1997.2 「数学と物理のこの 20 年」第 1 章

By 深谷賢治

Encounter with Mathematics 第 2 回於中央大学

v. 0.28 2001 年 1 月 23 日

講演録作成：横山美佐子

目次

第 0 章資料：事前の案内 1

第 1 章物理学者は幾何学者から何を学んだか？ 3 1.1 題名についての注釈：幾何学と物理のこの 20 年 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 今日の題名・・・物理学者は幾何学者から何を学んだか？ . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 モジュライ空間という概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 よく聞くけれども、あまり分からない言葉・・・理論のモジュライ空間・真空のモジュ

ライ空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 ある条件とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 古典解のモジュライ空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 量子化するという操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 古典解の空間を量子化すると、どうして、真空のモジュライと見なせるのか …. 5 1.9 古典解の空間を量子化すれば . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.10 モジュライ空間の例・・・数学に現われる共通のパターンと物理における対応物 . . 6 1.11 複素構造のモジュライ空間を調べるということ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12 Flat connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.13 Vector 束の複素構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.14 自己共役方程式（接続） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.15 （概）複素曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.16 変分問題と偏微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.17 どうして違うか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.18 下から評価されている . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.19 ボコモロミー不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.20 ゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.21 方程式が楕円型でない . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.22 ゲージ粒子の質量は 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.23 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.24 ノン・コンパクト性は何と関わるか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.25 注釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.26 Stability が崩れる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.27 それは、多様体やベクトル束を固定しているから・・・ . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.28 数学において、いろいろな位相型を一斉に考えている例 . . . . . . . . . . . . . . . 20

第0章資料：事前の案内

幾何学の世界に理論物理学の影響が顕著になって、かなりの年月がたちました。これは、同時に理論物理学で、大域的な幾何学の見地の役割の重要性が、次第に明らかになってきた歴史でもあります。

例えば、アノーマリ、超対称性、ファインマン経路積分、超弦理論、位相的場の理論、共形場の理論などの、理論物理学に属するトピックと、アティヤ・シンガーの指数定理、さまざまな非線型方程式の解のモジュライ空間、 3 次元多様体や 4 次元多様体の不変量、 Hyper Kähler Geometry、大域シンプレクティック幾何学 (Symplectic topology) などの多くの話題が、相互に深く関わり合いながら発達しました。

その流れを振り返りながら、いろいろな考えをみていきたいと思います。トピックは、例えば上に挙げたような、ここ 20 年ぐらいの間の、幾何学と物理学が関わって発達した話題の中から、幾つかを選んでお話ししたいと思います。

これらのうちで、物理学に属するものの多くは、それが発見された頃に、物理学者に話を聞かせてもらった事柄です。しかし、私なども、当時、未消化なまま済ませてしまったことが多かったように思います。また、私などの理解では、それぞれ、断片的に聞こえてくるだけで、物理学と幾何学との多くの関わりが、全体として、どんなストーリーになっているのか、なかなか見えませんでした。いまでも、私が、きちっとした全体像を把握しているわけでは到底ありませんが、この機会に、少しでもまとまった形でお話しできたらと思います。

理論物理学に属する事柄に関して、私は、当然、専門家より理解・知識が不足しているわけですが、他面、数学を専門とする人間にとって、何が分かりづらいか、また、どんな言葉使いが自然であるかには、より通じていると思います。数学者が物理学者の言うことを、いつも聞くだけであると、結局未消化に終わるというのが、私自身の経験から来る、過去の教訓であるように思えますので、数学者の言葉で語るという試みを、出来るだけしてみようと思います。

お話しする題材を何にするかは、まだ決めかねている事も多いのですが、そうできたらいいと考えているのは、例えば、次のような点です。

� 無限次元にかかわる考察から、有限の量が引き出せるのは、そして、それを調べることが出来るのは、どのようにしてか。

� 理論物理学で、大域的な幾何学、例えば、空間の位相幾何学的性質が、どうして、また、どのように現れるか。

� 理論物理学のどのような概念が、数学のどのような概念と関わっているのか。

勿論、このようなことを一般的に話すのが予定ではなく、それを示している具体的な例を話してみたいと考えています。

第1章{物理学者は幾何学者から何を学ん \atop だか？}

1.1 題名についての注釈：幾何学と物理のこの 20 年

ええと、題名に関する注釈が、 2 つか 3 つありまして。まず、数学と物理のこの 20 年というのは、多分、それは話せなくて、「幾何学と物理のこの 20 年」にする。今年の 8 月ぐらいに、京都の大文字セミナーという所で、高校生相手に話をしたことがありますが、その時は、「幾何学と物理この 300 年」というのでした。それで、来月、 Survey in Geometry というので話すのは、多分、「幾何学と物理この 2,3 年」というもので、まあ、今日はその中間ぐらいですので、「2,30 年」ということでお話ししたいと思います。これが、注釈の一番目です。

1.2 今日の題名・・・物理学者は幾何学者から何を学んだか？

それで、今日の題名はですね。こういう題名にしようと思うんですが。

物理学者は、幾何学者から何を学んだか？  (1.1)

あの、全体の題名は逆だったんですけれど。これを公けの所に書くと、物理学者から怒られるんじゃないかと思って、こういう題名にしたんですが。これから分かるように、今日の話は、ほとんど数学に近いわけですが。数学のそういう概念というのは、多分、いろいろ、物理の等価物があるだろうと思われるわけです。その関係というのは、ある意味で、はっきり分かっていない — はっきり分かっていないというのは、僕がよく分かっていないということなんですが — そういう関係があるんじゃないかということをいくつかお話ししたいと思うわけです。

1.3 モジュライ空間という概念

それで、話したらいいというものの中の一番は、多分、モジュライ空間という概念ではないかと思います。

（１）モジュライ空間

\underline{ある条件}を満たす対象 (object) たちの集合を図形とみる � 微分幾何では、非線型偏微分方程式 (PDE) であることが多い (1.2)

ですから、今日は、モジュライ空間というものが、数学と物理でどういう風に、いろいろ出てくるかという、そういう話をしたいわけです。モジュライ空間というのは、数学では、ずっと、はるか昔からあってですね。恐らく、始めたのは、リーマンじゃないかと思うのですが。そのころから、ずっとあるわけですが。モジュライ空間とは、何かと言いますと、何かある条件を満たす対象 (object) の集合というのを、図形だと思ったものなんです。その図形としての性質を考えるというのが、モジュライ空間というものの大事な考え方だと思うんですが。

