウス系をなすことであると定義する．ここに B^{∗} は B の双対空間であり， ⟨ , ⟩ で B と B^{∗} の自然な双一次形式を表わした．以後 B は可分である事を仮定する．従って Borel 集合族は確率変数系 {⟨ · , φ⟩; φ ∈ B^{∗}} で生成されるものと一致している．平均ベクトル m ∈ B，共分散作用素 V : B^{∗} × B^{∗} → ℝ が次で定まる．

⟨m, φ⟩ = ∫_{B}⟨x, φ⟩μ(dx)
V (φ, ψ) = ∫_{B}⟨x − m, φ⟩⟨x − m, ψ⟩μ(dx).

Gauss 測度に対する次のノルムの指数可積分性に関する Fernique の定理は有用である．

定理 2.1 ガウス測度 μ に関し，定数 α が存在し

∫_{B} e^{α∥x∥_{B}^{2}}μ(dx) < ∞.  (2.1)

\underline{抽象 Wiener 空間}

さて以上の準備の下で抽象 Wiener 空間の定義を与えよう．最初にこの定義を与えたのは L. Gross [10] である．定義 2.2 B を可分 Banach 空間， H を B に連続かつ稠密に埋め込まれた可分 Hilbert 空間， μ を B 上の Gauss 測度で，関係式

∫_{B} exp\{\sqrt{−1}⟨x, φ⟩\}dμ(x) = exp\{−\frac{1}{2}|φ|_{H^{∗}}^{2}\}, ∀φ ∈ B^{∗} ⊆ H^{∗}  (2.2)

が満たされているとき，三つ組(B, H, μ)を抽象Wiener空間と呼ぶ．また H は Cameron-Martin 空間と呼ばれている．

今の場合平均ベクトルは 0 であり，共分散が (φ, ψ)_{H^{∗}} と Hilbert 空間の内積として表わされている．実は可分 Banach 空間上の Gauss 測度に対してはいつでも上の事が成り立っている事が知られている．即ち，上の関係式(2.2) が成立するような Hilbert 空間 H を見つけてくることができるのである．

抽象的な定義を与えたが，例をいくつか挙げておく．

例 2.1 ℝ^{∞} を ℝ の無限直積 ℝ × ℝ × ⋯ とする． ν を ℝ 上の平均 0，分散 1 の Gauss 分布とする．即ち

ν(dx) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}dx

で定める．その無限直積 ν^{∞} = ν × ν × ⋯ は ℝ^{∞} 上の確率測度となる． ℝ^{∞} は Banach 空間にはならないので，このままでは先の枠組みに入らないが，抽象 Wiener 空間は Fréchet 空間でも定義できるし， ℝ^{∞} の代わりに Hilbert 空間の構造を持つ部分空間に制限することも可能である．余りこだわらないで， (ℝ^{∞}, ν^{∞}) を抽象 Wiener 空間の直感的にも分かりやすい例として，以後の説明に用いることにする．また無限次元ではあるが，自然な座標 (x_{i}) を考えることができるので，この座標をしばしば用いる． (x_{i}) は Gauss 系で，各 x_{i} は平均 0，分散 1 の正規分布（標準正規分布と呼ぶ）を持っている． ℝ^{∞} の双対空間は有限個を除いて 0 となる数列である．これを台がコンパクトという意味で c_{0} とかくことにする． φ ∈ c_{0} に対し

⟨x, φ⟩ = ∑_{i=1}^{∞} x_{i}φ_{i}

は平均 0，分散 ∑_{i} φ_{i}^{2} の Gauss 分布に従うので，この場合 H^{∗} に相当するのは ℓ^{2} であることが分かる．

ℝ^{∞} は無限次元であるが，もちろん有限次元でも抽象 Wiener 空間の枠組みに入る．

例 2.2 ℝ^{n} で平均が 0 で，共分散が単位行列の定数倍である次の測度

ν_{v}^{n}(dx) = (2πt)^{−n/2} exp\{−\frac{|x|^{2}}{2v} \}dx_{1} ⋯ dx_{n}  (2.3)

を考える．これも抽象 Wiener 空間で，この場合 H に相当するのは ℝ^{n} で元の空間と同じであるが，ただ，内積は共分散から来ているので， |x|_{H}^{2} = \frac{1}{v}(x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}) で与えられる．従ってまた |φ|_{H^{∗}}^{2} = v(φ_{1}^{2} + ⋯ + φ_{n}^{2}) である． (B_{t}) を Brown 運動とすれば (B_{1/n}, B_{2/n} − B_{1/n}, …, B_{n/n} − B_{(n−1)/n}) の分布は ν_{1/n}^{n} でこの枠組みに入っている．この手続きは Brown 運動を有限次元で近似する方法を与えてもいる． \underline{古典的 Wiener 空間}

言うまでもなく Brown 運動は最も重要な例である．

例 2.3 古典的な Wiener 空間は次のようなものであった．道の空間を

C_{0}([0, 1]; ℝ^{d}) := {w: [0, 1] → ℝ^{d}; w は連続で w(0) = 0}

と定める． C_{0}([0, 1]; ℝ^{d}) の元は w で表わすことにする． Wiener 測度 μ はブラウン運動が定める C_{0}([0, 1]; ℝ^{d}) 上の分布である．この空間は抽象 Wiener 空間の典型例で，この場合の Cameron-Martin 空間 H は

H := {w ∈ B; w は絶対連続で，その Radon–Nikodým 導関数は 2 乗可積分 }

である．内積は

(h, k)_{H} := ∫_{0}^{1} ḣ(t)k̇(t)dt

で与えられる． H がなぜこうなるかは，後でおおよその説明を加える．

\underline{1 次の Wiener 積分}

φ ∈ B^{∗} は定理 2.1 （Fernique の定理）から 2 乗可積分である．すなわち B^{∗} の元は L^{2}(μ) の元を定める．これをI_{1} とあらわす． I_{1} : B^{∗} ⟶ L^{2}(μ). 関係式(2.2)は |I_{1}(φ)|_{L^{2}(μ)} = |φ|_{H^{∗}} を意味している．従って I_{1} は一意的に H^{∗} に連続に拡張できて， L^{2}(μ) の中への等距離写像となる．これを 1 次の Wiener 積分と呼び， I_{1} の像を ℋ_{1} とかく．結局 I_{1} は次のような写像とみなすことができる．

I_{1} : H^{∗} ⟶ ℋ_{1} ⊂ L^{2}(μ).

