問題集

深谷賢治

平成 15 年 7 月 2 日

ここでは，ゲージ理論，擬正則曲線，弦理論に関わる数学などの問題だけを挙げる．

多くの人が知っていると思われる問題も取り上げる．というより，そんな問題は知っているけど解けっこないよ，と専門家が思っているであろう問題も多くあげる． (そうすることで，本稿で扱う分野の周辺の数学の現状の，ある見方での位置付けができるのではないかと期待する．）

問題には暫定的な難易度がつけてある．難易度は１，２，３，４，５で大きい数字ほど難しい．ただし 1 がやさしいわけではまったくない．激辛カレーの店のカレーライスは，一番辛くないカレーが通常の店の辛口より辛いが，それと同様である．また，答えを知らない問題の難易度をつけるのは，確たる根拠がない作業であるため，筆者の思い違いである可能性も大きい．

若い人向けという主催者の注文であるが，そのまま取り組んで相当にがんばれば解けるといったレベルのものはあまりない．若い人はこのレベルのものを一度ぐらいは解きたいと思って研究して欲しいと思うので．

§1．３・４次元ゲージ理論などについての問題

ゲージ理論のトポロジーへの応用が主の問題（すなわち既存の結果方法の応用に関わる問題）は私より適任の人が多くいると思われるし，微分幾何シンポジウムなので，取り上げない．

Yang-Mills 場については，しばらく前まで多くの研究があった． Seiberg-Witten 方程式が出て，多くの研究者がそちらに移り，閑古鳥が鳴く状態になった．その直前まで盛んに研究されていた問題 (結構難しいのが多いのが難）は，多くの研究者が興味を持たなくなり，そのままほおって置かれていると思われる． Seiberg-Witten 方程式のトポロジーへの応用も一段落したいま， Yang-Mills 場をもう一度，研究する価値が増していると思うので，何が残っているかもふくめて考えてみたい．基本的原理的な問題で解けてないものが大変おおいことに気づかれると思う．

問題 1 （難易度１）任意のゲージ群 G(コンパクト）と任意の 3 次元多様体 M に対して，同変 Floer ホモロジーを一般化せよ．

G をコンパクトリー群とし， 3 次元多様体 M 上に任意の主 G 束 P を考える． P の G 接続の全体を 𝔐̃(P) とする． M の 1 点 p で単位元であるようなゲージ変換全体を 𝔊_{0}(P) とする． 𝔐(P) = 𝔐̃(P)/𝔊_{0}(P) とおく．これは無限次元多様体であり， G が作用する． (1 点 p で単位元であるようなゲージ変換に制限したので，残ったゲージ変換の分が作用する．）この作用は自由でない．ゲージ理論の難点の可約接続はこの作用の不動点に関わる．この上には Chern-Simons 汎関数を一般化した， S^{1} 値の汎関数 f が定まる．このモース理論は M × ℝ 上のゲージ理論に関わる．（これは普通の SU(2) のときと同じ．）汎関数は G 不変である．分類空間 EG → BG を有限次元近似し， EG_{k} → BG_{k} とする． 𝔐(P)×_{G} EG_{k} を 𝔐(P)/G の代わりに使える． (Borel の構成）．この空間 𝔐(P)×_{G} EG_{k} は多様体である． f は 𝔐(P) ×_{G} EG_{k} 上の関数 f̃を決める（gradf が Morse-Smale ベクトル場でないのが問題で， f を群作用に関する不変性をたもったまま f を gradf が Morse-Smale ベクトル場になるように変形することは一般にはできない．）関数 f̃をその勾配が Morse-Smale ベクトル場になるように変形すれば (いつでもできる）この問題は解けるはずである．（Borel の構成と Floer ホモロジーについては Fukaya, Geometry of gauge fields. Lectures on geometric variational problems (Sendai, 1993), 43–114, Springer, Tokyo, 1996, 参照．そのほか Floer ホモロジー一般は， Donaldson の本 Floer homology groups in Yang-Mills theory. Cambridge University Press と筆者の「ゲージ理論とトポロジー」（Springer 東京）をみよ．）

この問題は，難易度１で，ここで扱う問題中ではやさしそうな部類に属すると思われる．群を一般にすることが今までなされていないのは，はっきりした応用がないというのが理由と思われるが，一般化そのものにも理論的興味があるはずである．「応用がない」という点については，逆に次の問題が気になる．

問題 2 （難易度４）問題 1 の Floer ホモロジーは， SU(2), SO(3) の場合より多くの情報を含んでいるか．たとえば， SU(2), SO(3) の Floer ホモロジーが同型で，ゲージ群を一般化したものが同型でない 3 次元多様体の組はあるか．

答えは山勘ではノーつまり情報は増えないであるが，予想と書くにはあまりに根拠が乏しい．それを証明せよというのが，たとえば問題 2 である．物理ではゲージ群を大きくすると，場の理論はむしろ単純になるという感じがあると聞いたことがある．そうだとすると，根拠になるが・・・

4 次元でも同様の問題が考えられる．

問題 3 （難易度３） Donaldson 不変量はゲージ群を大きくしたとき， Seiberg-Witten不変量でかけるか．かけるとしたら， Wittenの予想(SU(2), SU(3) の場合の式) の一般化の式の形は何か．

この後半が Feynman 径路積分でも何でも使っていいとして解けるかどうか知らない．（多分今のところ知られていない．）

問題 4 （難易度３） 4 次元シンプレクティック多様体の Gromov-Witten 不変量は，微分同相で不変か．

ちょっと問題 3 に似ていそうなので，ここに書いた． M の Gromov-Witten 不変量は H_{2}(M; ℤ) の元 β と曲面の種数 g を決めると決まる．（すなわち， β を実現する，種数 g の擬正則曲線のモジュライ空間を使う．）（たとえば深谷の「シンプレクティック幾何学」岩波書店参照．） β と g によって，この擬正則曲線が自己交叉を持つかが決まる (adjunction formula). 自己交叉を持たない β と g の場合の， M の Gromov-Witten 不変量が微分同相で不変なことは Taubes の定理（C. Taubes, Seiberg Witten and Gromov invariants for symplectic 4-manifolds. First International Press Lecture Series, 2. International Press）から従う． (すなわち Seiberg-Witten 不変量になる．）種数やホモロジー類を変えたものが新しい情報を含むかというのが問題 3 である．予想は，微分同相で不変であろう，のほうだと思うが，たいした根拠はない．

話は変わる．（問題 3 の続きといえば続き）．４次元の Seiberg-Witten 不変量が登場したとき， Seiberg-Witten 不変量と Donaldson 不変量の一致が問題になった． Pidstrigach-Tyurin, (Localisation of the Donaldson’s invariants along Seiberg-Witten classes, dg-ga/9507004 をみよ）の提案から発展したFeehan-Lenessの研究(math.DG/0203047, math.DG/0106238, math.DG/0106221 など）で解決がアナウンスされているようだ．（まだ認められているというわけではないと思う．）いま未解決なのかどうかが微妙なので， Seiberg-Witten 不変量と Donaldson 不変量が等価という問題そのものはあげない．代わりに次の問題を挙げておく．

問題 5 （難易度２） Donaldson 不変量の Kronheimer-Mrowka の構造定理を，境界付き 4 次元多様体に一般化せよ．それに基づいて， Seiberg-Witten 不変量と Donaldson 不変量の一致の，境界付き 4 次元多様体版を定式化せよ．

Kronheimer-Mrowkaの構造定理については， P.Kronheimer, T.Mrowka, Embedded surfaces and the structure of Donaldson’s polynomial invariants. J. Differential Geom. 41 (1995), 573–734 参照．そこで基本類という H_{2}(M; ℤ) の元（の有限集合）が Donaldson 不変量を決めることが示され，この基本類が Seiberg-Witten 不変量であることが Witten の予想である．構造定理の証明の基本的な考え方は， M のなかの 2 次元の曲面 Σ で特異点をもつ自己共役接続のモジュライ空間を考えることで， Σ の周りのモノドロミーが e^{iθ} となるものを 𝔐_{θ} としたとき，これを θ = 0 から θ = π まで連続的に動かすことにある．（この両端では特異性が消え，前者は SU(2) 束に，後者は w^{2} が Σ のポアンカレ双対である SO(3) 束になる．）同じ議論で境界つきの場合に何が出るか，が問題である．この問題の解決を，筆者は試みたことがないので，難易度２は甘すぎるかもしれない．構造定理が出た直後（Seiberg-Witten 不変量がでる前）に，この問題を Kronheimer に聞いたところ，しばらく考えて，わからない，が返事であった．

Kronheimer-Mrowka の名前が出たついでに，彼らのもうひとつの重要な論文， Monopoles and contact structures. Invent. Math. 130 (1997), 209–255 にかかわる問題を挙げる．