1.4 よく聞くけれども、あまり分からない言葉・・・理論のモジュライ空間・真空のモジュライ空間

それで、物理の方でですね、 — 僕はまだ、よく分かってないかも知れないんだけど — 理論のモジュライ空間とか、あるいは、真空のモジュライ空間という言葉を、最近、よく聞くようになりました。

理論のモジュライ（or 真空のモジュライ）  (1.3)

恐らくこの言葉は、数学から入ったんだと思うんですけども。理論のモジュライとかいうのと、真空のモジュライというのが何かというのは、実はよく分からないんです。１月ほど前に、ある勉強会で、古田さんなんかとそういう話になりました。理論のモジュライ、乃至は、真空のモジュライというふうに物理の方で呼ばれているものを、数学者の言葉で、どういう風に理解するか、或いは、数学の定義ですか。そういうのをいろいろ考えたかったのですが。それを古田さんなんかとしばらく、こう議論した結論は、やっぱり、我々の言葉では、まだ、理解できないというもので。こういうのをちゃんと数学の言葉で理解するというのは、すごく大事なんだと思うんです。実際、最近の Seiberg-Witten の duality の論文なんかを見てますと、彼らの最初に調べる対象は、理論のモジュライ、乃至は、真空のモジュライなわけです。真空のモジュライというのがどういうものかというのをちゃんと理解するというのが、むしろ、目標になっているんです。

1.5 ある条件とは

それで、理論のモジュライというのはどういうものかというのを、考えたいわけですが。その前にこういうことを。数学の方で、「ある条件を満たす対象たち」というように言いましたけれど。出発点において、ある条件というのは、いろいろあり得るわけです。特に、微分幾何で、ある条件というのは、多くの場合に、非線型偏微分方程式です。ですから、ある非線型偏微分方程式を満たす、ヤコビアンとか関数、あるいは、もうちょっと複雑な、何かそういうもの全体、 — 本当はここに多項式も入るんですが — そういうものが、出てくるわけです。

1.6 古典解のモジュライ空間

例えば、古典解のモジュライ空間というのがあります。古典解というのは、何かと言いますと。普通、物理をやろうと思うと、ラグランジアンというのを考えるか、運動方程式、あるいは、微分方程式を考える。まあ、場の理論なんかを考えるときは、こういう微分方程式を満たす対象全体を考えるというのがあります。この、非線型 PDE というものを、場が満たすべき微分方程式だと思う。そして、これを満たすもの全体というのを古典解の空間と思おう。

古典解のモジュライ空間 � 量子化 理論のモジュライ（真空のモジュライ）  (1.4)

非線型偏微分方程式の解というのは、量子化する前の、古典的な物理の理論での解だと思うわけです。ですから、まず最初に、普通の偏微分方程式の古典解を考えて、そいつを出発点とします。これが、恐らく、普通の数学で言うところの、或いは、幾何学で出てくるところの、モジュライ空間になっています。

1.7 量子化するという操作

物理の論文で、理論のモジュライと書いてありますが。「量子補正を受けないから、幾何学で入れた」というような言い方をされるわけです。それは、こういうことなんです。

運動方程式というのを考えるとします。例えば、電磁場だったらば、普通のラプラス方程式なんですが。そういう、もともとの場の方程式を満たすような、解全体というのを考えると、それは、量子化する前の、古典的な解を表わしている。理論のモジュライというのは、ここに量子化するという操作が入る。で、私は、その量子化という操作が、やっぱり分からなくて。古典的な偏微分方程式の解のモジュライ空間というのが、何らかの量子化という操作によって、変形が起きるわけです。こういうことが、いろいろ行なわれています。この量子化を調べるということが、今、多分、こう非常に重要な役割を果たしているんだと思います。実際、古典解の空間として、モジュライ空間を数学の立場から理解し、調べるというのは、現在の幾何学の中心的な問題だと思うわけです。そういうのと、さらに、それを量子化するという、そういう手続きが、非常に大事なことです。

理論のモジュライ、あるいは、この区別、僕、ちょっと下手なんで。真空のモジュライと書いた方がいいかもしれませんが。これ、きっと古田さんの話で出てくると思います。

1.8 古典解の空間を量子化すると、どうして、真空のモジュライと見なせるのか

ちょっとだけ粗く申し上げたいんですが。偏微分方程式の解の空間、つまり、古典解の空間というのが、量子化する、何らかの変形を受けるにしても、どうして、真空のモジュライというふうに見なせるのか。それは、こうなんですね。

{� 一番エネルギーの低い解（基底状態） \atop � 今、考えている解にどのくらい基底状態があるか？}  (1.5)

こういうのは、口で言った方がいいかもしれませんが。古典解の空間というのは何かと言いますと、物理現象を支配するような偏微分方程式の解全体の空間なんです。その解の中で、ある意味で、一番エネルギーが低い解というのを考える。それが、ある意味で、最低エネルギーの状態、基底状態、まあ、真空を表わしているという風に思うわけです。こういうふうに、古典解がありましたらば、これは、何かモジュライ空間なわけですが。この辺に、こういう状態があるわけですが。そうすると、量子効果というのは、よく分からないけれど、こういう所を何かふらふらとですね、状態があって、ふらつくと。ですから、ここに古典解の空間があって、その近くを解がふにゃ、ふにゃ、ふにゃっと動いていると見るとします。その辺を見ることに依って、何か、量子化という、何か非常に難しい操作が起こって、古典解の空間というのが何らかの変形を受けるわけですが。

1.9 古典解の空間を量子化すれば

それはともかくとして、第 0 近似、最初の近似を考えるとします。今、考えている系に、どのくらい基底状態があるかというのを考えることが、その系を支配するような非線型偏微分方程式の解全体を調べることに対応しているわけです。それで、もうちょっとだけ申し上げますと。こういうことに関しては、現時点、どんな感じのことが出始めたかと言うと。古典解の空間 — それは、数学の方では、よく知られた概念なんですが — それを量子化したときに出てくるような真空のモジュライ空間、あるいは、理論のモジュライ空間というのが、どういった具合になるかというのを、具体的に調べた例というのが、いくつか出てくるわけです。

古典解の空間を\underline{量子化した}空間・・・いくつかの例がある � 数学の言葉で定式化できていない  (1.6)