また H^{∗} ≅ H であるから，以下 h ∈ H に対応する H^{∗} の元を ĥ と表わすことにする．

Cameron-Martin の定理

H が重要な位置を占めるのは，次のずらしに関する絶対連続性の結果による．この定理を証明したのが R. H. Cameron と W. T. Martin であるので， H を Cameron-Martin 空間と呼ぶ． x ∈ B に対し， x 方向にずらした測度を μ( · − x) とかくことにする．

定理 2.3 h だけずらした測度 μ( · − h) が μ と互いに絶対連続になるための必要十分条件は h ∈ H であり， Radon–Nikodým 導関数は次で与えられる：

\frac{dμ( · − h)}{dμ}(x) = exp\{−\frac{1}{2}|h|_{H}^{2} + I_{1}(ĥ)(x)\}, x ∈ B.  (2.4)

また H の元以外に対するずらしの場合は，互いに特異な測度となる．例 2.2 を考えてみよう．このとき

ν_{v}^{n}(dx − h) = (2πv)^{−n/2} exp\{−\frac{|x − h|^{2}}{2v} \}dx_{1} ⋯ dx_{n}

= (2πv)^{−n/2} exp\{−\frac{|h|^{2}}{2v} + \frac{(x, h)}{v}\} exp\{−\frac{|x|^{2}}{2v} \}dx_{1} ⋯ dx_{n}

= exp\{−\frac{|h|^{2}}{2v} + \frac{(x, h)}{v}\}ν_{t}^{n}(dx).

今の場合 ĥ = \frac{h}{v} だから， I_{1}(ĥ)(x) = (ĥ, x) であることが分かる．

次に上のことを使って古典的 Wiener 空間の場合に H がどうなるかを見てみよう． Brown 運動の近似 (B_{1/n}, B_{2/n} −B_{1/n}, …, B_{n/n} −B_{(n−1)1/n}) を対応させれば I_{1}(ĥ) = ∑_{j} ĥ_{j}(B_{j/n} − B_{(j−1)/n}) が分かる．ここで n → ∞ とすれば， Wiener 空間の場合は I_{1} は確率積分で表わされることが分かる．実際， ĥ_{j} = ĥ((j − 1)/n) で関数の分点として ĥ_{j} を決めていけば

I_{1}(ĥ) = ∫_{0}^{1} ĥ(t)dB_{t}

が成立している．また

|ĥ|_{H^{∗}} = lim_{n→∞} ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{n}ĥ((j − 1)/n)^{2} = ∫_{0}^{1} ĥ_{t}^{2} dt

が成り立つ．

⟨ĥ, h⟩ = lim_{n→∞} ∑_{j} ĥ((j − 1)/n){h(j/n) − h((j − 1)/n)} = ∫_{0}^{1} ĥ(t)ḣ(t)dt

が対応すべきだから， ḣ ∈ L^{2}([0, 1]) が H を定める．従って微分が L^{2} というのが，古典的 Wiener 空間の場合の Cameron-Martin 空間である． φ ∈ B^{∗} ⊂ H^{∗} のときは， φ は符号付き測度で， ĥ(t) = φ((t, 1]) を対応させることになる．

3 Malliavin 微分

Malliavin 解析の中心概念は微分である．前節で Cameron-Martin 空間 H を導入したが， Malliavin 解析における微分は一言で言えば H 方向への方向微分である． Wiener 測度と調和した微積分理論を目指すとすれば，絶対連続な方向だけの微分を考えることは自然なことであろう．しかしこれは後知恵であって，そこに着目したところに Malliavin の先見性がある．

\underline{H-微分}

(B, H, μ) を抽象 Wiener 空間とする． F を B 上の関数として微分を定義する． F は一般に可分 Hilbert 空間 K に値を取るものを考える． ℒ (H; K) で H から K への有界線型写像全体の空間を表わすことにし，さらに ℒ_{(2)}(H; K) を Hilbert-Schmidt クラスの作用素全体とする．定義 3.1 関数 F: B → K が，点 x ∈ B において H-微分可能であることを，ある T ∈ ℒ_{(2)}(H; K) が存在し

\frac{d}{dt}F (x + th)|_{t=0} = T (h), ∀h ∈ H  (3.1)

が成立することと定義する． T を F の点 x での H-微分と呼び， DF (x) と記す．

DF が ℒ_{(2)}(H; K)-値関数となるが， ℒ_{(2)}(H; K) は Hilbert 空間であるので，再び微分可能性を定義 3.1 に沿って定義することができ，この意味で DF が H-微分可能であれば F は 2 階微分可能であるといい， D^{2}F (x) と記す． D^{2}F (x) は ℒ_{(2)}(H; ℒ_{(2)}(H; K)) の元であるが，これは H × H から K への 2 重線形写像で Hilbert-Schmidt クラスのもの全体（これを ℒ_{(2)}^{2}(H; K) と記す）と同型であるので，同一視する．従って D^{2}F (x) は ℒ_{(2)}^{2}(H; K)-値関数となり，以下これを繰り返せば，任意の階数の微分が定義できる． k 階微分は Hilbert-Schmidt クラスの k-重線形写像 ℒ_{(2)}^{k}(H; K) の元を定める．

微分可能な関数の例を挙げよう．次のようなクラスを導入する．関数 F: B → ℝ が ℱ C_{↑}^{∞}(B; ℝ) に属するとは，ある自然数 n に対して微分まで込めて多項式増大を持つ C^{∞} 関数 f: ℝ^{n} → ℝ と φ_{1}, φ_{2}, …, φ_{n} ∈ B^{∗} が存在し

F (x) = f(⟨x, φ_{1}⟩, ⟨x, φ_{2}⟩, …, ⟨x, φ_{n}⟩)  (3.2)

と表わされることである．これらの関数は明らかに H-微分可能であり，その H 微分は次で与えられる：

DF (x) = ∑_{j=1}^{n} ∂_{j}f(⟨x, φ_{1}⟩, ⟨x, φ_{2}⟩, …, ⟨x, φ_{n}⟩)ι^{∗}φ_{j}.  (3.3)

ここで ι^{∗}: B^{∗} → H^{∗} は埋め込み ι: H → B の双対写像である．

古典的な 1 次元 Wiener 空間の場合を考えてみよう． u ∈ [0, 1] とする． w ↦ w(u) は最も単純な Wiener 汎関数であるが， w(u) = ⟨w, δ_{u}⟩ だから H-微分可能で

Dw(u) = ι^{∗}δ_{u} = h_{u}

が成立する．ここで H の元 h_{u} は

h_{u}(t) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,u)}(s)ds = \{ \begin{matrix}t, & 0 ≤ t ≤ u, \\ u, & u < t ≤ 1, \end{matrix}  (3.4)

で定まる．

Dirichlet 形式

上の定義は各点での微分可能性であるが， F および DF を L^{p} ノルムで完備化して超関数的な意味での微分に拡張していくことができる．即ち Sobolev 空間を構成することが出来るわけである．単に完備化するだけであるが，可閉性をいう必要がある．あとで双対写像が具体的に計算できることを示すので，可閉性はそのことから従うが，ここでは Ornstein-Uhlenbeck 作用素を用いて Sobolev 空間を構成する．

H-微分を定義したので，それと関連して Dirichlet 形式 ℰ の定義を与えておく．それは H-微分を用いて次の形で定義される．

ℰ (F, G) = ∫_{B}(DF (x), DG(x))_{H^{∗}}dμ(x).  (3.5)

より正確にはまず ℱ C_{↑}^{∞}(B; ℝ) で定義してそれを完備化する．対応する生成作用素 L は Ornstein-Uhlenbeck 作用素と呼ばれる訳だが，ここでは半群の方から見ていくことにする．