問題 6 （難易度３）接触 3 次元多様体の Contact homology と Seiberg-Witten-Floer ホモロジーの関係を明らかにせよ．

Contact homology については， Y.Eliashberg, A.Givental, H.Hofer, Introduction to symplectic field theory. Geom. Funct. Anal. 2000, Special Volume, Part II, 560–673 参照．（あるいはEliashbergの1998年Berlin ICM の講演記録のほうが短くて読みやすいかもしれない．）前出の Kronheimer-Mrowkaの論文は， TaubesによるGromov-Witten不変量とSeiberg-Witten 不変量の一致に関する結果（前掲書参照），の境界付き多様体版にかかわっている．より正確には， KM 論文がかかわっているのは，接触多様体を境界にもつシンプレクティック多様体 M の内部にすっぽり埋まった擬正則曲線に対応する Seiberg-Witten 方程式の解にかかわるものである（神田氏 (北大）の博士論文も参照）．より一般の擬正則曲線を考えると，境界の接触多様体の Reeb Vector 場に収束するものを考えることになる．これを定式化することが Contact homology の主目的である．したがって，境界のところだけ見た場合の問題 6 が解けないと， Taubes の定理の境界付き多様体版は定式化ができない．ただし， Contact homology は有限次元ではないし，また， 3 次元の場合にも接触構造による不変量で微分同相で不変ではない，ということに注意しておく．問題 6 については， M. Hutchings が研究しているという（An index inequality for embedded pseudoholomorphic curves in symplectizations， math.SG/0112165 をみよ．）

問題 6 は Weinstein 予想に関係がある．すなわち，

問題 7 （難易度４）問題 6 を用いて，次のことを証明せよ． Seiberg-Witten-Floer homology が 0 でない 3 次元接触多様体の Reeb ベクトル場には必ず周期軌道がある．

前掲の KM 論文の出たぐらいの時期に， Mrowka にこのことを聞いたら，そういう応用があるはずだということは知っている (原文は単に I know)，というのが答えであった．もちろん試みたはずだから，そんなに易しい問題ではない． Mrowka に敬意を表して難易度は 4 にする．

話は変わる．加藤毅氏には Casson ハンドル上のゲージ理論についての，意欲的な論文 Four manifolds with tree like ends があるが，それを眺めたり加藤氏と話していると，次のような問題が気になってくる．

問題 8 （難易度４） M を次のいづれかとする． E_{8} を交叉形式に持つ 4 次元位相多様体から 1 点を除いたものに，微分構造を入れたもの． Exotic ℝ^{4}．この M に完備リーマン計量で，単射半径 > ϵ_{0} > 0， | 断面曲率 | < 1 なるものを与える．このとき，

VolB_{R}(p; M) > c exp(cR)

（c > 0）を示せ．（ここで， B_{R}(p; M) は 1 点 p を中心とした半径 R の球体．）

前に加藤氏に話したところ，「そんなことができれば苦労しませんよ」，という雰囲気だったので，難易度は 4 にする．エンドが指数増大でないならば，ゲージ理論が普通にできる，ことを示せばよいのだが・・・

話は変わる．自己共役接続のモジュライ空間を用いて，３・４次元多様体への群作用 (特に有限群の作用）を調べる研究は一時は多くあった．（たとえば， Furuta, A remark on a fixed point of finite group action on S^{4}. Topology 28 (1989), 35–38．）それらを行うときの難しさの一つは，横断正則性であると聞いている．すなわち，群作用で不変な計量 (摂動）を用いて，モジュライ空間が滑らかになるようにすることができないことである．筆者は小野薫氏との研究 (Topology 38 (1999), 933–1048) で，有限群の作用の関する同変横断正則性を解決する一つの処方箋を与えたが（その後の研究 K. Fukaya, K. Ono, Floer homology and Gromov-Witten invariant over integer of general symplectic manifolds—summary. Taniguchi Conference on Mathematics Nara ’98, 75–91, Adv. Stud. Pure Math., 31, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2001 も参照），これは上の難点を乗り越えるのに使えないだろうか？何ができそうで何が難しいかわからないので，漠然と次のように書いておく．

問題 9 （難易度２）倉西構造と多価摂動を用いる同変横断正則性の実現によって，自己共役接続のモジュライ空間の３・４次元多様体への有限群作用への新しい応用はできないか．

難易度が 2 なのは，方法の方が限定してあるので，もしできればすでに手がかりがあるからである．できないが答えである可能性もある．

話は変わる．

問題 10 （難易度３） Yang-Mills 理論に基づく Floer ホモロジー論に対応する有理ホモトピー型を定義せよ．

Floer ホモロジー論は\frac{∞}{2} 次元のホモロジー論であるが，ホモトピー論があるか，は筆者あたりも長年気になっている問題である． Seiberg-Witten-Floer ホモロジーについては，古田幹雄氏 (Monopole equation and the \frac{11}{8}-conjecture. Math. Res. Lett. 8 (2001), 279–291)， Bauer らの方法の 3 次元化によって， Manolescu, Seiberg-Witten Homotopy type of three-manifolds with b_{1} = 0, DG/010402 によって，ある意味でとかれたといってよい．古田氏らの仕事は， Seiberg-Witten 方程式でバブルがおきないことが有効に使われており，そのままでは Yang-Mills 場には有効でない．同様な問題は 4 次元でももちろんある． Bauer-Furuta, Bauer の論文 A stable homotopy refinements of Seiberg-Witten invariants I,II （http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ bauer/から手に入る）で Seiberg-Witten 不変量の一般化がなされている．

問題11 （難易度３） Bauer-Furutaの不変量と等価な不変量をYang-Mills 理論で定義するにはどうしたらいいか．

ゲージ理論ではなくなるが，同様の問題を挙げる． Manolescu の前掲論文は特に Seiberg-Witten Floer Ｋ理論があることを示している．（それが非自明なものか（たとえばホモロジー以上の情報を持つか）はしらない．

問題 12 （難易度２）シンプレクティック幾何の Floer ホモロジーで， Floer Ｋ理論を考えることができる場合を見つけよ．

Givental は Quantum K theory というものを提唱しているが，（たとえば A. Givental, Quantum Riemann - Roch, Lefschetz and Serre, math.AG/0110142) それと関係あるかは知らない．

問題 10,11 にについて我田引水的注釈をつける． Manolescu の結果は Seiberg-Witten-Floer 理論の汎関数を有限次元近似することによってなされている．一般にモジュライの方程式 df + Q(f, f) = 0 があり Q が 2 次式のとき， d が微分 Q が積と思って， DGA(differential graded algebra）が定まる．この DGA とホモトピー同値な A_{∞} 代数を形式的冪級数のレベルで構成できる (Fukaya, Deformation theory, homological algebra and mirror symmetry. Geometry and physics of branes (Como, 2001), 121–209, Ser. High Energy Phys. Cosmol. Gravit., IOP, Bristol, 2003．参照）．この A_{∞} 代数はコホモロジー群上あるいはそれを含む（サイクルのなす任意の）有限次元のベクトル空間上に定義される．この A_{∞} 代数を用いると，形式的冪級数のレベルで，汎関数の有限次元近似ができる．すなわち，

∑ \frac{1}{k + 1}⟨m_{k}(x, ⋯, x), x⟩  (1)

である．（⟨·⟩ は内積．） k = 2 でとまっている場合 (DGA の場合) は

\frac{1}{2}⟨dx, x⟩ + \frac{1}{3}⟨x^{2}, x⟩

で Chern-Simons 汎関数と同じ形である． (1) の臨界点がモジュライの方程式

∑ m_{k}(x, ⋯, x) = 0  (2)

の解になる．（(2) が (1) の変分で得られるためには，巡回対称性

⟨m_{k}(x_{1}, ⋯, x_{k}), x_{0}⟩ = ±⟨m_{k}(x_{0}, ⋯, x_{k−1}), x_{k}⟩

が必要である．もともとの DGA が内積を持ち巡回対称性をもてば，有限次元近似してできる A_{∞} 代数も巡回対称性を持つことが容易にわかる．）

問題 13 （難易度２） (2) と古田氏の大域倉西写像の関係を明らかにせよ．あるいは， (1) と Manolescu の有限次元近似の関係を明らかにせよ．

(1)の有限次元近似は繰り込み理論に関係がある．（たとえば， T. Nakatsu， Classical Open-String Field Theory ; A_{∞}-Algebra, Renormalization Group and Boundary States， Nucl. Phys. B 642 (2002) 13-90， hep-th/0105272 をみよ．）（ただし 0 ループのみ．）