その古典解の空間という、ある偏微分方程式の解の全体というのから出発して、そいつを量子化すると、ちょっと違った空間が出るわけですけれども。その違った空間の例とかいうのがいくつか見えてくるわけです。それは、物理学者の仕事なんですが。で、例はいくつか見えていて、何となくもっともらしい説明があるわけだけど。果たして、こういう真空のモジュライ、乃至、理論のモジュライとかいうのが、何で、何を計算して、こういう変形が見えたかというのは、多分、数学者の言葉で、明確に定式化されてないんです。以上、前置きが長くなりましたけれども。

1.10 モジュライ空間の例・・・数学に現われる共通のパターンと物理における対応物

それでですね、突然、数学の話を少ししたいわけですが。数学の話をした後に、また、物理の話に戻る、物理っぽいことをちょこっと言うとかいうのを繰り返したいと思うんですが。まず、モジュライ空間の例というのをお話ししたい。この話は、特に、幾何の方には、ほとんど周知の例ばかりだと思うんで。ちょっと、しばらく退屈かもしれませんが。それぞれの例というのは、いろいろ幾何学的に大事なので。

モジュライ空間というのは、昔から、いろいろ調べられてきました。それは非常に多くの種類のモジュライ空間というのが考えられてきたわけですけれども。モジュライ空間というのには、最初に、複素構造というのが、あるわけですが。それは、リーマンが考えて、小平先生が考えたモジュライ空間なんですが。

これからモジュライ空間の例をいろいろしゃべって。それで、数学の方の研究に現われる、顕著で共通のパターンというのを、いくつか指摘する。そして、そういった数学における研究の共通のパターンというのに対して、物理学における対応物があるかというのを指摘するということをしたいと思います。

1.11 複素構造のモジュライ空間を調べるということ

複素構造のモジュライ空間というのは、多分、元々は、偏微分方程式だと思って始めたんじゃないんだと思うんです。

\begin{matrix}〈モジュライ空間の例〉 \\ A. 複素構造 \\ 多項式 P_{i}(z_{1}, …, z_{n}) = 0 の係数を動かして、 \\ 解の形がどう変わるか？ \end{matrix}  (1.7)

ですから、こういう方程式を考えて。この P_{i} は多項式ですが。これの何か係数を動かして、この解の形がどう変わるかというのを調べることが非常に大事です。代数幾何の立場で言えば、当然、こういうことになるんです。代数多様体というのは、多項式の零点集合だと思えるわけですが。その多項式の係数を動かしていって、その解の形が、どう変わるか。但し、係数が変わっても、解が変わらない場合があるわけです。そういうことを調べるのが、複素構造のモジュライ空間を調べるというのの出発点だと思うんです。

M : manifold, fix

J : T M � T M, J^{2} = �1

J についての偏微分方程式の解の集合 = M と diffeo な複素多様体

(1.8)

ただ、それは、出発点で。例えば、小平先生が、こういう複素構造の変形理論というのをされたときには、こういう出発点とは違って。ここに書いた、複素構造のモジュライ空間というのを、何か見えない manifold の言葉で書いてある、ある非線型偏微分方程式の解の集合だという風に理解するということをやったわけです。

あるいは多様体の方を fix して、その上の何か、 J という、 tangent space から、 tangent space への写像があって、 J^{2} = �1 になっている。まあ、こういうものを概複素構造というわけですが。こういう J を考えて、 J に対する、何か、偏微分方程式の解の集合だという風に思えるわけです。

\begin{matrix}\overline{∂_{J}} ^{2} = 0 � J について 1 階\underline{非線型} \\ \overline{∂_{J}} f = \frac{1}{2}(df + � \overline{�1} J df) \\ J_{0} = J + A と置くと、 \\ \overline{∂_{J_{0}}} A + A^{2} = 0 \end{matrix}  (1.9)

偏微分方程式は、他のいろんな所で出てくる偏微分方程式と共通のものがありまして。その偏微分方程式というのは、こういう方程式で。それで、\overline{∂_{J}} というのは、関数に作用させるときには、普通の、いわゆるコーシー−リーマンの。ちょっといいかげんなのは、これが、関数に関する・・・・・を書いて、 2 階の・・・・・を取ったときに、そう書いてないんで、ごまかしですが。まあ、それは近いうちにすることにして。まあ、こういうやつなんです。こういう、何か、 2 階の作用がゼロになる方程式というのは、大体、いろんな所に出てくる共通の方程式で。今日、お話しする方程式は、みんなこういう格好の方程式です。

ついでに言いますと、これは、 J について、 1 階で、非線型な方程式。 J について、大体、 2 乗の項しか出てこないんですが。 3 乗以上の項は、出てこない。どうしてかと言いますと、 J_{0} というのを持って来ておいて、これを J + A としておきますと、こいつは、大体、\overline{∂_{J_{0}}}A + A^{2} = 0.

1.12 Flat connection

それでですね、同じような例がいっぱい出てきますから、あんまり、それぞれ、時間を使わずに、軽く流すくらいでしゃべりたいと思います。

B. Flat connection

{ベクトル束 \atop E}� M

(1.10)

で、後よく出てくるのが、 Ωat connection というもので。 Flat connection というのは、ベクトル束を考えまして。

local に、 d + A （ = d_{A} と置く）

A : 行列値 1-form (1.11)

それで、この上にですね、 local に、 d + A というのを。 A は、行列値関数。ちょっと、この辺は非常に荒い話しかしないので、何か申し訳ないですが。こういうのを connection というわけです。

d_{A}^{2} = 0, dA + A^{2} = 0  (1.12)

そうすると、こういう場合の方程式というのは、 d_{A}^{2} = 0, あるいは、 dA + A^{2} = 0 ですが。

\begin{matrix}π_{1}(M) から、 E の構造群 G への準同型。 \\ G は compact 群に取る。 \end{matrix}  (1.13)

これは、微分方程式になると、こうなりますけれど。何に関係があったかと言うと、 π_{1}(M) から、 E の構造群への準同型に関係がありました。

\begin{matrix}dim M = 3 のときのみ、\underline{良い}方程式になる。 \\ � \\ 位相的場の理論の構成などに \end{matrix}  (1.14)

それで、１つだけ注釈をしたいわけですが、この方程式というのは、次元の M が 3 のときに限って、ある意味で良い方程式になる。良いという意味は、大事なという意味じゃなくて、例えば、位相的場の理論を構成するのに、ふさわしい方程式になる。そういうやつになるんですけれども。