ここで直観的な理解を助けるために今までのことを例 2.1 の (ℝ^{∞}, ν^{∞}) の場合にどうなっているかを見てみよう．この場合は f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) の有限変数の関数を考えることになる． Df = (∂_{1}f, ∂_{2}f, …) で単に微分をならべたものにすぎない． H^{∗} = ℓ^{2} であったから， Df(x) は ℓ^{2} の元と見なし， |Df|_{H^{∗}}^{2} = ∑_{j}(∂_{j}f)^{2} である．従って Dirichlet 形式 (3.5) は

ℰ (f, g) = ∫_{ℝ^{∞}} ∑_{j=1}^{∞} ∂_{j}f(x)∂_{j}g(x)ν(dx)

となる．

Ornstein-Uhlenbeck 半群まず Ornstein-Uhlenbeck 半群 {T_{t}} の具体的表現を与える．

T_{t}F (x) = ∫_{B} F (e^{−t}x + \sqrt{1 − e^{−2t}}y)μ(dy).  (3.6)

この半群は推移確率 p(t, x, dy) を

p(t, x, A) = ∫_{B} 1_{A}(e^{−t}x + \sqrt{1 − e^{−2t}}y)μ(dy)  (3.7)

で定めれば，

T_{t}F (x) = ∫_{B} F (y)p(t, x, dy)  (3.8)

と表すことも出来る．この推移確率に対する Markov 過程を Ornstein–Uhlenbeck 過程と呼ぶ． Ornstein–Uhlenbeck 過程は確率微分方程式の解としても実現でき， Gauss 系の拡散過程である．

Wiener 測度 μ はこの確率過程の不変測度になっている．すなわち

∫_{B} p_{t}(x, A)μ(dx) = μ(A), A ∈ ℬ(B).

さらに {T_{t}} は測度 μ の下で対称でもある．

以上のことに留意すれば， {T_{t}} は L^{p}(B, μ) （ただし 1 ≤ p < ∞）での強連続縮小半群を定めることが容易に分かる．すなわち L^{p}(B, μ) のノルム ∥ · ∥_{p} を

∥F ∥_{p} = {∫_{B} |F (x)|^{p}μ(dx)}^{1/p}  (3.9)

で定めれば

∥T_{t}F ∥_{p} ≤ ∥F ∥_{p},  (3.10)
lim_{t↓0} ∥T_{t}F − F ∥_{p} = 0  (3.11)

が成立する．この半群によって，対称 Markov 過程の一般論が使えることになる．さらに L^{p} の枠組での議論も可能になる． Malliavin 解析では掛け算などの演算を自由に行うために L^{p} での議論が重要になる．

Ornstein-Uhlenbeck 作用素

半群 {T_{t}} の生成作用素が Ornstein–Uhlenbeck 作用素である．従って(3.6) を微分して求めることが出来る．実際 F が(3.2) の形で与えられているときは

LF (x) = ∑_{i,j=1}^{n}(ι^{∗}φ_{i}, ι^{∗}φ_{j})_{H^{∗}}∂_{i}∂_{j}f − ∑_{i=1}^{n}⟨x, φ_{i}⟩∂_{i}f

となる．これは少し見にくいので，例 2.2 の場合で考えると，

Lf(x) = ∑_{i=1}^{∞}(∂_{i}∂_{i}f − x_{i}∂_{i}f)

となっている．ここで基本的な公式をまとめておく．

命題 3.2 F, G ∈ ℱ C_{↑}^{∞}(B; ℝ) に対し，次が成立する．

L(F · G)(x) = LF (x)G(x) + F (x)LG(x) + 2(DF (x), DG(x))_{H^{∗}}  (3.12)
(LF, G)_{2} = − ∫_{B}(DF (x), DG(x))_{H^{∗}}μ(dx) = −ℰ (F, G).  (3.13)

\underline{対数 Sobolev 不等式}

Ornstein–Uhlenbeck 作用素の性質は，いろいろなことが詳しく分かっている．例えば L^{2} の枠組みでは自己共役作用素なのでそのスペクトルを考えることができるが，それは {0, −1, −2, −3, … } である．但し 0 は重複度 1 であるが，他は全て重複度無限大である（B が有限次元ならば有限であるが，我々の興味は主に無限次元）．

その外に多種の有用な不等式が成立する． Dirichlet 形式と関連して特に重要な対数 Sobolev 不等式を挙げておく．それは L. Gross [11] によって証明された，次の形の不等式である．

∫_{B} F^{2} log(|F |/∥F ∥_{2})dμ ≤ ∫_{B} |DF |_{H^{∗}}^{2}dμ.  (3.14)

後ほど略証を与える．また，この不等式から次の Nelson の hypercontractivity が導かれる．

定理 3.3 p > 1, t ≥ 0 に対し， q(t) = e^{2t}(p − 1) + 1 とする．このとき，

∥T_{t}F ∥_{q(t)} ≤ ∥F ∥_{p}, ∀F ∈ L^{p}(μ) .  (3.15)

逆にこの hypercontractivity から，対数 Sobolev 不等式が導かれる．そちらのほうが簡単なので，それを見ていこう． F を正の関数として， L の定義域からとる． (3.15) から， ∥T_{t}F ∥_{q(t)}^{q(t)} − ∥F ∥_{p}^{q(t)} の t = 0 での微分が負になることに注意しよう．

\frac{d}{dt}∥T_{t}F ∥_{q(t)}^{q(t)} − \frac{d}{dt}∥F ∥_{p}^{q(t)}

= \frac{d}{dt}E[(T_{t}F)^{q(t)}] − \frac{d}{dt}∥F ∥_{p}^{q(t)}

= E[q(t)(T_{t}F)^{q(t)−1}LT_{t}F + q′(t)(T_{t}F)^{q(t)} log T_{t}F] − q′(t)∥F ∥_{p}^{q(t)} log ∥F ∥_{p}

であるから， t = 0 として，

E[pF^{p−1}LF + 2(p − 1)F^{p} log F] − 2(p − 1)∥F ∥_{p}^{p} log ∥F ∥_{p} ≤ 0.

ここで特に p = 2 とすれば求める結果が得られる．逆は， (3.14) を積分する形になるが，多少技巧が必要である．

対数 Sobolev 不等式はいくつかの変種がある．例えば， Ornstein-Uhlenbeck 作用素との関連では，任意の ε > 0 に対し，定数 C_{1}, C_{2} が存在して，不等式

∫_{B} F^{2} log_{+}^{2} F dμ ≤ (1 + ε) ∫_{B}(LF)^{2}dμ + C_{1}∥F ∥_{2}^{6} + C_{2}  (3.16)

が成り立つ． L は 2 階の微分作用素だから，微分の階数が上がるたびに，可積分性は log のオーダーでよくなる．ただし，冪のオーダーではよくならない．これは通常の Sobolev の不等式との顕著な違いで， Gauss 測度ということが本質的にかかわる部分である．たとえ有限次元であっても，これ以上よくなることはない．不等式(3.15) についても同様である． ℝ^{n} 上の Laplacian に対応する半群を考えると，これは一気に L^{2} から L^{∞} への有界作用素になる．このような半群は ultracontractive と呼ばれるが，これほど強い性質は無限次元の場合には望めないのである．