古田氏にあなたの理論と繰り込み理論が (今書いたようにして）関係がありますよ，といったら，「知っています」，というのが答えだった．

0 ループがでてきたところで，高次ループの問題に移る． Casson 不変量は Floer ホモロジーのオイラー数だった． Floer ホモロジーは Chern-Simons 汎関数の臨界点の数のようなもので，上記の解説を安直に信じれば， 0 ループの不変量である． Floer ホモロジーの生成元（より素朴には平坦接続）に対しては， Chern-Simons 汎関数の径路積分の漸近展開のその臨界点（平坦接続）からの寄与に対応する不変量が知られており， Chern-Simons 摂動理論と呼ばれる（Axelrod-Singer, Chern Simons perturbation theory II, J. Diff. Geom. 39 (1991) 173 - 213）．これは，結び目の有限型不変量（Vassiliev 不変量）の 3 次元多様体版と信じられている． (1) が繰り込み理論と関わるという主張をまともに追求すると，高次のループを含む形で， (1) を一般化できる可能性がある．すなわち，余分な形式的パラメータ s を加えて，

f̃(s, A) = ∑ s^{g}f_{g}(A)

なる無限和で（A はたとえば 3 次元多様体上の接続のゲージ同値類あるいは，それをある平坦接続の周りで，有限次元近似した時の変数）， f_{0}(A) が (1) （あるいは Chern-Simons 汎関数の A の周りでの展開）になるようにできると思われる． (f_{g} が g ループの寄与である． ) これは， f （あるいは Chern-Simons 汎関数) を 1 パラメータで変形すると思えばよいであろう．このとき，

問題 14 （難易度 4） f̃(s, A) を使って， Floer ホモロジーを高次ループを含む形に拡張できないか.

この問題はちょっと漠然としすぎていて，また我田引水的過ぎるので，もう少し具体的になにかなされていることろで問題を挙げる．

Khovanov(sl(3) link homology IQA/0304375 ， A categorificatoin of Jones Polynomial, Duke Math. J. 101 (1999) 359 - 426 など) は，絡み目の量子不変量のあるものに対して，それがオイラー数になるような， 2 重 index のホモロジー論を定義した． Khovanov の方法は基本的には組み合わせ的である．すなわち， Jones 不変量でいえば径路積分を用いる Witten 流の議論とは異なり，結び目の投影と Skein relation を用いるものであると思われる．（筆者はまだ Khovanov の論文は眺めただけなので，確言する資格はないが．）

問題 15 （難易度 4） Khovanov のホモロジー群あるいはその 3 次元多様体の場合の類似物をゲージ理論を用いて定義せよ．

つまり， Casson 不変量に対して Taubes が Casson invariant and Gauge theory, J. Diff. Geom. 31 (1990) 547 - 599 でしたことをやりなさいというのが問題 15 である．

ここで 3 次元多様体の類似物といったとき，結び目の有限型不変量を LMO 不変量（Le, J.Murakami, T.Ohtsuki, On a universal perturbative invariant of 3-manifolds. Topology 37 (1998), 539–574 など参照）にしたときの， Khovanov のホモロジー群の対応物を指している． (まだ作られていないと思われる．）それで，問題 14 と結び付けるには，次の問題が出てくる．

問題 16 （難易度 3） LMO 不変量と Chern-Simons 摂動理論の不変量の関係を明らかにせよ．

この２つはともに 3 次元多様体の Witten 不変量の q = 1 の近くの展開系数と思われるが，展開の意味が，後者は普通の漸近展開，前者はより数論的（ mod p での合同を使った展開）であるという点で異なる．この辺の最近の発展を筆者はあまり詳しく追っていないが，この問題はまだ未解決と思われる．

LMO 不変量の系統はかなり発展しているが， Chern-Simons 摂動理論の方はあまり発展していない気がする．（Axelrod は数学の研究をやめてしまったと聞く．）その後の動きとしては Rozansky-Witten 不変量があったが（L. Rozansky, E. Witten, Hyper-Kahler Geometry and Invariants of Three-Manifolds, hep-th/9612216 など参照），筆者はあまり詳しく知らないので書かない．また D-brane とのかかわり（たとえば Ooguri-Vafa， Knot Invariants and Topological Strings， hep-th/9912123）でも Chern-Simons 摂動理論が復活している． D-brane とのかかわりを数学としてやるには，筆者が Morse-homotopy and Chern-Simons Perturbaton thoery, Comm. Math. Phys. 181 (1996) 37 - 90, で少しだけ初めて以後進めることができないでいる諸点を考えるのが出発点だと信じているが，問題として書くと繰り返しになり，またいろいろ定義がいるので書かない．代わりに，次の問題を書いておく．

問題 17 （難易度 2） M を３次元多様体とし， M 上の SU(2) 平坦束のモジュライ空間を R(M) とする． R(M) のある連結成分 R は多様体であるとする．このとき，この連結成分に対応する Chern-Simons 摂動理論の不変量を定義せよ．

現在できているのは， R が一点の場合である．問題 17 に関しては， Axelrod による論文 Overview and Warmup Example for Perturbation Theory with Instantons, hep-th/9511196 があるが，これは筆者には理解できない．（わかったといった数学者を知らない．）また， Reidemeister の捩れは種数１の場合とみなすことができるが，その場合は， L. Jeffery - J. Weitzman Half density quantization of the moduli space of flat connection and Witten’s semiclassical manifolds invariants, Topology 32 (1993) 509 - 526, が答えを与えていると思われる．

話は変わる．先の段落で引いた Khovanov の論文でも Ozsváth-Sabó の仕事が引かれている．これは， Seiberg-Witten 不変量の組み合わせ的計算法にも関わるのだが，この原稿の書き方だと， Atiyah-Floer 予想から話を始めるのが，自然だろう．まず Atiyah-Floer 予想そのものを書いておく．

問題 18 （難易度 3）ホモロジー３球面 M を Heegard 分解し M = H_{1} ∪_{Σ} H_{2} と書く． Σ(曲面）の基本群の SU(2) 表現の共役類全体を R(Σ) と書き，そのうち H_{i} へ拡張されるもの全体を L_{i} と書く． R(Σ) はシンプレクティック多様体で， L_{i} はそのラグランジュ部分多様体である． M の (Yang-Mills 理論での） Floer ホモロジーと L_{1},L_{2} のラグランジュ交叉の Floer ホモロジーが同型であることを示せ．

これはまだ未解決である． Atiyah に敬意を表して難易度は４にすべきかもしれないが，解決への道筋は前から見えているという意味で， (この原稿の基準では）３とする．ただし，もちろんまったく易しくなく，困難な点が多くある．現在 Wehrheim がこれに取り組んでいると聞く． (K. Wehrheim, Anti-self-dual instantons with Lagrangian boundary conditions I : Elliptic theory,math.AP/0204150)

問題 18 の Seiberg-Witten 版が次の問題なのだというのが筆者の理解なのである．（ちゃんと勉強していないので勘違いがあるかもしれない．）すなわち，曲面 Σ に対して， R(Σ)(問題 18 中の記号を使う）に対応するのが， Σ の対称積（Σ のいくつかの直積を対称群の作用で割ったもの）になり（これは Σ 上の直線束 L の接続 A と L の正則切断 s の組 A, s のモジュライ空間が，対称積になる（s のゼロ点を対応させる）ことに基づく），また， L_{i} に対応するのが， Σ の閉曲線で H_{i} で円盤を張るものの積を対称積のなかで考えたものになる (この理由はまだ私はきちんと理解していない）ことが根拠であると思われる． Ozsváth-Sabó が使っている微分 (境界作用素) は，ラグランジュ交差の Floer ホモロジーのものと微妙に異なる．そのことのゲージ理論（Seiberg-Witten-Floer ホモロジー）からの説明は筆者は知らない．

問題 19 （難易度 3） 3 次元多様体の Ozsváth-Sabó の Heegaard Floer homology が Seiberg-Witten-Floer ホモロジーと一致することを示せ．

Ozsváth-Sabó の不変量については， Ozsváth-Sabó， Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds， math.SG/0101206 など参照．４次元の同様な問題ももちろんある． Ozsváth-Sabó の関心は（１年前に聞いた限りでは）この問題よりも，不変量をどう応用するかあるいは不変量の組み合わせ的計算法を見つけることの方にあるようである．（問題 19 が現在アタックするには難しすぎるとか意味がないとか言うのでなく，やっている暇がないということのようだ．）それから，彼らは， Bauer-Furuta あるいは Manolescu の不変量を彼らの立場でどう定義するか，に多大の関心を示していた．（これは Bauer-Furuta の不変量の計算法が余りないせいであろう．）面白そうな問題であるが，発見者がやっているようなので，ここでは挙げるのを遠慮する．

３次元多様体の Floer ホモロジーの話を離れる前にそれに関して気になる問題をもう少し書いておく．

問題 20 （難易度３） Seiberg-Witten-Floer ホモロジーが Dehn 手術でどう振舞うか明らかにせよ． Floer の完全系列の類似はどのような形で成立するか．