1.13 Vector 束の複素構造

やさしい example ばかりしゃべっても、しょうがないですが、もう少しだけ、お話ししたいわけですが。

c. Vector 束の複素構造

\overline{∂}A + A^{2} : E � M, 複素 Vector 束構造群 G は、 GL(n, ℂ) GL(n, ℂ) は、 non-compact

(1.15)

それで、次の example としては、正則複素行列、あるいは、 Vector 束の複素構造というやつですけれども。これは、どういうことを考えるかというと、要するに、頭のところの ∂ をですね、\overline{∂} と変えてやって、まあ、こうなるわけです。これは、複素ベクトル束ですが。

ちょっとだけ、お話ししたいんですが。上の b の例では、構造群 G というのは、コンパクト群に取るわけです。 c の例に対応する G というのは、一般線形群でして、これは、ノン・コンパクト群なんです。ですから、何か、リー群をですね、実リー群でなくて、複素リー群、こういうものを考えると、こういうのは、いつも、ノン・コンパクトになるというのが、多分、決まって出て来る問題点です。方程式が変わる方、つまり、 ∂ が\overline{∂} になる方は、あんまり、そんなに大きく変更がないわけですが。ただ、あそこの A というのは、あるコンパクトなリー群のリー環に値を持っているわけですが、こちらの方は、ノン・コンパクトなリー群のリー環に値を持っている。この違いというのが、いろんなところで効くだろうということをちょっと一言、言いたいがために、こういうことをお話ししたわけです。

1.14 自己共役方程式（接続）

それで、後 2 つだけ例を言って、そろそろ次に行きたいと思うんですけども。有名な例として、自己共役作用素の方程式。後、複素曲線というのをお話ししたいわけですが。今回の話というのは、具体的な方程式の例とか、そういうのは、一切しませんので。だから、ここでやっているのは、ほとんどお話で、言葉だけしか説明しないので、中身がなくて、申し訳ないですが。計算しないから、具体的に調べることは、お話ししないわけですが。 D. 自己共役方程式（接続）

M^{4} : Riemann 計量を入れる。

Hodge の � -作用素: 2-form � 2-form � : Λ^{2}M � Λ^{2}M �^{2} = 1

\begin{aligned}Λ^{2}M & = & Λ_{+}^{2}M & � & Λ_{−}^{2}M \\ & & � の 1 の固有空間 & & � の −1 の固有空間 \end{aligned}

(1.16)

自己共役接続を考えるというのは、どういうことかというと。先ほどですね、 Ωat connection というのは、 3 次元のときに、良い方程式になるという風にお話ししました。じゃあ、 4 次元のときに、良い方程式にするにはどうしたらいいか。今、 4 次元多様体を考えて、ここに、リーマン計量を入れます。あの、 Hodge のスター作用素というのがありますが。 Hodge のスター作用素というのは、 4 次元ですと、 2-form から、 2-form への写像ですが。それで、 2 乗して 1 になる。そこで、 2-form の固有値分解というのができるわけです。 Λ_{+}^{2}M は、 � の 1 の固有空間で、 Λ_{−}^{2}M は、 � の �1 の固有空間なんですが。

dA + A^{2} = F_{A} 曲率 � 2-form

F_{A} = F_{A}^{+} + F_{A}^{−} 上の固有空間の分解に応じて分ける。 F_{A}^{−} = 0 � Ωat connection の方程式の半分。

(1.17)

それでですね、こういう風にしたときに、あそこで書いた dA + A^{2}. これは、有名な曲率と言われているものですが。これは、 2-form ですから。行列式の 2-form ですから、こいつを + と � に、こう、分けるわけです。この直和分解に応じて、 F_{A}^{+} + F_{A}^{−} という風に分けるわけですが。このとき、自己共役ですから、 F_{A}^{−} = 0 という方程式が、自己共役方程式です。ですから、あそこで書いた Ωat connection の方程式 F_{A} = 0 ですね。それに比べると、半分なんです。こうすると、 4 次元のときに、これからご説明する意味で、\underline{良い}方程式になるというわけです。

1.15 （概）複素曲線

それで、最後に、もう一個だけ例をやって、この何か、ちょっと、非常に短いツアーを終わりたいと思うんですが。

E. （概）複素曲線 topological sigma model Σ : リーマン面 (M, J_{M}) : ケーラー manifold φ : Σ � M φ_{∗}J_{Σ} = J_{M}φ_{∗} φ_{∗} : φ の Jacobian

(1.18)

5 個目の例は、そのいわゆる、（概）複素曲線ですが。複素曲線の方程式というのは、いわゆる topological sigma model と呼ばれているものになるわけですが。どういうことを考えるかというと、今、 Σ というリーマン面を考えて。リーマン面ですから、複素構造が入っている。後、 (M, J_{M})

という、 complex manifold を考えまして。それで、 φ という、 Σ から M への写像に対して、これを未知変数として、方程式としては、 φ_{∗}J_{Σ} = J_{M}φ_{∗} というのを考えます。 φ_{∗} は、 φ のヤコビ行列です。 φ のヤコビ行列が複素構造を与える、 � \overline{�1} 倍の map で、 φ は holomorphic map です。こういうのが、概複素曲線のモジュライです。

1.16 変分問題と偏微分方程式

Differential equation は、変分問題に関わる。  (1.19)

何か、方程式だけ書いて、意味が薄いことをお話ししましたけど。ちょっとだけ、注釈をしたいんです。特に、最後の 2 つなんですが。この 2 つはですね、ある意味で変分問題に関わっているんですけども。この 2 つの例ですね、自己共役接続というのと概複素曲線。

ここに、今、わっと、たくさん方程式を書きましたけど。普通、非線型方程式と幾何学の関係というと、大体、変分問題から現われるわけです。つまり、何か、ある関数の空間に、汎関数というか、そういうのを考えて、それの変分が 0 という方程式を書くわけですけれども。実は、ここに挙げたやつは、どれも、多分、そういうのにはならないんです。まあ、無理にすればなりますけども。自然に、ある汎関数の変分 = 0 という方程式には、どれも、多分、なってないんです。

{以上の方程式は、 1 階の PDE \atop 変分法からは、 2 階の PDE}  (1.20)

何でなってないかというと、多分、ここで書いた例というのは、 1 階の偏微分方程式でして。変分法からの方程式というのは、すべて、 2 階の方程式になりますから、そこが違うわけです。