4 抽象 Wiener 空間上の Sobolev 空間

この節で Sobolev 空間の定義をする． H-微分を用いて，その L^{p} ノルムで完備化するのが一つの方法である．ここでは，半群のガンマ変換を用いる方法を取る． \underline{Sobolev 空間}

(B, H, μ) を抽象 Wiener 空間， K を可分 Hilbert 空間とする． r > 0 に対し L^{p}(μ; K) 上の有界作用素を

(1 − L)^{−r/2} := \frac{1}{Γ(r/2)} ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{r/2−1}T_{t}dt  (4.1)

で定める．これは

\frac{1}{Γ(r/2)} ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{r/2−1}e^{−λt}dt = \frac{1}{Γ(r/2)} ∫_{0}^{∞} e^{−u}(1 + λ)^{−r/2+1}u^{r/2−1} \frac{du}{1 + λ} (u = (1 + λ)t)
= (1 + λ)^{−r/2}

より自然な定義であることがわかる． r = 2 のときは明らかにレゾルベントである．有界作用素 (1 − L)^{−r/2} は縮小作用素である．このことは半群 {T_{t}} は L^{p} での縮小半群であることから従う．さらに (1 − L)^{−r/2} は単射で像は L^{p}(μ; K) で稠密である．また r をパラメーターと見て半群の性質を持つ．すなわち (1 − L)^{−r/2}(1 − L)^{−s/2} = (1 − L)^{−(r+s)/2} が成立する．記号の正当性は p = 2 のときに L をスペクトル分解してみれば確かめられる．

(1 − L)^{r/2} は (1 − L)^{−r/2} の逆写像として定義する． (1 − L)^{−r/2} が単射だからこの定義は意味を持ち， (1 − L)^{r/2} は稠密な定義域を持つ閉作用素である．また r = 0 のときは (1 − L)^{r/2} = 1 と定義しておく．ただし 1 で恒等写像を表した．

以上の準備の下で Sobolev 空間を次のように定義する．

定義 4.1 1 ≤ p < ∞, r ≥ 0 のとき r 次 Sobolev 空間 W^{r,p}(K) を

W^{r,p}(K) := (1 − L)^{−r/2}(L^{p}(μ; K))  (4.2)

と定義する．また W^{r,p}(K) でのノルム ∥ · ∥_{r,p} を

∥F ∥_{r,p} := ∥(1 − L)^{r/2}F ∥_{p}  (4.3)

で定める． r ≤ 0 のとき W^{r,p}(K) は，ノルム

∥F ∥_{r,p} := ∥(1 − L)^{r/2}F ∥_{p}  (4.4)

での L^{p}(μ; K) の完備化として定める．

定義から W^{r,p}(K) の双対空間は W^{−r,q}(K) であることは容易に分かる．ただし q は p の共役指数である． L は 2 階の微分作用素であるから r は微分の階数を表わしていると考えられる．しかしこの定義ではそのことはそれほど明確ではない． r が自然数のときそのことを見よう．次の定理は Meyer の同値性と呼ばれている．

定理 4.2 1 < p < ∞, k ∈ ℕ_{+} に対し，定数 C > 0 が存在して次が成立する：

C^{−1} ∑_{j=0}^{k} ∥D^{j}F ∥_{p} ≤ ∥\sqrt{1 − L}^{k}F ∥_{p} ≤ C ∑_{j=0}^{k} ∥D^{j}F ∥_{p},
∀F ∈ ℱ C_{↑}^{∞}(B; K).  (4.5)

この定理から W^{r,p}(K) はノルム ∑_{j=0}^{k} ∥D^{j}F ∥_{p} による ℱ C_{↑}^{∞}(B; K) の完備化と同じであることが分かる．抽象的な定義は作用素 (1 − L)^{r/2} を用いるのが簡明であるが，確率微分方程式の解などの具体的な場合は D^{j}F などを実際に計算して行う．

上の定理では 1−L を用いて表示してあるが， k = 1 のときは ∥DF ∥_{p} ≤ C∥\sqrt{−L}F ∥_{p} の形で証明できる．これは D\sqrt{−L}^{−1} が L^{p} で有界であることを示している． L の代わりにラプラス作用素 △ を考えればこれはよく知られた Hilbert 変換（Riesz 変換）の L^{p} での有界性に他ならない．従って，上の定理は Hilbert 変換に対する定理を Ornstein-Uhlenbeck 作用素に対して一般化したものである．また上の定理の証明を 1 次元の Hilbert 変換の L^{p} 有界性に関連付けて行う方法もある．実解析の問題とも関連し，証明自体大変興味深いものがある．

また，上の定理は p > 1 の制約が付くが， p = 1 の場合には log の補正項が付くことが知られている．

\underline{作用素の連続性} まず，作用素の交換関係として，次のことが成立することに注意しておく．

DT_{t} = e^{−t}T_{t}D  (4.6)
DL = (L − 1)D  (4.7)
D(α − L)^{s} = (α + 1 − L)^{s}D  (4.8)

(4.6) は半群の表示(3.6) を直接微分して得られる． (4.7) は(4.6) を t に関して微分すればよい． (4.8) は(4.7) の一般化である．

D, L などの Sobolev 空間の枠組における連続性についてまとめておく．マルコフ対称半群は L^{p} において解析的であることが Stein によって示されている．解析性についてはここでは深く立ち入らないが，そこから任意の r ≥ 0, 1 < p < ∞ に対し半群 T_{t} は L^{p}(μ; K) から W^{r,p}(K) への有界作用素であることが導かれる．これは半群が無限に正則性をよくするという意味で非常に強い結果である．

作用素の連続性を Sobolev 空間の枠組で定式化すれば次のようになる．

定理 4.3 p > 1, r ∈ ℝ とする．次の作用素はすべて有界である．

D: W^{r+1,p}(K) ⟶ W^{r,p}(ℒ_{(2)}(H; K)),  (4.9)
D^{∗}: W^{r+1,p}(ℒ_{(2)}(H; K)) ⟶ W^{r,p}(K),  (4.10)
L: W^{r+2,p}(K) ⟶ W^{r,p}(K),  (4.11)
(1 − L)^{−1} : W^{r−2,p}(K) ⟶ W^{r,p}(K).  (4.12)

\underline{共役作用素 D^{∗}} D の共役作用素 D^{∗} の連続性についてはすでに見たが，その具体的な表示を求めておく．一般形のまえに (ℝ, \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^{2}/2}dx) の場合を考えてみよう．このとき部分積分によって

∫_{ℝ} f′(x)g(x)\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}dx = − ∫_{ℝ} f(x)\frac{d}{dx}(g(x)\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2})dx

= − ∫_{ℝ} f(x)(g′(x) − xg(x))\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}dx

となるから Df = f′ の双対作用素 D^{∗} は

D^{∗}g(x) = −g′(x) + xg(x)

で与えられることが分かる．

一般の場合はこれと原理的には全く同じ事をやる訳である．抽象 Wiener 空間 (B, H, μ) の場合に戻って H^{∗}-値関数 K で K(x) = G(x)ĥ (ĥ ∈ H^{∗}) の形のものを考えよう．このとき

(K, DF)_{2} = ∫_{B}(G(x)h, DF (x))_{H^{∗}}μ(dx)

= ∫_{B} G(x)⟨h, DF (x)⟩μ(dx)