Floer の完全系列については， P. Braam, S. Donaldson, Floer’s work on instanton homology, knots and surgery. The Floer memorial volume, 195–256, Progr. Math., 133, Birkhauser, Basel, 1995 参照．ただ Seiberg-Witten-Floer ホモロジーでは何らかの変更が必要なようだ． Kronheimer-Mrowka は Knot の Dehn surgery でできる３次元多様体が球面でなければその Floer homology は消えないという議論を考えたが，この議論を正当化するには， Yang-Mills-Floer ホモロジーが 0 ならば Seiberg-Witten-Floer ホモロジーも 0 であることを示す必要があり，それには彼らは成功していない．彼らの議論は Seiberg-Witten-Floer ホモロジーで Floer の完全系列が成立すれば Seiberg-Witten-Floer ホモロジーに対して適用できるが，どのような変更が必要かわかっていないので， Kronheimer-Mrowka の議論の何らかの変形が遂行可能かはわからない．

Heegaard Floer homology での Floer 完全系列のアナロジーはできているのだろうか？筆者は知らない．

これら Floer 完全系列のアナロジーたちを使って， Floer が考えたアイデア（いくつかの公理を満たす 3 次元多様体の Floer ホモロジーは一意であろうというもの． A. Floer, Instanton homology, surgery, and knots. Geometry of low-dimensional manifolds, 1 (Durham, 1989), 97–114, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 150, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990 参照）で種々の Floer ホモロジーの一致が示されれば理想的であるが， Floer のアイデアには Braam-Donaldson も指摘している難点（同型を示すのに必要な中間段階の多様体で Floer ホモロジーが Well defined かどうか分からないというもの）があり，また，一意性はその間に函手が存在すると仮定しないと Floer のアイデアでは示されないので，無理かもしれない．

もう一つ， 3 次元のゲージ理論の不変量関係の問題を書いておく．太田氏は博士論文で 3 次元多様体 M の整数に値をもつ不変量で Rholin 不変量を持ち上げたものを定義した．大体のアイデアは， M × S^{1} 上の自己共役接続のモジュライ空間を考え，これを然るべきホモロジー類できると， M を境界に持つ Spin 多様体が得られる．その符号数が不変量であるというものである．

問題 21 （難易度２）太田の不変量が Casson 不変量に一致するかどうかを明らかにせよ．

これにアタックするには，太田の不変量の Dehn 手術に関する振る舞いを調べるというのが自然であるが，これを太田氏は禁示手としてやろうとしなかった（3 次元多様体に人工的な付加物を加えず自然に不変量を定義するのが本来の目的であるので，と聞いている）．この禁示手を使えば，解けるのではないかという気がするので，太田氏には敬意をはらっているが難易度は 2 にした．

Seiberg-Witten は Gauge dynamics and compactification to three dimensions, hep-th/ 9603003 において， M × S^{1} 上のゲージ理論が M 上の不変量特に Casson 不変量と関係があることを論じたが，

問題 22 （難易度４）太田の構成と， Seiberg-Witten の議論は関係があるか．

面白そうな問題はまだまだあるが，きりがなさそうなので，最後に今まで挙げた問題中にはなかった難易度５の問題を２つ挙げてこの節を終わる．

問題 23 （難易度５）ゲージ理論を使って， 3 次元あるいは 4 次元多様体の間の微分同相写像を構成する方法を考えよ．

今までゲージ理論は， 3 次元あるいは 4 次元多様体の不変量を作る方にだけ使われてきた．不変量が一致すれば 2 つは微分同相といった定理はない．言い換えると， Morse 不等式の対応物はあったが， h 同境定理の対応物はない．これを作れというのが，問題 23 である．これに近い問題は次の節でも出てくるが，どれも難しい．とにかく自明でないことが何かできれば画期的であろう．

問題 24 （難易度５） Floer ホモロジーのド・ラームコホモロジー版を作れ．すなわち，無限次元空間上の\frac{∞}{2} 次の微分形式を然るべく定義し，その外微分からコホモロジー論をつくり，それが Morse 理論に基づく Floer ホモロジーと一致することを示せ．

E.Getzler に聞いてみたら， Hopeless との答えが返ってきた．ループ空間上の有限次ド・ラームコホモロジーなら確率論で研究されている．（それも大変難しく完成からは程遠いと聞く．）

§2．高次元の問題

最初に筆者が今やっているミラー対称性に近い問題をいくつか挙げる．述べるのにあまりいろいろなことがいるものは述べない．（筆者の論文 Asymptotic Analysis, Multivalued Morse theory, and Mirror symmetry (http://www.math.kyoto-u.ac.jp/ fukaya/から download 可能) には，予想を沢山書いたので，そちらも参照して欲しい．）

まず， Ricci 平坦な Kähler 多様体の Hausdorff 収束に関する問題を挙げる．この問題は，かなり昔に中島氏，坂東・加須恵・中島氏， Anderson らによって研究され，崩壊が起きないそして複素 2 次元の場合は，解決したが，それを超えてはまだ進展していないと思われる．最近の Colding や Cheeger-Colding の結果も崩壊が起きる場合にはあまり多くを語っていないと思われる．それらは，一般の実のリーマン多様体で Ricci 曲率が有界な場合を扱っている． Ricci 平坦な Kähler 多様体の場合はかなり特殊であり一般の場合とは手法が異なることも考えられる．

問題を限定し明示するため，次のような状況を考える． π : M → D^{2} を円盤でパラメトライズされた複素多様体の族とし， M_{q} = π^{−1}(q) とおく． D^{2} − {0} に制限すると， π は（C^{∞} の意味では）ファイバー束とする．特に， q ≠ 0 に対して M_{q} は滑らかな複素 n 次元多様体とする． M_{0} は特異点を許し， M のなかにはめ込まれた有限個の部分多様体の和とする．また，自己交差および成分同士の交差はすべて横断的とする． M_{q}, q ≠ 0 には， Ricci 曲率 0 の Kähler 計量が入るとする．計量を直径が 1 になるようにしておく． p ∈ M_{0} に対して c(p) を， U ∩ M_{0} の既約成分の数とする．ただし U は p の M での小近傍である．（たとえば， p である既約成分が自己交差しほかの成分は p を含まなず，自己交差は 2 重点であれば c(p) = 2 である．） c(p) の最大値を m とする．

問題 25 （難易度３） lim_{q→0} M_{q} は Hausdorff 次元 m の距離空間であることを示せ．

収束は Haudsorff 収束である．一番アタックしやすいのが次の場合であろう．

問題 26 （難易度２） M_{0} が埋め込まれた 2 つの連結な部分多様体 D_{1},D_{2} の和で， D_{1} ∩ D_{2} がやはり連結な部分多様体であるとする．このとき， lim_{q→0} M_{q} = [0, 1] であることを示せ．

D_{i} − D_{1} ∩ D_{2} に完備 Ricci 平坦な Kähler 多様体の構造が入り，そのエンドは [0, ∞) から Hausdorff 距離が有限で， M_{q} の計量はその「張り合わせ」で得られるのであれば，問題 26 は示される．この前半については小林亮一氏の研究がある．それを使えばできるかもしれないので，難易度は２とした．

問題 26 は m が一番小さい場合であるが，一番大きい場合が，ミラー対称性に関係がある．すなわち m = n の場合である． lim_{q→0} M_{q} = X とおく．

問題 27 （難易度３） m = n のとき， X には余次元 2 の部分集合 S があり， S は rectifiable かつ， X − S は滑らかな多様体であることを示せ．

いくつかの特別な X の場合に示すのであれば，難易度は２または 1 かもしれない． K3 曲面の場合は M. Gross, P. Wilson, Large complex structure limits of K3 surfaces, Differential Geom. 55 (2000), 475–546 で肯定的にとかれている．

問題 27 はミラー対象性の Strominger-Yau-Zaslow の描像（Mirror Symmetry is T-Duality, Nucl.Phys. B479 (1996) 243-259, hep-th/9606040）に関係がある．すなわち， m = n のときの M_{q} はラグランジュトーラスをファイバーとする特異トーラスファイバー空間になるという予想の証明へのステップである．この証明へのほかのアイデアとして，次の問題がある． m = n とする． π : 𝔐 → D^{2} の D^{2} − {0} への制限を考えると，そのモノドロミーからシンプレクティック同相 I : M_{q} → M_{q} が得られる．

問題 28 （難易度２）次のことを示せ． Hamilton 同相写像 φ : M_{q} → M_{q} があって，合成 I ∘ φ は，完全可積分系になる．すなわち，ある稠密な集合 U ⊆ M_{q} に属する p ∈ M_{q} に対して，その I ∘ φ に関する軌道の閉包はラグランジュ部分多様体であるトーラスになる．