1.17 どうして違うか

じゃあ、どうして違うかというのを少し。あんまり、ちゃんとした意味付けではないけれども。深い意味を持って理解するというのは、多分、僕にはできないので、幾つか羅列をするだけにとどまるわけですけども。

位相的場の理論と関わる形で、モジュライ空間を構成するために使う方程式というのは、多くの場合、 2 階ではなくて、 1 階の非線型偏微分方程式になる。その 1 階の非線型方程式というのは、変分法というのと関係するけれども、直接ではなくて、ちょっと、ワン・クッション置いて関係する。それを少しご説明したいんですが。

\begin{matrix}D : y_{m}(A) = ∫ �F_{A}�^{2} & ・・・ (1) \\ E : E(φ) = ∫ g_{M}^{ij}g_{Σ}^{ab} \frac{∂φ_{i}}{∂x_{a}} \frac{∂φ_{j}}{∂x_{b}} & ・・・ (2) \end{matrix}  (1.21)

だから、ちょっと書いてみますと、以上の微分方程式は、常に 1 階。それで、変分法からは、 2 階の微分方程式。この関係というのは、何かというのをご説明したい。変分法を考えますと。この自己共役方程式の方で考えた変分法というのは、 Yang-Mills 汎関数でして。それは、そこに書いた、ノルムの 2 乗の積分。こういうものです。それで、向こうのですね、概複素曲線に関わる変分法はどうなっているかというと、これは、エネルギーでして。まあ、 g_{M}^{ij} と、 g_{Σ}^{ab} で。これを (1) と書いて、 (2) と書きますと。

A が、 Yang-Mills connection{def \atop ��} A は、(1) の極値。  (1.22)

A が (1) の極値を与えるというのが、 A は、いわゆる Yang-Mills connection であるということになる。これ、定義ですけども。

φ が、 Harmonic map{def \atop ��} φ は、(2) の極値。  (1.23)

それで、 φ が (2) の極値だというのは、 φ は、 harmonic map, 調和写像だというのが定義なんです。

y_{m}(A) � 位相的な量 = C�c_{2}(E) � [M]�  (1.24)

1.18 下から評価されている

では、 (1) の汎関数というのと、 (2) の汎関数というのは、どういう関係があるか。今、上に書いた、複素曲線の方程式とか、自己共役接続の方程式というのは、どういう関係があるかというのを考えますと、こういう不等式で結ばれています。大体ですね、どういう感じの不等式が出てくるかというと、このですね、ラグランジアンで書きますと、こういう汎関数というのが、 topological な、位相的な量で、下から抑えられる。こういう不等式が成立する。位相的な量というのは何かといいますと、この場合には、 constant C で、 E というベクトル・バンドルの Chern class というのを、 M で積分したやつ。位相的な量という意味は、 connection に依らないで、ベクトル・バンドル全体、こういう位相的な量で、 Yang-Mills 汎関数という、考えているラグランジアンとか、そういう汎関数が下から評価されている。

E(φ) Wirtinger の不等式 �c�[φ_{∗}(Σ)] � [ω]�, ω : 2-form  (1.25)

こういうのをもう一個書きますと。 E(φ) というのは、これは何で評価されるかというと、 constant を忘れますと、 φ で持って行ったリーマン面の fundamental cohomology class を、 ω, — これ、 complex manifold と書きましたけれども、本当は、 M は、 Kähler manifold だと思うことにして。 ω は、 Käler form ですけれども — こういう Käler form と呼ばれている 2 次の cohomology class で。この 2 番目の式というのは、これは、 Wirtinger の不等式で。

汎関数の値に対して、考えている対象の位相的な、 topological な性質だけから決まるような量というのがあって、これで下から評価されるということがある。多分、こういう不等式が問題にする背後には、何らかの意味で、 super symmetric, 超対称性というのが潜んでいるんだと思われるんです。そこの所、超対称性がなぜ潜んでいるのかというのを、明確にここで書くことはできませんから、お話しだけにしたいわけですが。 1.19. ボコモロミー不等式 13

1.19 ボコモロミー不等式

ボコモロミー不等式  (1.26)

そういうのをいわゆるボコモロミー不等式と言います。これを出したかったのは、最近の、超対称性の持つ量というのとボコモロミー不等式というのの関係というのが、大変基本的な量だからなんですが。何かものを調べるときの、ある良い道具として、ボコモロミー不等式というのと、等号性条件というのが現われるんです。

さっきちょっと申し上げましたが、普通の、非線型偏微分方程式を作るような変分問題から出発すると、得られるのは、 2 階の偏微分方程式なんですけれども。位相的場の理論に対して、これからお話しするように、 invariant を定式化するための、非線型偏微分方程式、 1 階の偏微分方程式です。その 2 階と 1 階の操作というのが、どういう格好で行なわれているかというと、いわゆるボコモロミー不等式というのを使ってする。

もう一回申し上げますと、こういう汎関数というのが、位相幾何学的な量で、下から評価されるというのが、ボコモロミー不等式です。これの証明はやりませんけれども、証明そのものは、そんなに難しくなくて。ある意味で、各点でのテンソル解析をどうするかということです。要するに、線形部分空間があったときに、その線形部分空間に induce されるような計量というのと、この 2-form をそこに制限したやつというのが、どれくらい違うかというのがあって。その差がどうなるかというのが。私は、他の例に関しては知りませんが、この 2 つに関しては非常に有名なんです。

= は、自己共役方程式 F_{A}^{=}0

φ_{∗}J_{Σ} = J_{M}φ_{∗} となる。

この解を BPS saturated state と呼ぶ

(1.27)

それで、これの等号性条件というのを考えますと。これは、 φ が holomorphic で、 φ_{∗}J_{Σ} = J_{M}φ_{∗} となっているんです。こういうボコモロミー不等式の、 BPS saturated^{1} state ですが。 B は、ボコモロミーです。ボコモロミー不等式というのの等号性が成立しているような、最小値を与えるような解のことを BPS saturated state と思うわけですが。ですから、何かよく分からないけれども、 2 階の偏微分方程式を 1 階の偏微分方程式にするために、何かボコモロミーの不等式という、こういうので、等号性条件というのを使う。この等号性条件が微分方程式になるという構造は、よく覚えてないんだけれども、こういうボコモロミーの不等式というのが、超対称性が崩れた場合に、