= ∫_{B} G(x) lim_{ε→0} \frac{F (x + εh) − F (x)}{ε}μ(dx)

= ∫_{B} lim_{ε→0} \frac{1}{ε}(G(x − εh)e^{−ε^{2}|h|^{2}/2+εI_{1}(ĥ)(x)} − G(x))F (x)μ(dx)

= ∫_{B}(−⟨h, DG(x)⟩ + I_{1}(ĥ)(x)G(x))F (x)μ(dx)

である．よって，一般に

D^{∗}(∑_{j=1}^{n} G_{j}(x)ĥ_{j}) = − ∑_{j=1}^{n}{⟨h_{j}, DG_{j}(x)⟩ − I_{1}(ĥ_{j})G_{j}(x)}

が成り立つ． ℝ^{n} で Lebesgue 測度を考えた場合， ∇ の共役作用素は発散作用素である（符号はマイナスになる）．従って D^{∗} は Wiener 空間における発散作用素の働きをする．

Clark-Ocone-Hausmann の公式

古典的な Wiener 空間の場合は D^{∗} は確率積分と密接な関係を持つことが知られている． d = 1 の場合を考えよう． h ∈ H は絶対連続だから，微分 ḣ(t) が a.e. t に対して存在する．

K_{t}(h) = ḣ(t)  (4.13)

という記号を導入しておこう．すると，次のことが成立する． G を H-値関数として K_{t}(G) が ℱ_{t}-適合であるとしよう．するとこの場合は

D^{∗}G = ∫_{0}^{1} K_{t}(G)dw(t)

が成立する．

さらに Malliavin 解析の枠組で Clark-Ocone-Hausmann の公式を定式化することが出来る． L^{2} の任意の元は確率積分による表示を持つ．一般に具体的に積分核を求めることは容易ではないのであるが，微分可能性を仮定するとこの事が可能になる．すなわち F ∈ W^{1,2} に対し，次の表示が成立する．

F = E[F] + ∫_{0}^{1} E[K_{t}(DF (w))|ℱ_{t}]dw_{t}.  (4.14)

この公式を Clark-Ocone-Hausmann の公式と呼んでいる．

簡単に証明を与えておこう．マルチンゲール表現定理から， F は次のように確率積分で表現出来る．

F = E[F] + ∫_{0}^{1} Φ_{t}dw_{t}.

また，任意に G ∈ L^{2}(μ) をとり，やはり確率積分で表わしておく：

G = E[G] + ∫_{0}^{1} Ψ_{t}dw_{t}.

確率積分の性質から

E[F G] = E[F]E[G] + ∫_{0}^{1} Φ_{t}Ψ_{t}dt.

一方，上で注意したように D^{∗}Ψ は確率積分であるから

D^{∗}Ψ = ∫_{0}^{1} Ψ_{t}dw_{t}

が成立することに注意すれば

E[F G] = E[F (E[G] + ∫_{0}^{1} Ψ_{t}dw_{t})]
= E[F (E[G] + D^{∗}Ψ)]
= E[F]E[G] + E[(DF, Ψ)]
= E[F]E[G] + E[∫_{0}^{1}(K_{t}DF)Ψ_{t}dt]
= E[F]E[G] + E[∫_{0}^{1} E[K_{t}DF |ℱ_{t}]Ψ_{t}dt].

これから，確率積分による表現の一意性を用いて

E[K_{t}DF |ℱ_{t}] = Φ_{t}

が分かるが，これが示すべきことであった． \underline{対数 Sobolev 不等式の証明}

上の公式を使って対数 Sobolev 不等式を証明してみよう． F ∈ W^{1,2} を任意にとり，マルチンゲール (M_{t}) を

M_{t} := E[F^{2}|ℱ_{t}]

と定める． Clark-Ocone-Hausmann の公式から (M_{t}) は次のようにも表わされる．

M_{t} := E[F^{2}] + ∫_{0}^{t}(H_{s}, dw_{s})_{ℝ^{d}}.

ただし

H_{t} = E[2F K_{t}(DF)|ℱ_{t}]

とおいた．この表示から M_{t} log M_{t} に伊藤の公式を適用して

M_{1} log M_{1} − M_{0} log M_{0} = ∫_{0}^{1} log M_{t}dM_{t} + ∫_{0}^{1} dM_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} M_{t}^{−1}|H_{t}|^{2}dt.

従って

E[F^{2} log F^{2}] − E[F^{2}] log E[F^{2}] = \frac{1}{2}E[∫_{0}^{1} M_{t}^{−1}|H_{t}|^{2}dt]

が得られるが

|H_{t}|^{2} = E[2F K_{t}(DF)|ℱ_{t}]^{2}
≤ 4E[F^{2}|ℱ_{t}] E[K_{t}(DF)^{2}|ℱ_{t}]
≤ 4M_{t}E[K_{t}(DF)^{2}|ℱ_{t}]

に注意して

\frac{1}{2}E[∫_{0}^{1} M_{t}^{−1}|H_{t}|^{2}dt] ≤ 2E[∫_{0}^{1} E[K_{t}(DF)^{2}|ℱ_{t}]dt] ≤ 2ℰ (F, F).

これで対数 Sobolev 不等式が示せた．

5 一般 Wiener 汎関数と分布の滑らかさ

Malliavin 解析の発端となった分布の滑らかさの問題をこの節で取り扱う．ここでは超関数との合成という整理された形で述べる．この方法は渡辺信三による． \underline{一般 Wiener 汎関数}

Sobolev 空間を定義してきたが，この枠組みで有限次元の C^{∞} 関数にあたるものとして

𝒲 (K) = ⋂_{r≥0,p>1} W^{r,p}(K)  (5.1)

と定義し， 𝒲 (K) の元を（Malliavin の意味で）滑らかな関数と呼ぶことにする．有限次元の超関数論でいえば試験関数の空間である．ただし有限次元の場合は Sobolev の定理より，実際に C^{∞} となるような変形が存在する．しかし無限次元の Wiener 空間の場合は連続性は一般には成り立たない．簡単な例で ĥ ∈ H^{∗} \ B^{∗} に対し， I_{1}(ĥ) は決して連続にならない．

𝒲 (K) には可算のセミノルムが定義されているから， Fréchet 空間の構造を持つ．この双対空間の元を一般 Wiener 汎関数と呼ぶ．すなわち

𝒲 ′(K) = ⋃_{r≥0,p>1} W^{−r,p}(K)  (5.2)

が一般 Wiener 汎関数の空間である．

D, L, T_{t} の作用は 𝒲 (K), 𝒲 ′(K) などでも同様に定義することができ，自由に計算を行うことができる．

Malliavin 共分散行列と部分積分の公式

F ∈ W^{r,p}(ℝ^{n}) とする． F = (F^{1}, F^{2}, …, F^{n}) と成分で表す． r, p は以下の計算が出来るように適当に大きく取っておく．このとき次で定まる行列値の Wiener 汎関数 σ = (σ^{ij}) を Malliavin 共分散行列という：

σ^{ij} = (DF^{i}, DF^{j})_{H^{∗}}.  (5.3)