この問題については， Fukaya, Galois symmetry on Floer cohomology, Turkish J. Math. 27 (2003) 11 - 33 をみよ．

問題 27 のゲージ理論版を考えたいが．その前に，高次元ゲージ理論の問題をいくつか挙げておく．

問題 29 （難易度３） R.Thomas の Holomorphic Casson 不変量を解析的（微分幾何学的）に定義せよ．

Holomorphic Casson 不変量については， R. Thomas, A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations. J. Differential Geom. 54 (2000), 367–438 をみよ．これは複素 3 次元 Calabi-Yau 多様体上のベクトル束の数を数えるものである．モジュライ空間の仮想次元 (virtual dimension) は 0 であることが分かっている．そこで，コンパクト化と横断性正則性ができれば，不変量が定まる． Thomas は代数幾何学的手法（代数的ベクトル束あるいは安定層のモジュライ空間とみなして研究する）でこれを行った． (上の論文を読んでいないので，どこまでできたが私はしらない．一応不変量までできていると思っているが．）これを自己共役接続のモジュライ空間と思って実行せよというのが，問題 29 である．この場合の自己共役とは

∗F_{∇} = F_{∇} ∧ ω

(ω は Kähler 形式) をさす．コンパクト化については， G. Tian, Gauge theory and calibrated geometry. I. Ann. of Math. (2) 151 (2000), 193– 268 である程度できている． Tian によれば，もし問題 29 ができれば，次の問題を考えることが自然であろうとのことであった．

問題 30 （難易度４） Holomorphic Casson 不変量はシンプレクティック同相で不変か．

とりあえずは， Holomorphic Casson 不変量は Kähler 多様体の不変量である．（Kähler 形式，複素構造の変形で不変かどうかはまだ示されていないのかもしれない．サボって論文を見ていないので分からない．）

考えられる一般化が，

問題 31 （難易度４） Holomorphic Casson 不変量を特殊ホロノミーを持つ多様体（Joyce 多様体）に一般化せよ．

特殊ホロノミーを持つ多様体については， D. Joyce, Compact manifolds with special holonomy. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2000 参照．

これらの不変量を双対性でうつすと，ある種の部分多様体 (Calibrated submanifold) の数になるというのが，物理で知られている予想である（D brane の双対性）．そのあたりのことを述べる前に，問題 27 のゲージ理論版を書いておく． T^{6} に複素構造の族を J_{ϵ} (\frac{∂}{∂x^{i}} ) = \frac{1}{ϵ} \frac{∂}{∂y^{i}} でいれる． Kähler 形式を ∑ dx^{i} ∧ dy^{i} でいれると，計量 g_{ϵ} が決まる． q = e^{−1/ϵ} とすると，この節のはじめの状況になる． lim_{ϵ→0}(T^{6}, g_{ϵ}) = T^{3} （x のほうが生き残る）である． π_{ϵ} : T^{6} → T^{3} を x 成分への射影とする． E_{ϵ} を (T^{6}, J_{ϵ}) 上の安定ベクトル束の ϵ に滑らかに依存する族とし，その上に Einstein-Herminian 接続を入れておく．

問題 32 （難易度３）グラフ Γ ⊂ T^{3} が存在して， π_{ϵ}^{−1}(Γ) の近傍の外では， E_{ϵ} の曲率が ϵ によらず有界であることを示せ．

T^{4} → T^{2} の場合の類似の問題は西納 (京大）の博士論文でとかれている． Holomorphic Casson 不変量と双対性の問題にもどる． M を c^{1} = 0 な

るシンプレクティック多様体， L をそのラグランジュ部分多様体とし，そのマスロフ指数は 0 とする．

問題 33 （難易度３） L の「安定性」の概念を定義し， L の変形である安定ラグランジュ部分多様体の Hamilton 同相類のモジュライ空間を構成せよ．

問題 34 （難易度３）安定なラグランジュ部分多様体 L と Hamilton 同相で移るラグランジュ部分多様体で，極小曲面であるものが存在することを示せ．

R. Thomas, Moment maps, monodromy and mirror manifolds. symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000), 467–498, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2001 参照．問題 34 は存在であるが，一意性については， R. Thomas, S-T. Yau, Special Lagrangians, stable bundles and mean curvature flow. Comm. Anal. Geom. 10 (2002), 1075–1113 がある．

M にミラーである複素多様体 M^{∧} がある場合を考える．次元は 3 としておく． (高次元への一般化もあると思われるが 3 次元でも十分難しい． 2 次元特にＫ３曲面でも問題は考えられる．） H^{3}(M) → ⊕_{k}H^{k,k}(M^{∧}) なる同形（ミラー写像と呼ばれる）があると考えられている． u ∈ H_{3}(M) のポアンカレ双対のミラー写像による像を w ∈ H^{k,k}(M^{∧}) とする．

問題 35 （難易度４） L ⊂ M なるラグランジュ部分多様体で， Floer ホモロジーが定義されるための障害が消え， [L] = u であるものの Hamilton 同相類の数は，向井ベクトル M(E) = c(E)\sqrt{T (M^{∧})} が w である E の Holomorphic Casson 不変量の和であることを示せ．

Floer ホモロジーが定義されるための障害につては， K.Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, and K. Ono, Lagrangian intersection Floer theory-anomaly and obstruction, をみよ．また向井ベクトルは

∫_{M^{∧}} M(E_{1}) ∧ M(E_{2}) = ∑(−1)^{k}rankH^{k}(M^{∧}; Hom(E_{1}, E_{2})))

がリーマン・ロッホの定理から従うように定義する．

問題 35 は Hamilton 同相類と障害を使ってとりあえず定式化したが，より素朴には，ラグランジュ部分多様体を（有理ホモロジー）球面に制限し， Hamilton 同相類をとる代わりに (極小または） Special ラグランジュ部分多様体と仮定する定式化もある．いずれにしても証明の前に，何らかの形で，正しい定式化を見つける必要がある．特殊ホロノミーを持つ多様体上の自己共役接続と Calibrated 部分多様体に対しても，同様な問題が考えられるが，より困難であると思われる．

Holomorphic Casson 不変量は正則ベクトル束の数であるが，普通の Casson 不変量の場合（平坦ベクトル束の数），それぞれの平坦ベクトル束に， Analytic torsion や Chern-Simons 摂動理論の不変量が付随している．この複素での類似が考えられる．すなわち， E → M^{∧} を 3 次元 Calabi-Yau 多様体上の正則ベクトル束とし， H^{∗}(M^{∧}; End(E)) = 0 とする．（すなわちモジュライ空間の中で， E は孤立点になっているとする．） \overline{∂}_{E} : End(E) ⊗ Λ^{0,k} → End(E) ⊗ Λ^{0,k+1} から Analytic Torsion の類似が定まる． τ(E) とかく．

問題 36 （難易度３） E のミラーであるラグランジュ部分多様体 L ⊂ M に対して，その Floer ホモロジーの Torsion は τ(E) に一致することを示せ．

Floer ホモロジーの Torsion につては， Yi-Jen Lee, Reidemeister torsion in symplectic Floer theory and counting pseudo-holomorphic tori, math.DG/0111313 なる論文がある．さらに進んで， Chern-Simons 摂動理論のアナロジーを考えることもできる．（Chern-Simons 摂動理論での平坦束径数の微分 d の代わりに，\overline{∂}_{E} を考える．）

問題 37 （難易度３） (E, \overline{∂}_{E}) に対して， Chern-Simons 摂動理論のアナロジーを展開せよ．

R.Thomas に聞いたところ，一度考えたことがあるが，ある難点で詰まってやめた．その難点は忘れた．というのが返事であった．難易度を 2 にしようかと思ったが， Thomas に敬意を表して 3 にする．（6 次元 (複素 3 次元）だと，繰り込み可能性に困難が生じるというのが，難点かもしれない．）

問題 37 をゲージ理論版とすると，重力版もある．これは， M. Bershadsky, S. Cecotti, H. Ooguri, C. Vafa, Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes Commun.Math.Phys. 165 (1994) 311-428 (hep-th/9309140) を数学的に正当化せよ，という問題になるが，問題 37 よりさらに難しいと思われる．