— あんまり自信がないから、黒板に書きませんが — 超対称性を持つような理論で、ボコモロミーの等号が成立すると、ある super symmetry と言われているもののいくつかの作用というのが 0 になるということがある。多分、 0 になるというのが、これになっていると。まあ、そういう言い方がされる。それは、あんまりよく分からないから言いませんが。結局、そういうボコモロミーの不等式というので、こういう風に知られているのが出てきた。

ここまでで、いくつか方程式を書きましたけれども、まだ、いっぱいあるわけです。例えば、アインシュタインの重力場の方程式、或いは、アインシュタイン計量の方程式なんですが。アインシュタイン計量の方程式は 2 階で、むしろ悪い例です。それで、アインシュタイン計量の方程式のボコモロミーの不等式から、いわゆる自己共役計量の方程式が出るかというのは、私はよく知らないんだけれど。ひょっとしたら、出るのかもしれない。その辺は、あんまりよく分かっていない。

1saturate: ・・・を浸す、・・・を飽和させる。 [旺文社：エッセンシャル英和辞典より]

1.20 ゲージ変換

(2) ゲージ変換  (1.28)

次に、ゲージ変換についてお話ししたいんです。ゲージ変換が数学でどういう役割を果たしていて、物理でどういう役割を果たしているのかというのをお話しして。

ゲージ変換とは何かと言いますと。ゲージ変換群というのをご説明しないといけないんですが。ノートに書いた順番通りにやっていると、今日の分を全部しゃべりきらないということが、段々、判明してきたわけで。途中のいくつかを省くことになりますが。ゲージ変換群というのがどういう役割を果たしていて、どういう問題を引き起こしているかというのをお話ししたいんですが。

(1) に挙げた方程式は全て � 次元の群について不変  (1.29)

考えてみるとですね、以上の方程式は、全て、ある無限次元の群に関して不変なわけです。このことにまず、注目したい。

1.21 方程式が楕円型でない

数学：方程式が楕円型でない  (1.30)

この無限次元の群に関して不変だということが何をもたらすかというのを、まず、数学の言葉で言うとどうなるか。数学では、「方程式が楕円型でない」ということを。どうしてかと言いますと。楕円型の偏微分方程式というのは、適当な境界条件、乃至、閉多様体で考えれば、解の空間というのは有限次元になるということが知られている。従って、楕円型でないということが起こる。今、ある無限次元の群に関して不変ですから、解の空間というのは、空集合でなければ、必然的に、無限次元になります。もう一回、言いますと、方程式が無限次元の群に関して不変ですから、解の空間というのは、空集合でなければ、無限次元の空間になってしまいます。従って、方程式は楕円型でなくなるわけです。

1.22 ゲージ粒子の質量は 0

物理：ゲージ粒子の質量は 0  (1.31)

これを物理で言い換えるとどうなるか。ゲージ粒子の質量が 0 になってしまいます。どういうことかと言いますと。

U(1) ゲージ場  (1.32)

今、簡単のために、 U(1) ゲージ場とします。

A : 1-form, ∫ �dA�^{2}  (1.33)

U(1) ゲージ場というのは、大体、何を考えるかというと、 1-form なんです。さっき出てきた、 Yang-Mills 汎関数というのがこうですね。

y_{m}(A) = ∫ �dA�^{2}  (1.34)

Yang-Mills 方程式を考えるんですが。これは、変分問題の初期値を考えるんですが。あそこに書いたディリクレ積分ですね。但し、ディリクレ積分というのは、普通、 0-form, つまり、関数に関して積分を考えますけれども、 1-form に関してディリクレ積分というのを考えますと、ああいうのが出てくるわけですが。あれの変分問題。

\frac{δy_{m}}{δA} = 0 � d^{∗}dA = 0  (1.35)

こういうのを考えますと。ここからですね、変分問題を考えますと。何になるかと言うと。これを計算すればいいですから、こうなるんですが。 A が関数だったらば、ラプラシアンなんですが。

F = dA � \{ \begin{matrix}d^{∗}F = 0 \\ dF = 0 \end{matrix} � �F = 0 � \frac{∂^{2}F}{∂t^{2}} � ∑ \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}^{2}} = 0  (1.36)

それで、 F に対する方程式は、どういう風に思うかというと。まあ、これが方程式になります。これは、何と同値かと言いますと、ラプラシアンの F = 0 なんですが。物理で考えますと、こうですが。

\frac{∂^{2}F}{∂t^{2}} � ∑ \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}^{2}} � M^{2}F = 0 M^{2}F := 質量  (1.37)

まあ、ここに本当は M^{2}F というのが入って、こういうのになる。今の場合は、これ、 0 になります。今の場合、ゲージ変換というのは、原点を 0 + d (?) ですけれども。

ゆえに、質量 = 0  (1.38)

もし、ゲージ変換に関する制限、こういう制限を全然しないと、こういう項を消すことはできないというのが分かるんです。ですから、ゲージ変換として、 M が存在する限りは質量は 0 だということが言えます。

これは、別の言い方をすると、方程式が楕円型でない。数学としては、方程式が楕円型でない。或いは、無限次元の群に関して不変であるということに対応している。このことがですね、例えば、量子化をちゃんと考えようというときに、非常に困難をもたらすんです。それをちょっとご説明しますと。

ゲージ場の量子化をしようとすると、出てくる Hilbert space が正定値でなくなる (1.39)

ゲージ場の量子化をしようと思うと、出てくるヒルベルト空間というのが正定値でなくなってしまう。ゲージ場の量子化を一番、安直なやり方でしようとした瞬間に、正定値でないヒルベルト空間が登場して、理論がおかしくなってしまうということが起こります。これは、ゲージ粒子の質量が 0 だということによるんですが。

これをどうやって処理するか？  (1.40)

それをどうしようかというのは、量子電磁気学では、多分、 20 世紀の前半ぐらいから、物理の人が悩んだ問題の 1 つなんです。それは、数学の方で、ゲージ変換性があるような、そういう無限次元の群で不変な偏微分方程式を考えようと思ったときに、方程式が楕円型でなくなって困ってしまうということと、ある意味で似ているわけです。この点をある意味で突き詰めていくと、もっと非常に、いろいろなことと関わってくると思われるわけですけれども。それでこんなことをお話ししているわけですが。