σ が a.e. で非退化で (det σ)^{−1} ∈ L^{∞−} のとき F は Malliavin の意味で非退化という． γ = (γ_{ij}) で σ の逆行列を表す．次の公式は部分積分の公式と呼ばれる．

命題 5.1 F を非退化な関数， G をなめらかな関数とする．このとき任意の φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) に対して次が成立する．

E[(∂_{j}φ ∘ F)G] = E[(φ ∘ F)D^{∗}(∑_{k} γ_{jk}DF^{k}G)].  (5.4)

証明合成関数の微分より

∑_{k}(D(φ ∘ F), DF^{k})γ_{kj} = ∑_{k} ∑_{l}(∂_{l}φ ∘ F)(DF^{l}, DF^{k})γ_{kj} = ∂_{j}φ ∘ F

に注意して， D^{∗} が共役作用素であることを使えばよい． □

さて上の部分積分の公式を利用すると超関数と Wiener 半関数との合成が定式化できる． T を ℝ^{n} 上の緩増加な超関数， F を Malliavin の意味で滑らかでかつ非退化な ℝ^{n}-値 Wiener 汎関数とする． F と T との合成 T ∘ F を次の手順で意味を付ける． T が普通の関数（全ての点で定義されている）ならば，普通に合成が定義できる． T が超関数のときは T ∘ F は一般 Wiener 汎関数となる．命題 5.1 を繰り返し使えば ∂_{j}φ の代わりに (−Δ + |x|^{2})^{N}φ を考えて

E[((−Δ + |x|^{2})^{N}φ ∘ F)G] = E[(φ ∘ F)Ψ_{N}(G)].  (5.5)

の形の等式が成立する．ここで r, p を十分大きくとれば Ψ_{N}: W^{r,p} → L^{1} は連続になる． T ∈ 𝒮′(ℝ^{n}) に対しては N を大きくとれば φ ∈ C_{b}(ℝ^{n}) が存在して T = (−Δ + |x|^{2})^{N}φ とできる．従って一般 Wiener 汎関数 T ∘ F は

⟨G, T ∘ F ⟩ = E[(φ ∘ F)Ψ_{N}(G)]  (5.6)

で定義すればよい．従って次の定理を得る．

定理 5.2 T ∈ 𝒮′(ℝ^{n}) に対し 𝒲 ′ の元 T ∘ F を対応させる写像で T が関数のときには合成に一致するものが一意に存在する．

この合成写像 T ∘ F の T を変数と見たときの連続性に関しては厳密には次のようにいうことが出来る．写像 T ↦ T ∘ F は 𝒮_{−k} に制限すれば，適当な r, q が存在して 𝒮_{−k} から W^{−r,q} への連続線形写像である．従って T がパラメーター α を持てば α ↦ T_{α} の連続性，あるいは微分可能性に応じて T_{α} ∘ F の連続性や微分可能性が従う．最も典型的なものは ℝ^{n} の元 x をパラメーターとして持つ Dirac 測度 δ_{x} である． x ↦ δ_{x} は微分可能であるから x ↦ δ_{x} ∘ F も微分可能であり特に x ↦ ⟨1, δ_{x} ∘ F ⟩ は滑らかな関数となる．

\underline{密度関数の表現} φ ∈ 𝒮 (ℝ^{n}) は積分で

φ = ∫_{ℝ^{n}} δ_{x}φ(x)dx

と表されるから

E[φ ∘ F] = ∫_{ℝ^{n}}⟨δ_{x} ∘ F, 1⟩φ(x)dx.

このことはとりもなおさず ⟨δ_{x} ∘ F, 1⟩ が F の分布の密度であることを意味している．

定理 5.3 F を Mallaivin の意味で滑らかでかつ非退化な汎関数とする．このとき F の分布は滑らかな密度をもち，それは ⟨δ_{x} ∘ F, 1⟩ と表される．

以下

E[Gδ_{x}(F)] = ⟨G, δ_{x}(F)⟩

と平均の記号を拡張して使う．

さらに注意を与えておく．条件付き測度に関して一般 Wiener 汎関数を使うと統一的な理解が得られる．

p(x) = E[δ_{x}(F)]

とおく．すなわち p(x) は F の分布の密度である．すると

∫_{ℝ^{n}} E[G|F = x]f(x)p(x)dx = ∫_{ℝ^{n}} E[f(F)G|F = x]p(x)dx
= E[Gf(F)]
= ∫_{ℝ^{n}} E[Gδ_{x}(F)]f(x)dx

が任意の f ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) に対して成り立つ．これはすなわち

E[G|F = x]p(x) = E[Gδ_{x}(F)]  (5.7)

を意味している．正確には左辺は a.e. の意味でしか確定しないから，上の等式は a.e. の意味である．ところで右辺は全ての x に対して定義されている．ここに来て条件付き確率がより自然な形で全ての x に対して定義されたことになる．

δ_{x}(F) は正値性を満たすが，このような正の超関数は，実は測度になることが杉田洋（[31]）によって示されている．従って上の G は滑らかな関数である場合はもちろん，有界可測関数に対しても定義される．こうして，従来ややあいまいな形で定義されてきた条件付き確率をより自然な形で捉え直すことが可能になったわけである．

\underline{Wiener 汎関数の漸近展開}

K-値 Wiener 汎関数がパラメーター ε ∈ (0, 1] を持つときに，その漸近展開について議論しよう． F (ε) = F (ε, w) ∈ 𝒲 (K) を K-値 Wiener 汎関数の族とし，次のような漸近展開が成立しているとする：

F (ε) ∼ f_{0} + εf_{1} + ε^{2}f_{2} + ⋯ in 𝒲 (K) as ε ↓ 0 .  (5.8)

但し，この展開の意味は任意の n に対し，

F (ε) − (f_{0} + εf_{1} + ⋯ + ε^{n}f_{n}) = O(ε^{n+1}) in 𝒲 as ε ↓ 0

がなりたつこと，すなわち

lim sup_{ε↓0} \frac{1}{ε^{n+1}} ∥F (ε) − (f_{0} + εf_{1} + ⋯ + ε^{n}f_{n})∥_{r,p} < ∞

が任意の r, p に対して成立することである．

同様に一般 Wiener 汎関数に対しても漸近展開を定義することが出来る． Φ(ε) を 𝒲 ′(K) の族とするとき，漸近展開

Φ(ε) ∼ φ_{0} + εφ_{1} + ε^{2}φ_{2} + ⋯ in 𝒲 ′(K) as ε ↓ 0 .  (5.9)

の意味は任意の n に対して r, p が存在し Φ(ε), φ_{0}, …, φ_{n} ∈ W^{−r,p}(K) で

Φ(ε) − (φ_{0} + εφ_{1} + ⋯ + ε^{n}φ_{n}) = O(ε^{n+1}) in W^{−r,p}(K) as ε ↓ 0

が成立することであると定義する．

さて，以上の準備の下で， F (ε) が 𝒲 (ℝ^{d}) で漸近展開をもつとき，超関数 T ∈ 𝒮′(ℝ^{d}) との合成 Φ(ε) = T ∘ F (ε) が漸近展開を持つか考えよう． F (ε) が一様に非退化であればこのことが成り立つ．