話は変わる． Gromov-Witten 不変量にかかわる問題を挙げる．

問題 38 （難易度３） Gromov-Witten 不変量の公理系を，その公理を満たすものが一意になるように与えよ．

Gromov-Witten 不変量の公理系には， Kontsevitch-Manin によるものがあるが，これを満たす不変量は一意ではない．（たとえば，普通のコホモロジーを変形している部分を全部 0 とおいても Kontsevitch-Manin の公理系が満たされると思われる．） Kontsevitch-Manin の公理系を満たす Gromov-Witten 不変量の構成法には， (本質的に異なるものは）大体 2 種類あって，代数幾何的なもの，解析的なもの（微分幾何的なもの）であるが，この 2 つの一致は Siebert や Li-Tian によって，確かめられている．だったら，この問題の意味は小さいかというとそうは思わない．この問題が解ければ，普通のホモロジー論の Eilenberg-Steenrod の公理系が果たしたのと同じ役割，すなわち，構成法の技術的な細部を知らなくても，使えるようになる，が期待される．問題 38 を解くには， Gromov-Witten 不変量を何らかの意味で拡張する必要があると思われる．有力な拡張の仕方は，相対化である．（Eilenberg-Steenrod の公理系でも相対ホモロジーまで一般化することが重要であった．）たとえば N ⊂ M なる複素多様体の対がある場合に， N の擬正則曲線で， N に含まれるものだけを数える（これは N の擬正則曲線を数えるのとは微妙に異なる）こと，また， N との交点の重複度などを決めてそれを満たす M の擬正則曲線を数えること，などが相対化にあたる．これは相対ミラー対称性といわれる研究で盛んに調べられている．たとえば， T.-M. Chiang, A. Klemm, S.-T. Yau, E. Zaslow, Local Mirror Symmetry: Calculations and Interpretations, Adv.Theor.Math.Phys. 3 (1999) 495-565, hep-th/9903053 などをみよ．（数学の論文では E. Ionel, T. Parker, Relative Gromov-Witten Invariants math.SG/9907155，などがあるが，どこまでできているか不明．）さらには， M 上のベクトル束も加えて定式化することも考えられる．これらの一般化した形の Gromov-Witten 不変量の満たすべき性質を書き上げ，それを満たす不変量がただひとつしかないことを示せというのが問題である．（3 次元の Floer ホモロジーで同様な試みが前にいろいろ行われた． Floer の前に引いた London Math. Soc. Lecture Note Ser., 150 の論文もそのひとつである．）

正しい公理を決めるには， N ⊂ M_{1}, N ⊂ M_{2} のとき， M_{1} と M_{2} を N に沿って貼った空間 M = M_{1} ∪_{N} M_{2} の Gromov-Witten 不変量を，相対 Gromov-Witten 不変量で表す必要がある． Contact homology(前に引いた Eliashberg らの論文参照）はそのひとつであるが，より代数幾何的複素幾何的な試みもいくつかある．このときは，この節の最初のような設定で考え， M_{0} と M_{q} を比較する．特に， M_{0} = M_{1} ∪ M_{2} N = M_{1} ∪ M_{2} などの場合が，上の設定である．この場合の研究は， Jun Li A degeneration of stable morphisms and relative stable morphisms AG/0009097，前出の Ionel-Parker などがある．

次に有名なGopakumar, Vafa予想について述べる． Gopakumar, Vafaは M-Theory and Topological Strings-I,II hep-th/9809187, hep-th/9812127 で次のようなことを述べている． Calabi-Yau 多様体 M （3 次元としておく）に対して，その上の BPS 状態の数，という整数があって， Gromov-Witten 不変量 (有理数）は BPS 状態の数を用いて次のようにあらわされる．

∑_{g≤0,β∈H_{2}(M;ℤ)}GW(g, β)q^{β}λ^{2g−2} =

∑_{k>0,r≥0,β∈H_{2}(M;ℤ)}BPS(r, β)\frac{1}{k} (2 sin (\frac{kλ}{2})^{2r−2} q^{kβ})

(3)

ここで， GW(g, β) は Gromov-Witten 不変量で，ホモロジー類が β で種数が g である擬正則写像の数（を数学的に正当化したもの）で， BPS(r, β) が BPS 状態の数である． (この式は M-Theory and Topological Strings-II の (3.2) 式． )． BPS 状態の数にあたる不変量を数学的に定義する試みの中で，一番進んでいるのが，細野・高橋・斉藤による， Relative Lefschetz Action and BPS State Counting, Internat. Math. Res. Notices, (2001), No. 15, 783-816, math.AG/0105148(高橋氏による解説，数理研講究録 1232,P160-173 も参照) で， Hodge 理論などにかかわる高度な代数幾何を駆使して， BPS 状態の数たるべき不変量を定義している．ただし，これと Gromov-Witten 不変量の関係については不明．また，不変量の変形不変性も不明．筆者の小野氏との共著論文（前に引いた Adv. Stud. Pure Math., 31 の論文）では，任意のシンプレクティック多様体に対して，「Gromov-Witten 不変量の整数部分」が定義されることが述べられている． (ただしこの論文の証明の細部はまだ書いていない．）この整数部分から Gromov-Witten 不変量が決まるかはやはり未解決．また，この「整数部分」は Calabi-Yau 多様体の場合に「BPS 状態の数」と異なる数になる．

この問題は，先ほど書いた Gromov-Witten 不変量の相対化と関係があり， Σ ⊂ M で Σ が M に含まれるリーマン面の場合に当たる．

BPS 状態の数を別に定義しないでもすむ定式化は次の通りである．

問題 39 （難易度２） (3) で（GW(g, β) を用いて）定義される BPS(r, β) が整数になることを示せ．

もちろん，それが細野・高橋・斉藤の不変量に一致することがわかれば，一番よい．（それなら難易度３．）

問題 40 （難易度３）任意のシンプレクティック多様体 M に対して，整数係数の不変量であって，それから Gromov-Witten 不変量が M のコホモロジーおよび特性類だけで決まる式で計算されるものをつくれ．

小野氏との論文の「整数部分」がひとつの候補である．問題 40 については， (3 次元） Calibi-Yau 多様体の場合以外では，物理の立場でも式の形の予想もないと思う．

小野氏との論文でできなかったことのひとつで，これにかかわることがあるので書いておく． M を複素 orbifold， E → M を複素 orbibundle とする．（複素構造の積分可能性は弱められるが，簡単のためこうしておく．）有限群 Γ に対して， M(Γ) を M の部分集合で，その等方部分群（局所的に ℂ^{n}/G と書たときの）が， Γ を含むものとする．問題 41 （難易度１） E のオイラー類 χ(E) の分解

χ(E) = ∑_{Γ} \frac{1}{♯Γ}χ_{Γ}(E)

であって， χ_{Γ}(E) は整数系数ホモロジーの元で M(Γ) の近傍に台を持つものを構成せよ．またこの分解が，ベクトル束の引き戻しに関して保たれるようにせよ．

小野氏との論文では， χ_{{1}}(E) の部分だけが定義され，それを用いて整数部分だけが定まった．問題 41 が解けると， Gromov-Witten 不変量の整数性や相対 Gromov-Witten 不変量に応用があると思うのだが，できていない．これは基本的には有限次元のトポロジーの問題である．ほかの特性類でも考えられる． M に何らかの複素構造を前提にしないと，問題 41 のような分解は標準的にはできそうにないことに注意しておく（小野氏との論文に理由が説明してある）．

Gromov-Witten不変量の整数性について面白い点は，公式導出にBernoui 数などが現われていて，多様体の特性数の整数性と形が似ていることである．ただし，これが形の類似を超えた何かを意味しているのか，わからない．（Bernoui 数がでてくる直接の理由は，リーマン面のモジュライ空間上のあるベクトル束の特性類としてであり，たとえばリーマン面のモジュライ空間のオイラー数がゼータ関数の特殊値になる（Harer-Zagier）などにかかわる．）これを Quatum K 理論で説明しよう，というのは，前に引いた A. Givental の論文などにかかわると思われる．

問題 42 （難易度４） Quatum K 理論を建設し，これを用いて Gromov-Witten 不変量の整数性を説明せよ．さらに，これから得られる整数性定理が Gromov-Witten 不変量の整数性のすべてであることを示せ．すなわち服部・ Stong の定理（特性数の整数性がすべて K 理論でわかるという定理，同境理論にかかわる）を「量子化」せよ．

今までは， Gromov-Witten 不変量すなわち閉じたリーマン面の場合を考えてきたが，ラグランジュ部分多様体がある場合も整数性（すなわちラグランジュ部分多様体を境界にもつ境界付きリーマン面からの写像に対応する Gromov-Witten 不変量の一般化に対する同様の問題）もある．実はこれはすでに前の節で議論していて， Chern-Simons 摂動理論にかかわる議論がそれである．すなわち，筆者の Comm. Math. Phy. の論文の議論を信じれば，あるいは E. Witten, Chern-Simons gauge theory as a string theory, The Floer memorial volume, Progress in Mathematics, 133. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995 (637–678) を信じれば，このラグランジュ部分多様体がある場合の Gromov-Witten 不変量は， M が実 3 次元多様体 N の余接束のとき， N の Chern-Simons 摂動理論の不変量になり，一般のときは「その量子化」になる．これについては，前にも引いた Ooguri-Vafa, hep-th/9912123 も論じている．これが本当に正しいなら，少なくとも有理性がでる．