これをどうやって処理するかというのが、物理のいろいろな方法論になるわけですが。こういう物理の方法論というのが、ある意味で、多分、ゲージ理論の数学に対応物を持っている。ある物は、すでに、対応物を持っているし、ある物は、恐らく対応物を考えられるだろうと思われるわけです。もう一回申し上げますと。ゲージ場を量子化しようと思うと、ゲージ変換性という、無限次元の不変性によって、 — 量子化にはヒルベルト空間が必要ですが — その、ヒルベルト空間が正定値でなくなってしまって、 0 になる。

こういう問題をどうやって処理するかというのには、いくつか方法論があるわけですが。一番、古典的に考えられたのが、多分、ハイゼンベルグ (?) の考えたのがゲージ条件を課すという、そういう定式化なんですが。それはある意味で、既に数学で・・・・・条件を取るとか、そういうこととして実現されていることなんですが。できたら今日はそういうことをお話ししたかったんだけど。 BRST 条件というのがありますけれども、その BRST 条件というのは、そういうのの中から見つかってきた定式化なんですが。それは、多分、いろんな数学と関わってくると思われます。

ええと、あと、 10 分しかないから、ここは大幅に飛ばして。そうか、やっぱり、いろんなことを言おうとしすぎると、何も言えないですね。この続きはまたお話ししたいんですが、明日になってしまうかもしれませんが。

1.23 Stability

(3)Stability G 構造群  (1.41)

じゃあ、ゲージ場に関する問題というのを、もう少しお話ししたいと思います。 Stability という問題についてお話ししたい。なぜ、こういうことが出てきたかと言いますと。

G がコンパクトかどうかが重要であった  (1.42)

さっき、構造群 G というのがコンパクトかノン・コンパクトかというのを議論しました。これは、いろいろな違いを引き起こすのだということをお話ししたわけです。

複素構造のモジュライ G = Diff(M) ・・・コンパクトに一番遠い (1.43)

今、無限次元の群というのは、何だったかというのを思い出しますと。複素構造のモジュライでは何だったかと、これは、考えている多様体の可微分構造全体です。

複素ベクトル束のモジュライ Map(M, Gl(n, ℂ))  (1.44)

それで、複素ベクトル束のモジュライの場合は、ちょっといいかげんな言い方をしますと、 M から Gl(n, ℂ) への写像全体。こういうものになります。

\{ \begin{matrix}Ωat bundle \\ 自己共役方程式 \end{matrix} Map(M, G) (G ：コンパクト) ・・・コンパクトに近い

(1.45)

残り、 Ωat connection というのと、自己共役方程式というのに関しては、 — デリケートなことを全然言わないで — こいつは、 M から G への写像全体になります。 G はコンパクト群です。こういうものだと。

正則曲線 Diff(Σ)  (1.46)

最後の正則曲線と呼ばれているのは、リーマン面 Σ の可微分同相全体というものに。

{モジュライ空間・・・これらの群について商空間を取る \atop ノン・コンパクト群について商空間を取ると、おかしなことが起こる} (1.47)

それでですね、なぜ、こういうことをお話ししたかったかというと、これらの群はですね、無限次元のリー群ですから、すべて、ノン・コンパクトなんです。なぜ、それが問題になるかと言いますと、ノン・コンパクト群による商空間というのは、非常にデリケートなんです。モジュライ空間というのは、無限次元の群に関して不変ですから、モジュライ空間と言ったときには、これらの群に関して商空間を考えなくちゃいけない。これらの群に関して商空間を取らないと、モジュライ空間というのは、うまく作れないわけですが。そうすると、何を注意しなくちゃいけないかというと。ノン・コンパクト群に関する商空間というのは、一般には、まっとうなものはなかなか取れないんです。商を取ると、おかしなことが起こる。

ℂ/ℂ � �0� = 2 点 \{ \begin{matrix}[0] \\ [それ以外] \end{matrix} ハウスドルフでない  (1.48)

この例がいいと思うんですが。 ℂ/ℂ � �0� というの、これは 2 点。 0 に対応するのと、それ以外の 2 点です。これは、ハウスドルフ空間でないんです。ですから、こういうゲージ変換群というのを考えますと、それは、無限次元ですから、ノン・コンパクト群だというのがあります。従って、モジュライ空間というのを考えるときに、いつ、ハウスドルフであって、いつ、ハウスドルフでないかというのが、非常に基本的な問題となります。ハウスドルフ性というのは、難しさの段階がいろいろありまして、多分、これが一番、やさしいわけです。

1.24 ノン・コンパクト性は何と関わるか

じゃあ、ゲージ変換群がノン・コンパクトであるということから、どのような問題が発生して、具体的にどういう数学のことに現れているかということを少しだけご説明したい。それは、 2 つのことに現われるんですが。

1.解の存在変分法を考えて、inf of 汎関数が実現されるか？  (1.49)

1 つはですね、解の存在に関わることです。解の存在というのは何かといいますと。変分法に話を戻したいわけですが。変分法を考えたときの、極小値ですね。何か、変分法を考えたときの、 inf の汎関数というのが実現されるかという問題に関わっている。何を言っているかというと、ノン・コンパクトに近いような群に対して、変分法を考えると、 inf というのは、実は、実現されない。ですから、コンパクトな群に関する対称性しかないと、多くの場合、 inf というのは実現されるわけですが。変分法というのを考えますと、普通は、汎関数を考えて。その、汎関数というものの極値を探すときには、最小値の所へ行く sequence を考えて。それが、収束するかというのを考えるわけですが。そういうことは、方程式そのものが、ノン・コンパクト群に関する対称性を持っていると、非常に困難になって、実は、成立しなかったりする。

2.空間のハウスドルフ性モジュライ空間がハウスドルフでなくなる  (1.50)

もう 1 つは、モジュライ空間がハウスドルフでなくなるということ。あるいは、空間のハウスドルフ性を証明するのが困難になるということに対応する。これは、今、言った方程式も含めて、いろんな方程式に関して、非常に顕著に表われる性質で。

1.25 注釈

それをいくつか列挙したいわけですが。もう、時間がないので。あ、もう、時間がきちゃったか。それを列挙するのは口でして、注釈の方をちょっと言います。

[1] 小林-Hitchen 予想

正則ベクトル束が\underline{stable} � 反自己共役接続が存在する (その点のまわりで、モジュライ空間がハウスドルフな点)

(1.51)

正則ベクトル束が stable だということを。これならば、反自己共役接続が存在する。こういうものなんですが。ここで、 stable とは何かと言いますと、その点の近傍で、モジュライ空間がハウスドルフになっていることです。こうだとすると、存在している。