定理 5.4 F (ε) は次の漸近展開を持つとする：

F (ε) ∼ f_{0} + εf_{1} + ε^{2}f_{2} + ⋯ in 𝒲 (ℝ^{n}) as ε ↓ 0 .  (5.10)

さらに σ(ε) を F (ε) の Malliavin 共分散行列として，次のような非退化性を仮定する：任意の p > に対し，

lim sup_{ε↓0} ∥(det σ(ε))^{−1}∥_{p} < ∞.  (5.11)

このとき超関数 T との合成 Φ(ε) = T ∘ F (ε) は 𝒲 ′ において漸近展開

Φ(ε) ∼ φ_{0} + εφ_{1} + ε^{2}φ_{2} + ⋯ in 𝒲 ′(K) as ε ↓ 0

を持ち，係数 φ_{0}, φ_{1}, … は形式的な Taylor 展開から求めることが出来る．たとえば

φ_{0} = T (f_{0}),
φ_{1} = ∑_{i=1}^{d} f_{1}^{i} ∂_{i}T (f_{0}),
φ_{2} = ∑_{i=1}^{d} f_{2}^{i} ∂_{i}T (f_{0}) + \frac{1}{2!} ∑_{i,j=1}^{d} f_{1}^{i}f_{1}^{j} ∂_{i}∂_{j}T (f_{0})

のように定まる．ここで f_{k} = (f_{k}^{1}, …, f_{k}^{d}) と成分で表わした．

この定理によって，漸近展開は機械的に計算を進めていけばよいことがわかる．あとで基本解の漸近展開などで大きな力を発揮する．

6 確率微分方程式への応用

この節で応用として確率微分方程式の解を扱う．

\underline{確率微分方程式と熱方程式の基本解}

ℝ^{N} において次の確率微分方程式を考えよう． Brown 運動は道の空間 C_{0}([0, 1]; ℝ^{d}) で実現されているものとして (w_{t}) と表わす．

\begin{cases}dX^{i}(t) = ∑_{α=1}^{d} a_{α}^{i}(X(t)) ∘ dw_{t}^{α} + b^{i}(X(t))dt \\ X^{i}(0) = x^{i} . \end{cases}  (6.1)

ここで ∘ は Stratonovich の対称確率積分を表わす．各係数 a_{α}^{i}, b^{i} は C^{∞} かつ微分はすべて有界を仮定する．

Stratonovich の対称確率積分は幾何的な概念と結び付けるときにより自然なものとなる．たとえば係数から定まるベクトル場を

V_{α} = ∑_{i=1}^{N} a_{α}^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} ,  (6.2)
V_{0} = ∑_{i=1}^{N} b^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} .  (6.3)

と定めれば伊藤の公式は

d(f(X(t))) = ∑_{α=1}^{d} V_{α}f(X(t)) ∘ dw_{t}^{α} + V_{0}f(X(t))dt  (6.4)

と簡潔に表わされる．添え字が煩雑になるので以後確率微分方程式(6.1) 自体を

\begin{cases}dX(t) = ∑_{α=1}^{d} V_{α}(X(t)) ∘ dw_{t}^{α} + V_{0}(X(t))dt, \\ X(0) = x \end{cases}  (6.5)

と表わす．この確率微分方程式と偏微分方程式の関係を見ておく．

𝔄 = \frac{1}{2} ∑_{α=1}^{d} V_{α}^{2} + V_{0}.  (6.6)

とおき， 𝔄 で生成される半群を {T_{t}} とすると，

T_{t}f(x) = E[f(X(t; x))]

と表現できる． X(t; x) の x は確率微分方程式(6.1) の初期値を表す． X(t; x) が滑らかな密度 p(t, x, y) を持てば，

T_{t}f(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(y)p(t, x, y)dy

となり，\frac{∂}{∂t} − 𝔄 の基本解を与えていることが分かる．

\underline{確率微分方程式の解の微分}

この確率微分方程式(6.5) の解は微分できるだろうか．もちろん微分できるからこそ Malliavin 解析が多くの成果を上げることができた訳であるが，このことは振り返ってみればそれほど明らかなことではない．確率微分方程式の解は一般には B に関して連続ではない．そればかりか a.e. の意味でしか確定していない．にもかかわらず微分できるというのは H-微分を L^{p} で完備化するという Sobolev 空間の枠組が確率微分方程式を解析する上で自然なものであったという訳である．

厳密には定義に帰って微分を計算する必要があるが， (6.5) から変分をとって微分の形を推測することは難しくない． h ∈ H 方向の変分を考えれば，変数 w を明示して

X(t, w + εh) =x + ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} V_{α}(X(t, w + εh))) ∘ d(w_{s}^{α} + εh^{α}(s))
+ ∫_{0}^{t} V_{0}(X(s, w + εh))ds

であるから，形式的に Taylor 展開を行って ε の係数を比較すれば

DX(t)[h] = ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} ∂V_{α}(X(s))DX(s)[h] ∘ dw_{s}^{α}
+ ∫_{0}^{t} ∂V_{0}(X(s))DX(s)[h]ds
+ ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} V_{α}(X(s))ḣ^{α}(s)ds  (6.7)

となることが予想される． DX(t)[h] は DX(t) ∈ ℒ_{(2)}(H; ℝ^{d}) に h ∈ H を作用させたものを表わしている．成分を用いて書けば

DX^{i}(t)[h] = ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} ∂_{j}a_{α}^{i}(X(s))DX^{j}(s)[h] ∘ dw_{s}^{α}

+ ∫_{0}^{t} ∂_{j}b^{i}(X(s))DX^{j}(s)[h]ds

+ ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} a_{α}^{i}(X(s))ḣ^{α}(s)ds

である．厳密な証明は， Cauchy の折れ線近似法や逐次近似の方法で行う．以下微分の操作を繰り返して， (6.5) の解 {X(t)} は 𝒲 (ℝ^{d}) に属していることが分かる．

Malliavin 共分散行列の非退化性

さて， X(t) の分布の滑らかさの問題を考えるとき，前節で見たように Malliavin 共分散行列が重要な役割を果たした．これを計算するために(6.7) を見直そう．これは DX(t)[h] の非斉次方程式であるから，次の斉次方程式を考えればよい．

dJ(t) = ∑_{α=1}^{d} ∂V_{α}(X(t))J(t) ∘ dw_{t}^{α} + ∂V_{0}(X(t))J(t)dt,
J(0) = I.

J(t) は解 X(t) を初期値 x を変数として微分したものであるが，ここでは単に上の方程式の解であれば十分である．さて定数変化法を用いれば DX(t)[h] は次のように表わされる．

J^{−1}(t)DX(t)[h] = ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} J^{−1}(s)V_{α}(X(s))ḣ^{α}(s)ds .