問題 43 （難易度２） Chern-Simons 摂動理論の不変量が有理数であることを示せ．

上に書いたように，これは筆者の Comm. Math. Phy. の論文の予想が正しければ従う．また， LMO 不変量との関係（問題 16）がでればそれからも従うはずである．

Chern-Simons 摂動理論の「量子化」と書いた部分が，問題 35， 36 あたりのことのとかかわるわけである．（Floer ホモロジーの Torsion は 1 ループである． 2 ループ以上を考えると，種数が高い境界付きリーマン面からの（ラグランジュ部分多様体に境界条件を持つ）写像の数になる．

問題 43 は有理性であるが，整数性については，より微妙である． (3) のような式が知られているのか，よく知らない． Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston, Wheels, Wheeling, and the Kontsevich Integral of the Unknot, Israel J. Math. 119 (2000), 217–237, q-alg/9706004 の式を眺めていると，再び Bernoulli 数などが出てきて，何か関係ありそうなのだが不勉強でよくわからない．

話は変わって， Gromov-Witten不変量の収束問題について述べる． Gromov-Witten 不変量の母関数を考えると，形式的冪級数になるが，これが正の収束半径を持つかは，ずっと問題にされてきた．これを証明せよというのが問題である．ミラー対称性を示せばそれから従う．これが今のところ有力なプランだが，しかし，それではたとえば Calabi-Yau 多様体の場合にしか示せない．解析的な評価で示せないかを問題にしたい． M をシンプレクティック多様体とする． H_{∗}(M; ℝ) にノルムを入れておく．また H^{∗}(M; ℝ) の基底を x_{i} とする． GW(β, g, m) ∈ H_{∗}(𝔐_{g,m} × M^{m}) を Gromov-Witten 不変量とする．ここで， 𝔐_{g,m} は種数 g の m 点付きリーマン面のモジュライ空間のコンパクト化で， GW(β, g, m) は種数 g の m 点付きリーマン面からの擬正則写像でホモロジー類が β であるものの，基本ホモロジー類である．数にするには，基底 x_{i} 以外に 𝔐_{g,m} のホモロジー類を決めないといけないが，このホモロジーは計算されていないので，とりあえずその中心的な部分である， Mumford-Morita 類を考えよう．これは， marked point の接空間に対応する 𝔐_{g,m} のチャーン類から作られる 𝔐_{g,m} のコホモロジー類で， g,m を増やす操作で安定なものである．全体を動かすと，多項式環 ℚ[e_{1}, e_{2}, ⋯, σ_{1}, σ_{2}, ⋯] をなす．（S.Morita, Characteristic classes of surface bundles. Invent. Math. 90 (1987), 551–577 などをみよ．）

問題 44 （難易度４） P ∈ ℚ[e_{1}, e_{2}, ⋯, σ_{1}, σ_{2}, ⋯] とすると，

|GW(β, g, m) ∩ (x_{i_{1}} × ⋯ × x_{i_{m}} ∪ P)| < C(M, P) exp(C(M, P)|β|)

なる C(M, P) が存在することを示せ．ここで，左辺は次数が合って数になる場合だけを考える．

砂田氏は，非正曲率空間への調和写像の数が高々指数増大であることを示しているが，それに似ている．ただし，ここで考えている場合は，曲率の条件がないため，汎関数が凸でなく，非正曲率の場合のア・プリオリ評価は正しくない．実際バブルがある．これを何とかするのが， Gromov のコンパクト性で，エネルギーが有界ならば，「バブルを法にして」ア・プリオリ評価ができることを主張する．問題 44 は，この評価をエネルギーが大きくなる極限で，定量的にやることができれば解ける．（一般のシンプレクティック多様体でやるには，そうでもしないと方法がないであろう．）この線で 5 年ぐらい考えたが解けなかったので，難易度は 4 とする．ミラー対称性で Gromov-Witten 不変量の母関数の収束を示せ，のほうなら難易度は 3 であろう．

Floer ホモロジーの境界作用素のほうでも同様な問題がある．その有限次元版の Novikov ホモロジーについては， A. V.Pazhitnov, Rationality of boundary operators in the Novikov complex in general position. St. Petersburg Math. J. 9 (1998), no. 5, 969–1006 でとかれているのだと思う．その高次ループ版の場合は，擬正則曲線の場合より，だいぶやさしいであろう．たとえば，

問題 45 （難易度１） (3 次元多様体の） Chern-Simons 摂動理論の不変量の値が，ループ数を増やしたとき高々指数的に増えることを示せ．

まじめに考えていないが，この形だと簡単に示せるかもしれない． Chern-Simons 摂動理論の不変量のモースホモトピー版が， Pazhitnov の高次ループ版に近く，本当はそちらを問題にしたい．

話は変わって，非可換幾何学がでてくる問題をひとつだけ述べる．非可換幾何学がかかわるところでは，漠然とした問題ならいくらでも作れるが，手堅いのをひとつだけにとどめる． Baranikov-Kontsevich は Calabi-Yau 多様体の Extended deformation を形式的冪級数のレベルで作り（S.

Barannikov, M. Kontsevich, Frobenius Manifolds and Formality of Lie Algebras of Polyvector Fields, alg-geom/9710032），その収束性は Y. Itagaki, Convergence of the normalized solution of the Maurer-Cartan equation in the Barannikov-Kontsevich construction. J. Math. Soc. Japan 54 (2002),309–328 で証明された. この Extended deformation でできたものの上の連接層の導来圏を作れというのが問題である．もうちょっと正確に述べる． M を Calabi-Yau 多様体 (3 次元でなくてもよい）とする．ドルボー作用素は\overline{∂} : Λ^{p,q}M → Λ^{p,q+1}M を定める． b ∈ Γ(T_{C}M ⊗ Λ^{0,1}M) に対して，\overline{∂}_{b} = \overline{∂} + b ∘ ∂ を考えると， (\overline{∂}_{b})^{2} = 0 が複素構造の変形を与え， Calabi-Yau 多様体の場合には， Tian-Todorov の定理より障害が消え， H1 ; \overline{∂}(M; T_{C}M) が変形のパラメータになる． T_{ℂ}M ∼ Λ^{n−1,0} に注意しておく．このとき，変形のパラメータを H1 ; \overline{∂}(M; T_{C}M) ≅ H^{n−1,1}(M; T_{C}M) から， ⊕_{n−(k+ℓ)=odd}H^{k,ℓ}(M; T_{C}M) に広げたものを extended deformation という．その元 b で 0 に十分近いものに対しては，

\overline{∂}_{b} : ⨁_{p+q=even} Λ^{p,q}M → ⨁_{p+q=odd} Λ^{p,q}M  (4)

がきまり（odd → even も） (\overline{∂}_{b})^{2} = 0 になるというのが， Barannikov-Kontsevich-Itagaki の結論である．普通の複素構造の変形との大きな違いは，ドルボー複体が， ℤ でなく， ℤ_{2} で次数付けられる点である．これを， (M, \overline{∂}_{b}) と書こう．これは非可換複素多様体とかかわるべきものであるが，通常の非可換幾何より幾何学的な実体がある．

問題 46 （難易度２） (M, \overline{∂}_{b}) 上の「連接層の圏の導来圏」を定義せよ．

何らかの意味で， (4) の上の加群の複体の圏から作られるのではないかと思うのだが．（導来圏なら ℤ_{2} で次数付けられればよいであろう．）

S.Barannikov， Quantum periods - I. Semi-infinite variations of Hodge structures， math.AG/0006193 などを見ると，できているかのように書いてある気もするのだが，実際に作られたのをみたことがない．問題 46 は現時点では未解決といっていいのだと思う．

問題 47 （難易度２） M 上の連接層の圏の導来圏の変形理論と， M 自身の extended deformation の関係を明らかにせよ．

この問題はホモロジー的ミラー対称性から，有理曲線の数え上げとホッジ構造の変形理論の関係という，ミラー対称性で最初に問題にされた部分を導こうとすると，考えなければならない点である．

話は変わる．ラグランジュ部分多様体の action spectrum にかかわる問題を挙げる． (そういう概念はまだない．シンプレクティック同相の action spectrum ならある．）これは，半年前ぐらいから暇があったらやろうと思っていたのだが，いっこうに暇ができそうにないので，以下に書く． Floer ホモロジーを研究すると，実数でフィルター付けられたチェイン複体によく出くわす．すなわち，モース関数の値そのものによるフィルター付けである．これはさまざまな種類の Floer ホモロジーで共通である．このようなものから生じるスペクトル列にかかわるホモロジー代数的な問題をまず挙げる．代数の問題なのだが，決して易しくない．