さっき書いた、解の存在というのは、ノン・コンパクト性と、まさしく密接に関わるんだということの、 1 つの傍証なんです。

[2] 松島 obstruction

M に Einstein-Kähler 計量が存在する � 複素自己同型が半単純 (1.52)

次に、松島 obstruction というのがあるわけですが。ちょっと、 Einstein-Kähler 計量というのはしませんでしたけど。同じような変分問題としますと。 M に Einstein-Kähler に計量が存在するならば、複素自己同型が半単純になる。なぜ、半単純性というのとハウスドルフ性が関係あるか。

商空間のハウスドルフ性 � 群のべき零性の道  (1.53)

商空間のハウスドルフ性と、群のべき零性というのと、どういう関係があるのかというのを申し上げますと。

GL(2, ℝ) ⟲^{conj.} GL(2, ℝ)  (1.54)

1 個だけ、例を書いて、ご説明しますと。こういうやつを考えます。今、 GL(2, ℝ) というのに、 GL(2, ℝ) というのが共役で作用している。

GL(2, ℝ)/GL(2, ℝ)  (1.55)

そうしますと、商空間がありますけれど。

non-Hausdorff point  (1.56)

この商空間でですね、 non-Hausdorff な点があります。

( \begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix} )  (1.57)

それは、こういう行列に対応している点です。この行列に共役な行列というのは、 α が 0 に行く極限を持っています。もう一回、言いますと、この行列に共役な行列の中では、 α が非常に小さく取れますから、 limit の中では 0 になることができます。しかし、 0 になったら、それは、共役ではないので。こういう行列が存在するということが、まさしく、 conjugation による GL(2, ℝ) への GL(2, ℝ) の作用というのが、商空間がハウスドルフでないということに対応している。これが、まさしく、べき零性なんです。こういう行列の存在というのが、 — 非常に primitive な例ですが — stability や non-Hausdorff なものが生じているという現象を暗示しているわけですが。

ですから、多様体にある変分問題の解が存在するということが、ここに書いた、べき零的な自己同型の存在ということと、ちょうど、照らし合わせた現象になっているということが、ここで申し上げたかったことです。

1.26 Stability が崩れる

もう、時間が来てしまったんですけれど、残りの例をやめて、ちょっと注釈を申し上げます。注釈は何かというと、ここでは全部、数学しかやらなかったんですが。果たして、この手の考察というのが、物理において等価物があるかというのが、ずっと気になったんですけども。等価物は、既に物理の中に入っているんだと思う。

それは、なぜかといいますと、 stability の現象が — そこはちゃんと説明しないで、申し訳ないんですけれども — ここで書いた、商空間がハウスドルフでなくなるという現象は、何に関わると考えられるかといいますと。今、方程式を考える多様体 M, 或いは、ベクトル束 E というのが、位相型を変えてしまうという問題に関わると思われるわけです。もう一回、言いますと、ここに書いた、 stability が崩れるという現象は、多様体 M というのが、 M 上の作用を考えているんだけれども、極限上で、 M の違った空間の解になってしまう。あるいは、あるベクトル・バンドル E を考えるんだけれども、極限上で、それは、違ったベクトル・バンドルの解になってしまう。そういう現象と stability が密接に関わるんだということが良く知られています。

1.27 それは、多様体やベクトル束を固定しているから・・・

ですから、数学で stability というのが深刻になるのは、ある意味で、先に多様体 M から出発して、あるいは、先に、ベクトル束 E から出発して、その上だけで物を考えているから、そういうことが起こるんだろうと思われる。ところが、物理の場の量子論においては、例えば、ベクトル束 E を 1 つ固定して考えるということは、しないわけです。つまり、ベクトル束の特性類、 Chern class とか、そういうものというのは、ある意味で、粒子の数だと思うことができる。場の量子論の大事な特徴というのは、粒子の数というのが一定でないということ。つまり、粒子が生まれたり消えたりして、いろんな数の粒子の状態というのを一斉に扱うんだということが、場の量子論の特徴なんです。数学では、まだ、定式化が甘くて。あるベクトル・バンドル 1 つから出発して、モジュライ空間を取るとか、ある多様体 1 つから出発して、モジュライ空間を取るとかできないので、その中でこういった問題が発生しているんだと思うんですけれども。物理の場の理論的な定式化で、いろんな topological type を持つようなベクトル束を一斉に考える。あるいは、いろんな位相型を持つ多様体を一斉に考えるということをすると、恐らく、こういう問題は、その中に入り込んでいるんだという風に思われる。

1.28 数学において、いろいろな位相型を一斉に考えている例

そういう、いろんな位相型を一斉に考えるということは、数学の方でも既になされているわけですが。その例を、もう時間がないので口で申し上げたい。 Stability とか、バブルの現象。そういうのと関わっているのは、むしろ、あまりないんじゃないかと思うんですが。それとは別に、いろんな位相型のベクトル束を考えるとか、いろんな位相型の多様体を考えるとかは、あるんです。これから古田さんが話されるだろうと思われる、 Donaldson invariant の構造定理というのが、その典型例でして。それは、単一のベクトル束を考えるんじゃなくて、実際、たくさんのベクトル束を考えて、それを一斉に取るんだということが大事なんです。

後は、例を 3 つ申し上げます。 1 つ目は、中島啓氏による、・・・・・ instanton 上の Yang-Milles connection を用いた、アファイン・リー環の表現の構成と言われるものがあるんですけれども。これについて 1 つだけ説明したいのは、多様体は同じなんですが、その上のいろんなベクトル束、・・・・・ Chern class が変わるベクトル束を一斉に考えるというのが、極めて本質的な意味を持っているということです。

次に、ミラー対称性と言われているものがあるんですが。ミラー対称性の中にあるのは、リーマン面からの写像の空間を考えるんですが。その、写像の homology class というのを、全部、一斉に動かして考えるというのが、ミラー対称性の研究では、本質的にあるわけです。

最後に、ウィッテン-コンセビッチによる、リーマン面のモジュライ空間、コホモロジーのカップ積の研究というのがあるんですけれども。そこでも、非常に基本的な役割を果たしているのは、リーマン面の genus を全て変えて足し上げるということです。

ですから、数学者が物理に学ばなければいけない、非常に大事なこととして、このようなことがあります。位相型が違う多様体とか、位相型が違うベクトル束を全部、集めることによって、初めて見えてくるということが、何を意味するか。それを、どうやって数学的に理解したらいいのか。

今日は、これで終わります。