Mallivin 共分散行列は内積をとればよいので次の命題を得る．

命題 6.1 行列 σ̃(t) = (σ̃^{ij}(t)) を次のように定める：

σ̃(t) = ∑_{α=1}^{d} ∫_{0}^{t} J^{−1}(s)V_{α}(X(s)) ⊗ J^{−1}(s)V_{α}(X(s))ds.  (6.8)

このとき確率微分方程式(6.5) の解 X(t) に対し Malliavin の共分散行列 σ = (σ^{ij}(t)) = (DX^{i}(t), DX^{j}(t))_{H^{∗}} は

σ(t) = J(t)σ̃(t)^{t}J(t)

と表される．ただし^{t}J(t) は J(t) の転置行列を表す．

定理 5.3 より， (det σ)^{−1} ∈ L^{∞−} が示されれば X(t) の分布は滑らかな密度関数を持つことが分かる． J(t) に関する可積分性は容易なので (det σ̃)^{−1} の可積分性を調べればよい．楕円性が成立するときは比較的容易にこの条件を確かめることが出来る．ここに楕円性が成立するとは，ある定数 δ > 0 がとれ

∑_{α=1}^{d} V_{α}(x) ⊗ V_{α}(x) ≥ δI

が適当な近傍で成立することである． I で単位行列を表した．ここで定数 δ は近傍の取り方に依存する． δ が近傍の取り方に依存しないときは一様楕円と呼ばれる．

この場合 p(t, x, y) = E[δ_{y}(X(t))] （x は X(t) の初期値）とすればこれが分布の密度関数を表し，さらに時刻 t に関する依存性も精密に評価すれば，任意の正整数 k に対し，区間 [0, T] において定数 C > 0, λ > 0 が存在して

sup_{y∈ℝ^{N}} |∇_{y}^{k}p(t, x, y)| ≤ C/t^{λ}, t ∈ [0, T]  (6.9)

を示すことが出来る．さらに上の評価は一様楕円性があれば x に関して一様な評価となる．

Hörmander の準楕円性定理

楕円性が成り立つ場合だけでなく，退化した場合も Malliavin 解析で扱うことができる． Hörmander によるベクトル場で生成される Lie 環を用いた準楕円性のための十分条件がよく知られている．結果を述べるために次のようなベクトル場の集合を帰納的に定義する．

Σ_{0} = {V_{1}, V_{2}, …, V_{d}},

Σ_{k} = {[V_{0}, , V], [V_{1}, V], …, [V_{d}, V]; V ∈ Σ_{k−1}}, k = 1, 2, ….

さらに

Σ̃_{k} = Σ_{0} ∪ Σ_{1} ∪ ⋯ ∪ Σ_{k}

として

Ξ_{k}(x) = inf_{η∈S^{N−1}} ∑_{V ∈Σ̃_{k}}(η, V (x))_{ℝ^{N}}^{2}.

と定める．ある k ∈ ℕ に対し Ξ_{k}(x) > 0 であれば，点 x では Σ̃ が接空間全体を張っている．このとき Hörmander の意味で非退化と呼ばれる．この条件の下で(6.5) の解 (初期値は x）の分布が滑らかな密度を持つことを示すには，解 X(t) の Malliavin 共分散行列が非退化であることを示す必要がある．そのために σ̃ の表現(6.8) に現れる J^{−1}(s)V_{α}(X(s)) を次々と確率積分で表わしていく（確率 Taylor 展開と呼ばれる）．その際 Lie の交換積が自然な形で現れ， Hörmander の条件から σ̃ の非退化性を証明するのである．

以上で Ξ_{k}(x) > 0 の条件の下で基本解 p(t, x, y) に対し(6.9) と同じ評価を得ることができる．さらに Ξ_{k}(x) が x に関して一様に正であれば，基本解の評価も一様にできる．

\underline{基本解の漸近展開} 確率微分方程式(6.5) に次のようにパラメーター ε を導入する．

\begin{cases}dX(t) & = ∑_{α=1}^{d} εV_{α}(X(t)) ∘ dw_{t}^{α} + ε^{2}V_{0}(X(t))dt, \\ X(0) & = x \end{cases}  (6.10)

この場合の生成作用素 𝔄^{ε} は

𝔄^{ε} = \frac{ε^{2}}{2} ∑_{α=1}^{d} V_{α}^{2} + ε^{2}V_{0} = ε^{2}𝔄  (6.11)

であるから，元の基本解を使えば， p(ε^{2}t, x, y) が対応する．従って，

p(ε^{2}, x, y) = E[δ_{y}(X^{ε}(1, x))]  (6.12)

という関係が成り立つ．すなわち p(t, x, y) について， t に関する漸近展開を知りたければ δ_{y}(X^{ε}(1, x)) の ε → 0 のときの挙動を調べればよい．

以下 y = x の場合に詳しく見ていく． X^{ε}(1, x) に対しては確率 Taylor 展開の手法で次のような漸近展開を容易に示すことができる．

X^{ε}(1, x) = f_{0} + εf_{1} + ε^{2}f_{2} + ⋯ in 𝒲 (ℝ^{N}) as ε ↓ 0.  (6.13)

係数 f_{0}, f_{1}, ⋯ は具体的に書き下すことができて，たとえば

f_{0} = x,  (6.14)
f_{1} = ∑_{α=1}^{d} V_{α}(x)w_{1}^{α}  (6.15)

などである．

定理 5.4 を適用する訳だが，明らかに X^{ε}(1, x) 自体は定理 5.4 の条件を満たさない．そこで次のような置き換えを行う．

F (ε) = \frac{X^{ε}(1, x) − x}{ε}.  (6.16)

ここで楕円性を仮定する．すなわち V_{1}(x), ⋯, V_{d}(x) は ℝ^{N} を張っているとする．このことを仮定すれば F (ε) が定理 5.4 の条件を満たすことは容易に確かめられる．また

δ_{x}(X^{ε}(1, x)) = δ_{x}(x + εF (ε)) = ε^{−d}δ_{0}(F (ε))

の関係に注意すれば δ_{x}(X^{ε}(1, x)) が次のように漸近展開できる：

δ_{x}(X^{ε}(1, x)) ∼ ε^{−d}(Φ_{0} + εΦ_{1} + ε^{2}Φ_{2} + ⋯) in 𝒲̃ ′ as ε ↓ 0.

Φ_{0} = δ_{0}(f_{1}) は容易に分かるが，他のものも原理的にはいくらでも計算可能である． Φ_{1}, Φ_{3} など，奇数次のものは奇関数なので積分すると消えることを注意しておく．これを積分して p(t, x, x) の漸近展開が求まる．

p(t, x, x) ∼ t^{−d/2}(c_{0}(x) + tc_{1}(x) + ⋯) as ε ↓ 0.

ちなみに係数c_{0}(x)は， f_{1} = ∑_{α=1}^{d} V_{α}(x)w_{1}^{α} が共分散A(x) = (A^{ij}(x)) := (∑_{α=1}^{N} a_{α}^{i}(x)a_{α}^{j}(x)) の Gauss 分布だから

c_{0}(x) = E[δ_{0}(∑_{α=1}^{d} V_{α}(x)w_{1}^{α})] = {(2π)^{d} det A(x)}^{−1/2}

である．以下次数が上がるにつれて計算は煩雑になる．

Riemann 多様体の上の Laplace 作用素の基本解などもこれらの方法を適用することができる．さらに， Hodge-小平の作用素 dd^{∗} + d^{∗}d を考察することにより， Gauss-Bonnet の確率論的な証明を与えることもできる．詳細は池田-渡辺 [12] などを見るとよい．また関連した話題は谷口氏の稿参照．

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