Λ = {∑ a_{i}T^{λ_{i}} | a_{i} ∈ ℚ, λ_{i} > 0, lim_{i→∞} λ_{i} = ∞}

とおく．（これを普遍ノビコフ環と呼ぶ．） Λ 加群のチェイン複体 (C, ∂) で λ ∈ [0, ∞) なる (実数) によるフィルター付け F^{λ}(C) があるものを考える．すなわち， F^{λ}(C) ⊂ C でこれらはチェイン複体をなし， T^{μ}F^{λ}(C) ⊂ F^{λ+μ}(C) が成り立つとする．（T^{0} = 1 とみなす．）スペクトル列を作るには，連続的なフィルター付けから，離散的なフィルター付けに移る必要があるが，そのやり方は一意でない．そこでたとえば次のようにする． α ∈ (0, ∞) をひとつとる． 𝔽_{α;k}C = F^{kα}(C) とすると，自然数 k でパラメトライズされたフィルター付き複体 𝔽_{α}C ができる． C に有限性条件を仮定し， α を十分小さいとすると，これから収束するスペクトル列ができる． (K.Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, and K. Ono, Lagrangian intersection Floer theory-anomaly and obstruction の §A4 をみよ． ) その ℓ 番目の微分を d^{ℓ} とかく．

Sp(C; α) = {αℓ|d^{ℓ} ≠ 0}

とかく．これは [0, ∞) の部分集合である．

問題 48 （難易度２） C についてのしかるべき有限性の仮定の下で，極限 lim_{α→0} Sp(C; α) が [0, ∞) の離散的な部分集合に，コンパクト Hausdorff 位相で収束することを示せ．

C としてラグランジュ部分多様体の Floer ホモロジーを定義する複体の Bar 複体（これはいつも複体になる）をとったときの，問題 48 の極限が生成するモノイドを，ラグランジュ部分多様体の Action spectrum と定義したい．問題 48 が正しければ，これは，ラグランジュ部分多様体の Hamilton 同相不変量になる．

同様な構成はたとえばゲージ理論の Floer ホモロジーでもできるはずである．

周期 Hamilton 系の Action spectrum とは，周期軌道が臨界点になるような汎関数を考え，その臨界値の集合である．ホモロジー的な (あるいは位相的な）理由で，消えることができない臨界値だけを考えようとすると，問題 48 のようなことに行き着く．シンプレクティックホモロジー（A.Floer, H.Hofer, Symplectic homology. I. Open sets in C^{n}. Math. Z. 215 (1994), 37–88 など参照）もこのような考察とかかわっているのだと思うが，まだよく勉強していない．上のラグランジュ部分多様体の Action spectrumはそのラグランジュ部分多様体版といえる．それができたとして，

問題 49 （難易度３）ラグランジュ部分多様体の Action spectrum はラグランジュ部分多様体の連続変形で，連続に動くか．

連続に動くなら，スペクトル流のようなものが見えるように思う．

話はかわる．次の問題は森重文氏から奈良の最後の谷口研究会でもらった宿題である．

問題 50 （難易度４） Λ^{n}M の双対が豊富な射影多様体 M は有理曲線を含むことを擬正則曲線の理論を用いて証明せよ．

森氏はこれを標数 p への帰着を用いて証明した．まず，十分に種数が大きい曲線を作り，それを複素構造を動かすことなく M のなかで動かすことができれば，問題は解ける．標数 p に持っていって Frobenius 写像に関する分岐被覆をとって，モジュライ空間の (仮想）次元をあげるというのが森氏の方法である．モジュライ空間を考えるのは擬正則曲線の理論と話が合うが，仮想次元が負のものを扱う手段がない． (大域倉西写像を使えないかなどと考えているのだが・・・）難易度は５とすべきかもしれない．

問題はまだいくらでもあるが， 50 ぐらいでやめようと思っていたので，難易度５の問題を２つ書いて終りにしたい．

問題 51 （難易度５） 6 次元以上の多様体で，その上のシンプレクティック構造が (非自明に）分類できる場合を見つけよ．

たとえば H^{2} が 0 だから空集合などというのは自明とする． 4 次元の場合には， ℂP^{2} では分類があり，すなわち一意である．（これは Gromov と Taubes の大論文をあわせて始めて証明される）．また， Ruled surface などは McDuff の結果 (D. McDuff,The structure of rational and ruled symplectic 4-manifolds. J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 679–712 など) がある．（これも基本的には Gromov-Witten と Seiberg-Witten の両方を要する．上の論文ではまだ Seiberg-Witten 理論と Taubes の定理がなかったので，有理曲線の存在を仮定に入れていた）．ほかにも 4 次元では例があるかもしれない． 4 次元でこれが可能になったのは，次の事情である． 4 次元の場合には擬正則曲線は， 6 次元以上の場合より，より本当の正則曲線に近い．たとえば， 4 次元の擬正則曲線を数えるときは，符号は自動的に正になりキャンセルしない．また， 4 次元の擬正則曲線同士の交わりを考えると，共通部分の孤立点の交点数への寄与はいつも正である． (D.McDuff, Singularities of J-holomorphic curves in almost complex 4-manifolds. J. Geom. Anal. 2 (1992), 249–266 などをみよ)．この種のことを Automatic regurality という．これは 4 次元でしか成立しない． Automatic regurality より，たとえば Ruled surface の場合には，擬正則曲線である球面で法束が自明であるものがあると，それを動かして多様体を覆ったとき，お互いに交わらないことがわかり，それで多様体の構造がわかる．

6 次元以上で同様な考察をしようとすると， Automatic regurality がないので，擬正則曲線の数とたとえば Gromov-Witten 不変量の関係がはっきりしない．（Gromov-Witten 不変量は符号付きの数なのでキャンセルしてしまうかもしれない．）また，擬正則曲線同士の交わり方や，擬正則曲線の退化を制御する方法がない．さらに，問題 50 のようなことが (シンプレクティックなカテゴリーで) わからないと，そもそも擬正則曲線を見つける方法がない． (現在ある方法は Donaldson による擬正則切断を用いる方法 S. Donaldson, Symplectic submanifolds and almost-complex geometry. J. Differential Geom. 44 (1996), 666–705 であるが，これは問題 50 のところで，まず，十分に種数が大きい曲線を作り，と書いた段階に対応する．次のステップは知られていない． 4 次元のときは Taubes により Gromov-Witten 不変量が重要な場合に微分同相類（Seibeg-Witten 不変量）で決まることがわかっているので，それが使える．）

おそらくこれらのことが理由で， Eliashberg は日本数学会年会の総合講演で， 6 次元以上では擬正則曲線は役に立たない（Useless）という冗談 (それとも本気？）をいっていた．

問題 51 はある意味で問題 23 と似た問題である．この種の問題で少しでも易しい問題はと考えたのが，シンプレクティック S 同境予想（K. Fukaya, The Symplectic s-cobordism conjecture: a summary. Geometry and physics (Aarhus, 1995), 209–219, Lecture Notes in Pure and Appl.

Math., 184, Dekker, New York, 1997）なのだが，必要な予備知識をできるだけ減らしてそれを書くと，

問題 52 （難易度４） φ : M → M をシンプレクティック同相とする．その Floer ホモロジーやその Torsion を用いると， φ と Hamilton 同相の合成の固定点の数についての下からの評価が出る．この評価が最良であることを示せ．すなわち， Floer ホモロジーなどで禁止されていない限りで，できるだけ固定点の少ないシンプレクティック同相を作れ．

問題 51 よりはやさしいと期待して難易度は４にしたが・・・

問題 53 （難易度５） (実)3 次元以上の多様体からの写像のモジュライ空間を使って，位相的場の理論の不変量を作れ．

この問題が Brane の理論の量子化を行え，のひとつの数学的定式化だと思う．問題 33 あたりはこれと関係がある． Calibrated 部分多様体の数，などはこの候補となりうる不変量であるが， Calibrated 部分多様体を定義するには，多様体が特殊ホロノーミーを持たなければならず，これはシンプレクティック構造を持つといった「位相的」な条件ではない．（Gromov の用語を借りると， Soft な条件でなく Hard な条件である．）位相的場の理論という以上， Soft な構造から作らないといけない．その意味では問題 30 も問題 53 とかかわる． 3 次元以上の多様体からの写像のモジュライ空間のコンパクト化はきわめて困難である．曲面の一意化が可能であったのが，共形場の理論が生まれ弦理論が生まれた背景であり， Gromov-Witten 不変量ができた背景でもある． 3 次元多様体の 1 意化（Thurston 予想）の解決を Perelman が宣言したとも聞くが，それが Brane の理論の量子化に使われる日がいつか来るのだろうか．